objeto inyectivo

En matemáticas , especialmente en el campo de la teoría de categorías , el concepto de objeto inyectivo ^{[ 1 ]} es una generalización del concepto de módulo inyectivo . Este concepto es importante en cohomología , en teoría de homotopía y en la teoría de categorías modelo . La noción dual es la de un objeto proyectivo .

Un objeto${\displaystyle Q}$en una categoría${\displaystyle \mathbf {C} }$Se dice que es inyectivo si para cada monomorfismo${\displaystyle f:X\to Y}$y cada morfismo${\displaystyle g:X\to Q}$existe un morfismo${\displaystyle h:Y\to Q}$extensión${\displaystyle g}$a${\displaystyle Y}$, es decir, tal que${\displaystyle h\circ f=g}$. ^{[ 2 ]}

Es decir, cada morfismo${\displaystyle X\to Q}$factores a través de cada monomorfismo${\displaystyle X\hookrightarrow Y}$.

El morfismo${\displaystyle h}$en la definición anterior no se requiere que esté determinado de forma única por${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$.

En una categoría localmente pequeña , es equivalente a exigir que el functor hom${\displaystyle \operatorname {Hom} _ {\mathbf {C} }(-,Q)}$lleva monomorfismos en${\displaystyle \mathbf {C} }$a mapas de conjuntos sobreyectivos .

La noción de inyectividad se formuló por primera vez para categorías abelianas , y esta sigue siendo una de sus principales áreas de aplicación. Cuando${\displaystyle \mathbf {C} }$es una categoría abeliana, un objeto Q de${\displaystyle \mathbf {C} }$es inyectiva si y solo si su functor hom Hom _C ( – , Q ) es exacto .

Si${\displaystyle 0\to Q\to U\to V\to 0}$es una secuencia exacta en${\displaystyle \mathbf {C} }$De tal forma que Q sea inyectiva, entonces la secuencia se divide .

La categoría${\displaystyle \mathbf {C} }$Se dice que tiene suficientes inyectivos si para cada objeto X de${\displaystyle \mathbf {C} }$, existe un monomorfismo de X a un objeto inyectivo.

Un monomorfismo g en${\displaystyle \mathbf {C} }$Se denomina monomorfismo esencial si para cualquier morfismo f , el compuesto fg es un monomorfismo solo si f es un monomorfismo.

Si g es un monomorfismo esencial con dominio X y codominio inyectivo G , entonces G se denomina envoltura inyectiva de X. La envoltura inyectiva queda entonces determinada unívocamente por X salvo un isomorfismo no canónico. ^{[ 2 ]}

• En la categoría de grupos abelianos y homomorfismos de grupos , Ab , un objeto inyectivo es necesariamente un grupo divisible . Suponiendo el axioma de elección, las nociones son equivalentes.
• En la categoría de módulos (izquierdos) y homomorfismos de módulos , R - Mod , un objeto inyectivo es un módulo inyectivo . R - Mod tiene envolturas inyectivas (en consecuencia, R - Mod tiene suficientes inyectivos).
• En la categoría de espacios métricos , Met , un objeto inyectivo es un espacio métrico inyectivo , y la envoltura inyectiva de un espacio métrico es su intervalo ajustado .
• En la categoría de espacios T ₀ y aplicaciones continuas , un objeto inyectivo es siempre una topología de Scott en un retículo continuo y, por lo tanto, siempre es sobrio y localmente compacto .

Si una categoría abeliana tiene suficientes inyectivos, podemos formar resoluciones inyectivas , es decir, para un objeto X dado podemos formar una secuencia exacta larga.

${\displaystyle 0\to X\to Q^{0}\to Q^{1}\to Q^{2}\to \cdots }$

Luego se pueden definir los functores derivados de un functor F dado aplicando F a esta secuencia y calculando la homología de la secuencia resultante (no necesariamente exacta). Este enfoque se utiliza para definir los functores Ext y Tor , así como las diversas teorías de cohomología en teoría de grupos , topología algebraica y geometría algebraica . Las categorías que se utilizan suelen ser categorías de functores o categorías de haces de módulos O _X sobre algún espacio anillado ( X , O _X ) o, más generalmente, cualquier categoría de Grothendieck .

Dejar${\displaystyle \mathbf {C} }$ser una categoría y dejar${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ser una clase de morfismos de${\displaystyle \mathbf {C} }$.

Un objeto${\displaystyle Q}$de${\displaystyle \mathbf {C} }$Se dice que${\displaystyle {\mathcal {H}}}$-inyectivo si para cada morfismo${\displaystyle f:A\to Q}$y cada morfismo${\displaystyle h:A\to B}$en${\displaystyle {\mathcal {H}}}$existe un morfismo${\displaystyle g:B\to Q}$con${\displaystyle g\circ h=f}$.

Si${\displaystyle {\mathcal {H}}}$es la clase de monomorfismos , volvemos a los objetos inyectivos que se trataron anteriormente.

La categoría${\displaystyle \mathbf {C} }$Se dice que tiene suficiente${\displaystyle {\mathcal {H}}}$-inyectivos si para cada objeto X de${\displaystyle \mathbf {C} }$, existe un${\displaystyle {\mathcal {H}}}$-morfismo de X a un${\displaystyle {\mathcal {H}}}$-objeto inyectivo.

A${\displaystyle {\mathcal {H}}}$-morfismo g en${\displaystyle \mathbf {C} }$se llama${\displaystyle {\mathcal {H}}}$-esencial si para cualquier morfismo f , el compuesto fg está en${\displaystyle {\mathcal {H}}}$solo si f está en${\displaystyle {\mathcal {H}}}$.

Si g es un${\displaystyle {\mathcal {H}}}$-morfismo esencial con dominio X y un${\displaystyle {\mathcal {H}}}$-codominio inyectivo G , entonces G se llama un${\displaystyle {\mathcal {H}}}$-envoltura inyectiva de X . ^{[ 2 ]}

• Objeto proyectivo

• Jiri Adamek, Horst Herrlich, George Strecker. Categorías abstractas y concretas: La alegría de los gatos, Capítulo 9, Objetos inyectivos e incrustaciones esenciales, Republicado en Reprints and Applications of Categories, No. 17 (2006) pp. 1-507 , Wiley (1990).
• J. Rosicky, Inyectividad y categorías accesibles
• F. Cagliari y S. Montovani, T ₀ -reflexión y envolventes inyectivas de espacios de fibras