Álgebra de Heyting completa

En matemáticas , especialmente en teoría de órdenes , un álgebra de Heyting completa es un álgebra de Heyting que es completa como un retículo . Las álgebras de Heyting completas son objetos de tres categorías diferentes : la categoría CHey , la categoría Loc de lugares y su opuesta , la categoría Frm de marcos. Aunque estas tres categorías contienen los mismos objetos, difieren en sus morfismos y, por lo tanto, reciben nombres distintos. Solo los morfismos de CHey son homomorfismos de álgebras de Heyting completas.

Las configuraciones regionales y los marcos forman la base de la topología sin sentido , que, en lugar de basarse en la topología de conjuntos de puntos , reformula las ideas de la topología general en términos categóricos, como declaraciones sobre marcos.

Consideremos un conjunto parcialmente ordenado ( P , ≤) que es un retículo completo . Entonces P es un álgebra o marco de Heyting completo si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

• P es un álgebra de Heyting, es decir, la operación tiene un adjunto derecho (también llamado adjunto inferior de una conexión de Galois (monótona) ), para cada elemento x de P .${\displaystyle (x\land \cdot )}$

• Para todos los elementos x de P y todos los subconjuntos S de P , se cumple la siguiente ley de distributividad infinita :

${\displaystyle x\land \bigvee _{s\in S}s=\bigvee _{s\in S}(x\land s).}$

• P es una red distributiva, es decir, para todos los x , y y z en P , tenemos

${\displaystyle x\land(y\lor z)=(x\land y)\lor (x\land z)}$

y las operaciones de encuentro son continuas de Scott (es decir, preservan la supremacía de los conjuntos dirigidos ) para todo x en P.${\displaystyle (x\land \cdot )}$

La definición implícita de la implicación de Heyting es${\displaystyle a\to b=\bigvee \{c\mid a\land c\leq b\}.}$

Usando un poco más de teoría de categorías, podemos definir de manera equivalente un marco como un conjunto cartesiano cerrado y co-completo .

El sistema de todos los conjuntos abiertos de un espacio topológico dado ordenados por inclusión es un álgebra de Heyting completa.

Los objetos de la categoría CHey , la categoría Frm de marcos y la categoría Loc de lugares son álgebras de Heyting completas. Estas categorías difieren en lo que constituye un morfismo :

• Los morfismos de Frm son funciones (necesariamente monótonas ) que preservan encuentros finitos y uniones arbitrarias.

• La definición de las álgebras de Heyting implica de manera crucial la existencia de adjuntos derechos a la operación de encuentro binario, que juntos definen una operación de implicación adicional . Por lo tanto, los morfismos de CHey son morfismos de marcos que además preservan la implicación.

• Los morfismos de Loc son opuestos a los de Frm , y suelen llamarse mapas (de lugares).

La relación de los lugares y sus aplicaciones con los espacios topológicos y las funciones continuas puede verse de la siguiente manera. Sea cualquier aplicación. Los conjuntos potencia P ( X ) y P ( Y ) son álgebras de Boole completas , y la aplicación es un homomorfismo de álgebras de Boole completas. Supóngase que los espacios X e Y son espacios topológicos , dotados de la topología O ( X ) y O ( Y ) de conjuntos abiertos en X e Y . Nótese que O ( X ) y O ( Y ) son submarcos de P ( X ) y P ( Y ). Si es una función continua, entonces conserva encuentros finitos y uniones arbitrarias de estos submarcos. Esto muestra que O es un funtor de la categoría Top de espacios topológicos a Loc , tomando cualquier aplicación continua ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f^{-1}:P(Y)\a P(X)}$${\estilo de visualización f}$${\displaystyle f^{-1}:O(Y)\to O(X)}$

${\displaystyle f:X\to Y}$

al mapa

${\displaystyle O(f):O(X)\to O(Y)}$

en Loc que se define en Frm como el homomorfismo del marco de la imagen inversa

${\displaystyle f^{-1}:O(Y)\to O(X).}$

Dado un mapa de localidades en Loc , es común escribir para el homomorfismo de marco que lo define en Frm . Usando esta notación, se define por la ecuación${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle f^{*}:B\a A}$${\displaystyle O(f)}$${\displaystyle O(f)^{*}=f^{-1}.}$

Por el contrario, cualquier localidad A tiene un espacio topológico S ( A ), llamado su espectro , que mejor se aproxima a la localidad. Además, cualquier aplicación de localidades determina una aplicación continua Además, esta asignación es funcional: siendo P (1) la localidad que se obtiene como el conjunto potencia del conjunto terminal, los puntos de S ( A ) son las aplicaciones en Loc , es decir, los homomorfismos de marco${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle S(A)\a S(B).}$${\displaystyle 1=\{*\},}$${\displaystyle p:P(1)\to A}$${\displaystyle p^{*}:A\to P(1).}$

Para cada uno definimos como el conjunto de puntos tales que Es fácil verificar que esto define un homomorfismo de marco cuya imagen es por lo tanto una topología en S ( A ). Entonces, si es una función de locales, a cada punto asignamos el punto definido por siendo la composición de con obteniendo por lo tanto una función continua Esto define un funtor de Loc a Top , que es adjunto derecho a O . ${\displaystyle a\en A}$$Estilo de visualización U_{a}}$${\displaystyle p\en S(A)}$${\displaystyle p^{*}(a)=\{*\}.}$${\displaystyle A\to P(S(A)),}$${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle p\en S(A)}$${\displaystyle S(f)(q)}$${\displaystyle S(f)(p)^{*}}$${\displaystyle p^{*}}$${\displaystyle f^{*},}$${\displaystyle S(f):S(A)\to S(B).}$${\estilo de visualización S}$

Cualquier lugar que sea isomorfo a la topología de su espectro se llama espacial , y cualquier espacio topológico que sea homeomorfo al espectro de su lugar de conjuntos abiertos se llama sobrio . La adjunción entre espacios topológicos y lugares se limita a una equivalencia de categorías entre espacios sobrios y lugares espaciales.

Cualquier función que preserva todas las uniones (y, por lo tanto, cualquier homomorfismo de marco) tiene un adjunto derecho y, a la inversa, cualquier función que preserva todos los encuentros tiene un adjunto izquierdo. Por lo tanto, la categoría Loc es isomorfa a la categoría cuyos objetos son los marcos y cuyos morfismos son las funciones que preservan los encuentros cuyos adjuntos izquierdos preservan los encuentros finitos. Esto se considera a menudo como una representación de Loc , pero no debe confundirse con Loc en sí, cuyos morfismos son formalmente los mismos que los homomorfismos de marco en la dirección opuesta.

• PT Johnstone , Espacios de piedra , Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas 3, Cambridge University Press , Cambridge, 1982. ( ISBN  0-521-23893-5 )

Sigue siendo un gran recurso sobre configuraciones regionales y álgebras de Heyting completas.

• G. Gierz, K. H. Hofmann, K. Keimel, J. D. Lawson, M. Mislove y DS Scott , Retículos y dominios continuos , en Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones , vol. 93, Cambridge University Press, 2003. ISBN 0-521-80338-1 

Incluye la caracterización en términos de continuidad del encuentro.

• Francis Borceux: Manual de álgebra categórica III , volumen 52 de la Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones . Cambridge University Press, 1994.

Recurso sorprendentemente extenso sobre configuraciones regionales y álgebras de Heyting. Adopta un punto de vista más categórico.

• Steven Vickers , Topología a través de la lógica , Cambridge University Press, 1989, ISBN 0-521-36062-5 . 

• Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, eds. (2004). Fundamentos categóricos. Temas especiales en orden, topología, álgebra y teoría de haces . Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones. Vol. 97. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN. 0-521-83414-7.Zbl 1034.18001  .

• Localización en el n Lab