raíz digital multiplicativa

En teoría de números, la raíz digital multiplicativa de un número natural${\displaystyle n}$en una base numérica determinada${\displaystyle b}$se encuentra multiplicando los dígitos de${\displaystyle n}$juntos, luego repitiendo esta operación hasta que solo quede un dígito, que se llama raíz digital multiplicativa de${\displaystyle n}$. ^{[ 1 ] [ 2 ]} La raíz digital multiplicativa para los primeros enteros positivos es:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 2, 4, 6, 8, 0, 2, 4, 6, 8, 0, 3, 6, 9, 2, 5, 8, 2, 8, 4, 0. (secuencia A031347 en el OEIS )

Las raíces digitales multiplicativas son el equivalente multiplicativo de las raíces digitales , con una diferencia importante en que para los números naturales en base${\displaystyle b=10}$, las raíces digitales multiplicativas pueden ser de 0 a 9, mientras que las raíces digitales solo pueden ser de 1 a 9.

Dejar${\displaystyle n}$sea ​​un número natural. Definimos el producto de dígitos en base${\displaystyle b>1}$${\displaystyle F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$ser lo siguiente:

${\displaystyle F_{b}(n)=\prod _{i=0}^{k-1}d_{i}}$

dónde${\displaystyle k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1}$es el número de dígitos en el número en base${\displaystyle b}$, y

${\displaystyle d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b}}^{i}}{b^{i}}}}$

es el valor de cada dígito del número. Un número natural${\displaystyle n}$es una raíz digital multiplicativa si es un punto fijo para${\displaystyle F_{b}}$, lo cual ocurre si${\displaystyle F_{b}(n)=n}$.

Por ejemplo, en base${\displaystyle b=10}$, 0 es la raíz digital multiplicativa de 9876, como

${\displaystyle F_{10}(9876)=(9)(8)(7)(6)=3024}$

${\displaystyle F_{10}(3024)=(3)(0)(2)(4)=0}$

${\displaystyle F_{10}(0)=0}$

Todos los números naturales${\displaystyle n}$son puntos preperiódicos para${\displaystyle F_{b}}$, independientemente de la base. Esto se debe a que si${\displaystyle n\geq b}$, entonces

${\displaystyle n=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}b^{i}}$

y por lo tanto

${\displaystyle F_{b}(n)=\prod _{i=0}^{k-1}d_{i}=d_{k-1}\prod _{i=0}^{k-2}d_{i}<d_{k-1}b^{k-1}<\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}b^{i}=n}$

Si${\displaystyle n<b}$, entonces trivialmente

${\displaystyle F_{b}(n)=n}$

Por lo tanto, las únicas raíces digitales multiplicativas posibles son los números naturales.${\displaystyle 0\leq n<b}$y no hay otros ciclos que no sean los puntos fijos de${\displaystyle 0\leq n<b}$.

El número de iteraciones${\displaystyle i}$necesario para${\displaystyle F_{b}^{i}(n)}$alcanzar un punto fijo es la persistencia multiplicativa de${\displaystyle n}$La persistencia multiplicativa no está definida si nunca alcanza un punto fijo.

En base 10 , se conjetura que no existe ningún número con persistencia multiplicativa.${\displaystyle i>11}$: se sabe que esto es cierto para los números${\displaystyle n\leq 10^{20585}}$. ^{[ 3 ] [ 4 ]} Los números más pequeños con persistencia 0, 1, ... son:

0, 10, 25, 39, 77, 679, 6788, 68889, 2677889, 26888999, 3778888999, 277777788888899. (secuencia A003001 en el OEIS )

La búsqueda de estos números se puede acelerar utilizando propiedades adicionales de los dígitos decimales de estos números récord. Estos dígitos deben estar ordenados y, excepto los dos primeros dígitos, todos los dígitos deben ser 7, 8 o 9. También hay restricciones adicionales en los dos primeros dígitos. Con base en estas restricciones, el número de candidatos para${\displaystyle k}$Los números de dígitos con persistencia récord son solo proporcionales al cuadrado de${\displaystyle k}$, una pequeña fracción de todas las posibles${\displaystyle k}$números de -dígitos. Sin embargo, cualquier número que falte en la secuencia anterior tendría una persistencia multiplicativa > 11; se cree que tales números no existen y necesitarían tener más de 20 000 dígitos si existieran. ^{[ 3 ]}

La raíz digital multiplicativa se puede extender a los enteros negativos mediante el uso de una representación de dígitos con signo para representar cada entero.

El siguiente ejemplo implementa el producto de dígitos descrito en la definición anterior para buscar raíces digitales multiplicativas y persistencias multiplicativas en Python .

def digit_product ( x : int , b : int ) -> int : if x == 0 : return 0 total = 1 while x > 1 : if x % b == 0 : return 0 if x % b > 1 : total = total * ( x % b ) x = x // b return totaldef raíz_digital_multiplicativa ( x : int , b : int ) - > int : seen = [ ] while x not in seen : seen.append ( x ) x = producto_digital ( x , b ) return xdef multiplicative_persistence ( x : int , b : int ) - > int : seen = [ ] while x not in seen : seen.append ( x ) x = digit_product ( x , b ) return len ( seen ) - 1

• Dinámica aritmética
• Suma de dígitos
• Raíz digital
• número de suma de productos

• Guy, Richard K. (2004). Problemas sin resolver en teoría de números (3.ª  ed.). Springer-Verlag . pp. 398–399 . ISBN  978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001 . 

• ¿Qué tiene de especial el número 277777788888899? - Numberphile en YouTube (21 de marzo de 2019)