Posición continua

En la teoría del orden , un conjunto parcialmente ordenado es un conjunto en el que cada elemento es el supremo dirigido de los elementos que lo aproximan.

Sean dos elementos de un conjunto preordenado . Entonces decimos que se aproxima a , o que está muy por debajo de , si se cumplen las dos condiciones equivalentes siguientes. ${\displaystyle a,b\en P}$ ${\displaystyle (P,\lesssim )}$${\estilo de visualización a}$ ${\estilo de visualización b}$${\estilo de visualización a}$ ${\estilo de visualización b}$

• Para cualquier conjunto dirigido tal que , existe un tal que .${\displaystyle D\subseteq P}$${\displaystyle b\lesssim \sup D}$${\displaystyle d\en D}$${\displaystyle a\lesssim d}$
• Para cualquier ideal tal que , .${\displaystyle I\subseteq P}$${\displaystyle b\lesssim \sup yo}$${\displaystyle a\en yo}$

Si se aproxima a , escribimos . La relación de aproximación es una relación transitiva que es más débil que el orden original, también antisimétrica si es un conjunto parcialmente ordenado , pero no necesariamente un preorden . Es un preorden si y solo si satisface la condición de cadena ascendente . ^{[1] : p.52, Ejemplos I-1.3, (4)}${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización b}$${\estilo de visualización a\ll b}$${\estilo de visualización \ll}$${\estilo de visualización P}$${\displaystyle (P,\lesssim )}$

Para cualquier , dejemos ${\displaystyle a\en P}$

${\displaystyle \mathop {\Flecha arriba} a=\{b\en L\mid a\ll b\}}$

${\displaystyle \mathop {\Downarrow } a=\{b\in L\mid b\ll a\}}$

Entonces es un conjunto superior y un conjunto inferior . Si es un semirretículo superior , es un conjunto dirigido (es decir, implica ), y por lo tanto un ideal . ${\displaystyle \mathop {\Flecha hacia arriba} a}$${\displaystyle \mathop {\Downarrow } a}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathop {\Downarrow } a}$${\displaystyle b,c\ll a}$${\displaystyle b\vee c\ll a}$

Un conjunto preordenado se denomina conjunto preordenado continuo si para cualquier , el subconjunto está dirigido y . ${\displaystyle (P,\lesssim )}$${\displaystyle a\in P}$${\displaystyle \mathop {\Downarrow } a}$${\displaystyle a=\sup \mathop {\Downarrow } a}$

Para dos elementos cualesquiera de un conjunto preordenado continuo , si y solo si para cualquier conjunto dirigido tal que , existe un tal que . De aquí se sigue la propiedad de interpolación del conjunto preordenado continuo : para cualquier tal que existe un tal que . ${\displaystyle a,b\in P}$${\displaystyle (P,\lesssim )}$${\displaystyle a\ll b}$ ${\displaystyle D\subseteq P}$${\displaystyle b\lesssim \sup D}$${\displaystyle d\in D}$${\displaystyle a\ll d}$${\displaystyle (P,\lesssim )}$${\displaystyle a,b\in P}$${\displaystyle a\ll b}$${\displaystyle c\in P}$${\displaystyle a\ll c\ll b}$

Para dos elementos cualesquiera de una dcpo continua , las dos condiciones siguientes son equivalentes. ^{[1] : p.61, Proposición I-1.19(i)}${\displaystyle a,b\in P}$ ${\displaystyle (P,\leq )}$

• ${\displaystyle a\ll b}$y .${\displaystyle a\neq b}$
• Para cualquier conjunto dirigido tal que , existe un tal que y .${\displaystyle D\subseteq P}$${\displaystyle b\leq \sup D}$${\displaystyle d\in D}$${\displaystyle a\ll d}$${\displaystyle a\neq d}$

Con esto se puede demostrar que la siguiente propiedad de interpolación más fuerte es verdadera para dcpos continuos. Para cualquier tal que y , existe un tal que y . ^{[1] : p.61, Proposición I-1.19(ii)}${\displaystyle a,b\in P}$${\displaystyle a\ll b}$${\displaystyle a\neq b}$${\displaystyle c\in P}$${\displaystyle a\ll c\ll b}$${\displaystyle a\neq c}$

Para una dcpo , las siguientes condiciones son equivalentes. ^{[1] : Teorema I-1.10}${\displaystyle (P,\leq )}$

• ${\displaystyle P}$es continua
• El mapa supremo del conjunto parcialmente ordenado de ideales de a tiene un adjunto izquierdo .${\displaystyle \sup \colon \operatorname {Ideal} (P)\to P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$

En este caso, el adjunto izquierdo real es

${\displaystyle {\Downarrow }\colon P\to \operatorname {Ideal} (P)}$

${\displaystyle {\mathord {\Downarrow }}\dashv \sup }$

Para cualesquiera dos elementos de una red completa , si y sólo si para cualquier subconjunto tal que , existe un subconjunto finito tal que . ${\displaystyle a,b\in L}$ ${\displaystyle L}$${\displaystyle a\ll b}$${\displaystyle A\subseteq L}$${\displaystyle b\leq \sup A}$ ${\displaystyle F\subseteq A}$${\displaystyle a\leq \sup F}$

Sea una red completa . Entonces las siguientes condiciones son equivalentes. ${\displaystyle L}$

• ${\displaystyle L}$es continua
• El mapa supremo de la red completa de ideales de a preserva ínfimos arbitrarios .${\displaystyle \sup \colon \operatorname {Ideal} (L)\to L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$
• Para cualquier familia de conjuntos dirigidos de , .${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \textstyle \inf _{D\in {\mathcal {D}}}\sup D=\sup _{f\in \prod {\mathcal {D}}}\inf _{D\in {\mathcal {D}}}f(D)}$
• ${\displaystyle L}$es isomorfo a la imagen de un mapa idempotente continuo de Scott sobre la potencia directa de un número arbitrario de redes de dos puntos . ^{[2] : p.56, Teorema 44} ${\displaystyle r\colon \{0,1\}^{\kappa }\to \{0,1\}^{\kappa }}$${\displaystyle \{0,1\}}$

Una red completa continua a menudo se denomina red continua .

Para un espacio topológico , las siguientes condiciones son equivalentes. ${\displaystyle X}$

• El álgebra de Heyting completa de conjuntos abiertos de es un álgebra de Heyting completa continua .${\displaystyle \operatorname {Open} (X)}$${\displaystyle X}$
• La sobrificación de es un espacio localmente compacto (en el sentido de que cada punto tiene una base local compacta )${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle X}$es un objeto exponencial en la categoría de espacios topológicos . ^{[1] : p.196, Teorema II-4.12} Es decir, el funtor tiene un adjunto derecho .${\displaystyle \operatorname {Top} }$ ${\displaystyle (-)\times X\colon \operatorname {Top} \to \operatorname {Top} }$

• "Red continua", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "Espacio compacto con núcleo", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Posit continuo en el laboratorio n
• Categoría continua en el laboratorio n
• Ley exponencial para espacios en el laboratorio n
• Poético continuo en PlanetMath .