Ínfimo y supremo

Finalmente, un conjunto parcialmente ordenado puede tener muchos límites superiores mínimos sin tener un límite superior mínimo. Los límites superiores mínimos son aquellos para los que no existe un elemento estrictamente menor que también sea un límite superior. Esto no significa que cada límite superior mínimo sea menor que todos los demás, sino simplemente que no es mayor. La distinción entre "mínimo" y "mínimo" solo es posible cuando el orden dado no es total . En un conjunto totalmente ordenado, como los números reales, los conceptos son los mismos.

Como ejemplo, dejemos${\displaystyle S}$Sea el conjunto de todos los subconjuntos finitos de números naturales y consideremos el conjunto parcialmente ordenado obtenido al tomar todos los conjuntos de${\displaystyle S}$junto con el conjunto de números enteros${\displaystyle \mathbb {Z} }$y el conjunto de números reales positivos${\displaystyle \mathbb {R} ^{+},}$ordenado por inclusión de subconjuntos como se indicó anteriormente. Entonces claramente ambos${\displaystyle \mathbb {Z} }$y${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$son mayores que todos los conjuntos finitos de números naturales. Sin embargo, tampoco lo es${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$más pequeño que${\displaystyle \mathbb {Z} }$Tampoco es cierto lo contrario: ambos conjuntos son cotas superiores mínimas, pero ninguno es un supremo.

La propiedad de cota superior mínima es un ejemplo de las propiedades de completitud mencionadas anteriormente , típicas del conjunto de los números reales. Esta propiedad a veces se denomina completitud de Dedekind .

Si un conjunto ordenado${\displaystyle S}$tiene la propiedad de que cada subconjunto no vacío de${\displaystyle S}$tener un límite superior también implica tener un límite superior mínimo, entonces${\displaystyle S}$Se dice que tiene la propiedad de límite superior mínimo. Como se mencionó anteriormente, el conjunto${\displaystyle \mathbb {R} }$de todos los números reales tiene la propiedad de cota superior mínima. De manera similar, el conjunto${\displaystyle \mathbb {Z} }$de enteros tiene la propiedad de límite superior mínimo; si${\displaystyle S}$es un subconjunto no vacío de${\displaystyle \mathbb {Z} }$y hay algún número${\displaystyle n}$de tal manera que cada elemento${\displaystyle s}$de${\displaystyle S}$es menor o igual que${\displaystyle n,}$entonces existe un límite superior mínimo${\displaystyle u}$para${\displaystyle S,}$un número entero que es un límite superior para${\displaystyle S}$y es menor o igual que cualquier otro límite superior para${\displaystyle S.}$Un conjunto bien ordenado también tiene la propiedad de cota superior mínima, y ​​el subconjunto vacío también tiene una cota superior mínima: el mínimo de todo el conjunto.

Un ejemplo de un conjunto que carece de la propiedad de límite superior mínimo es${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$el conjunto de los números racionales. Sea${\displaystyle S}$Sea el conjunto de todos los números racionales.${\displaystyle q}$de tal manera que${\displaystyle q^{2}<2.}$Entonces${\displaystyle S}$tiene un límite superior (${\displaystyle 1000,}$por ejemplo, o${\displaystyle 6}$) pero no hay límite superior mínimo en${\displaystyle \mathbb {Q} }$: Si suponemos${\displaystyle p\in \mathbb {Q} }$es el límite superior más pequeño, se deduce inmediatamente una contradicción porque entre cualesquiera dos reales${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$(incluido${\displaystyle {\sqrt {2}}}$y${\displaystyle p}$) existe alguna racionalidad${\displaystyle r,}$que en sí mismo tendría que ser el límite superior más bajo (si${\displaystyle p>{\sqrt {2}}}$) o un miembro de${\displaystyle S}$más que${\displaystyle p}$(si${\displaystyle p<{\sqrt {2}}}$Otro ejemplo son los hiperreales ; no existe una cota superior mínima del conjunto de infinitesimales positivos.

Existe una propiedad correspondiente de cota inferior máxima ; un conjunto ordenado posee la propiedad de cota inferior máxima si y solo si también posee la propiedad de cota superior mínima; la cota superior mínima del conjunto de cotas inferiores de un conjunto es la cota inferior máxima, y ​​la cota inferior máxima del conjunto de cotas superiores de un conjunto es la cota superior mínima del conjunto.

Si en un conjunto parcialmente ordenado${\displaystyle P}$todo subconjunto acotado tiene un supremo, esto también se aplica a cualquier conjunto${\displaystyle X,}$en el espacio de funciones que contiene todas las funciones de${\displaystyle X}$a${\displaystyle P,}$dónde${\displaystyle f\leq g}$si y solo si${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$a pesar de${\displaystyle x\in X.}$Por ejemplo, se aplica a funciones reales y, dado que estas pueden considerarse casos especiales de funciones, para funciones reales${\displaystyle n}$-tuplas y secuencias de números reales.

La propiedad del límite superior mínimo es un indicador del supremo.

Si${\displaystyle A}$es cualquier conjunto de números reales entonces${\displaystyle A\neq \varnothing }$si y solo si${\displaystyle \sup A\geq \inf A,}$y de otro modo${\displaystyle -\infty =\sup \varnothing <\inf \varnothing =\infty .}$^{[ 2 ]}

Inclusión del conjunto

Si${\displaystyle A\subsetequ B}$son conjuntos de números reales entonces${\displaystyle \inf A\geq \inf B}$(si${\displaystyle A=\varnothing }$Esto se lee como${\displaystyle \inf B\leq \infty }$) y${\displaystyle \sup A\leq \sup B.}$

Imagen en funciones Si${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$es una función no decreciente y${\displaystyle S}$es un subconjunto acotado no vacío de${\displaystyle \mathbb {R} }$, entonces ${\displaystyle f(\inf(S))\leq \inf(f[S])}$y${\displaystyle f(\sup(S))\geq \sup(f[S])}$donde la imagen se define como${\displaystyle f[S]\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\{f(s):s\in S\}.}$

Identificación de ínfima y suprema

Si el ínfimo de${\displaystyle A}$existe (es decir,${\displaystyle \inf A}$es un número real) y si${\displaystyle p}$es cualquier número real entonces${\displaystyle p=\inf A}$si y solo si${\displaystyle p}$es un límite inferior y para cada${\displaystyle \epsilon >0}$hay un${\displaystyle a_{\epsilon }\in A}$con${\displaystyle a_{\epsilon }<p+\epsilon .}$ De manera similar, si${\displaystyle \sup A}$es un número real y si${\displaystyle p}$es cualquier número real entonces${\displaystyle p=\sup A}$si y solo si${\displaystyle p}$es un límite superior y si para cada${\displaystyle \epsilon >0}$hay un${\displaystyle a_{\epsilon }\in A}$con${\displaystyle a_{\epsilon }>p-\epsilon .}$

Relación con los límites de las secuencias

Si${\displaystyle S\neq \varnothing }$Si existe un conjunto no vacío de números reales, entonces siempre existe una secuencia no decreciente.${\displaystyle s_{1}\leq s_{2}\leq \cdots }$en${\displaystyle S}$de tal manera que${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=\sup S.}$De manera similar, existirá una secuencia no creciente (posiblemente diferente).${\displaystyle s_{1}\geq s_{2}\geq \cdots }$en${\displaystyle S}$de tal manera que${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=\inf S.}$ En particular, el ínfimo y el supremo de un conjunto pertenecen a su clausura si${\displaystyle \inf S\in \mathbb {R} }$entonces${\displaystyle \inf S\in {\bar {S}}}$y si ${\displaystyle \sup S\in \mathbb {R} }$entonces${\displaystyle \sup S\in {\bar {S}}}$

Expresar el ínfimo y el supremo como un límite de dicha sucesión permite aplicar teoremas de diversas ramas de las matemáticas. Consideremos, por ejemplo, el conocido hecho de la topología de que si${\displaystyle f}$es una función continua y${\displaystyle s_{1},s_{2},\ldots }$es una secuencia de puntos en su dominio que converge a un punto${\displaystyle p,}$entonces${\displaystyle f\left(s_{1}\right),f\left(s_{2}\right),\ldots }$necesariamente converge a${\displaystyle f(p).}$ Esto implica que si${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=\sup S}$es un número real (donde todos${\displaystyle s_{1},s_{2},\ldots }$están en${\displaystyle S}$) y si${\displaystyle f}$es una función continua cuyo dominio contiene${\displaystyle S}$y${\displaystyle \sup S,}$entonces $${\displaystyle f(\sup S)=f\left(\lim _{n\to \infty }s_{n}\right)=\lim _{n\to \infty }f\left(s_{n}\right),}$$ lo cual (por ejemplo) garantiza ^{[ nota 1 ]} que${\displaystyle f(\sup S)}$es un punto de adhesión del conjunto${\displaystyle f(S)\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\{f(s):s\in S\}.}$ Si además de lo que se ha supuesto, la función continua${\displaystyle f}$Si también es una función creciente o no decreciente , entonces incluso es posible concluir que${\displaystyle \sup f(S)=f(\sup S).}$ Esto puede aplicarse, por ejemplo, para concluir que siempre que${\displaystyle g}$es una función de valores reales (o complejos ) con dominio${\displaystyle \Omega \neq \varnothing }$cuya norma suprema${\displaystyle \|g\|_{\infty }\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\sup _{x\in \Omega }|g(x)|}$es finito, entonces para cada número real no negativo${\displaystyle q,}$$${\displaystyle \|g\|_{\infty }^{q}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(\sup _{x\in \Omega }|g(x)|\right)^{q}=\sup _{x\in \Omega }\left(|g(x)|^{q}\right)}$$ ya que el mapa${\displaystyle f:[0,\infty )\to \mathbb {R} }$definido por${\displaystyle f(x)=x^{q}}$es una función continua no decreciente cuyo dominio${\displaystyle [0,\infty )}$siempre contiene${\displaystyle S:=\{|g(x)|:x\in \Omega \}}$y${\displaystyle \sup S\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\|g\|_{\infty }.}$

Aunque esta discusión se centró en${\displaystyle \sup ,}$Se pueden llegar a conclusiones similares para${\displaystyle \inf }$con los cambios apropiados (como exigir que${\displaystyle f}$ser no creciente en lugar de no decreciente). Otras normas definidas en términos de${\displaystyle \sup }$o${\displaystyle \inf }$incluir los débiles${\displaystyle L^{p,w}}$normas espaciales (para${\displaystyle 1\leq p<\infty }$), la norma en el espacio de Lebesgue${\displaystyle L^{\infty }(\Omega ,\mu ),}$y normas de operadores . Secuencias monótonas en${\displaystyle S}$que convergen a${\displaystyle \sup S}$(o a${\displaystyle \inf S}$) también se puede utilizar para ayudar a demostrar muchas de las fórmulas que se dan a continuación, ya que la suma y la multiplicación de números reales son operaciones continuas.

Las siguientes fórmulas dependen de una notación que generaliza convenientemente las operaciones aritméticas en conjuntos. A lo largo de todo el texto,${\displaystyle A,B\subseteq \mathbb {R} }$son conjuntos de números reales.

Suma de conjuntos

La suma de Minkowski de dos conjuntos${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$de números reales es el conjunto $${\displaystyle A+B~:=~\{a+b:a\in A,b\in B\}}$$ que consta de todas las posibles sumas aritméticas de pares de números, una de cada conjunto. El ínfimo y el supremo de la suma de Minkowski satisfacen, si${\displaystyle A\neq \varnothing \neq B}$$${\displaystyle \inf(A+B)=(\inf A)+(\inf B)}$$ y $${\displaystyle \sup(A+B)=(\sup A)+(\sup B).}$$

Producto de conjuntos

La multiplicación de dos conjuntos${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$La suma de números reales se define de forma similar a su suma de Minkowski: $${\displaystyle A\cdot B~:=~\{a\cdot b:a\in A,b\in B\}.}$$

Si${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$son conjuntos no vacíos de números reales positivos entonces${\displaystyle \inf(A\cdot B)=(\inf A)\cdot (\inf B)}$y de forma similar para suprema${\displaystyle \sup(A\cdot B)=(\sup A)\cdot (\sup B).}$^{[ 3 ]}

Producto escalar de un conjunto

El producto de un número real${\displaystyle r}$y un conjunto${\displaystyle B}$de números reales es el conjunto $${\displaystyle rB~:=~\{r\cdot b:b\in B\}.}$$

Si${\displaystyle r>0}$entonces $${\displaystyle \inf(r\cdot A)=r(\inf A)\quad {\text{ and }}\quad \sup(r\cdot A)=r(\sup A),}$$ mientras que si${\displaystyle r<0}$entonces $${\displaystyle \inf(r\cdot A)=r(\sup A)\quad {\text{ and }}\quad \sup(r\cdot A)=r(\inf A).}$$ En el caso${\displaystyle r=0}$, uno tiene, si${\displaystyle A\neq \varnothing }$$${\displaystyle \inf(0\cdot A)=0\quad {\text{ and }}\quad \sup(0\cdot A)=0}$$ Usando${\displaystyle r=-1}$y la notación${\textstyle -A:=(-1)A=\{-a:a\in A\},}$resulta que, $${\displaystyle \inf(-A)=-\sup A\quad {\text{ and }}\quad \sup(-A)=-\inf A.}$$

Inverso multiplicativo de un conjunto

Para cualquier conjunto${\displaystyle S}$que no contiene${\displaystyle 0,}$dejar $${\displaystyle {\frac {1}{S}}~:=\;\left\{{\tfrac {1}{s}}:s\in S\right\}.}$$

Si${\displaystyle S\subseteq (0,\infty )}$entonces no está vacío $${\displaystyle {\frac {1}{\sup _{}S}}~=~\inf _{}{\frac {1}{S}}}$$ donde esta ecuación también se cumple cuando${\displaystyle \sup _{}S=\infty }$si la definición${\displaystyle {\frac {1}{\infty }}:=0}$se utiliza. ^{[ nota 2 ]} Esta igualdad también puede escribirse como ${\displaystyle {\frac {1}{\displaystyle \sup _{s\in S}s}}=\inf _{s\in S}{\tfrac {1}{s}}.}$ Además,${\displaystyle \inf _{}S=0}$si y solo si${\displaystyle \sup _{}{\tfrac {1}{S}}=\infty ,}$donde si ^{[ nota 2 ]}${\displaystyle \inf _{}S>0,}$entonces${\displaystyle {\tfrac {1}{\inf _{}S}}=\sup _{}{\tfrac {1}{S}}.}$

• El ínfimo del conjunto de números${\displaystyle \{2,3,4\}}$es${\displaystyle 2.}$El número${\displaystyle 1}$es un límite inferior, pero no el mayor límite inferior, y por lo tanto no es el ínfimo.
• En términos más generales, si un conjunto tiene un elemento mínimo, este se denomina ínfimo. En este caso, también se le conoce como el mínimo del conjunto.
• ${\displaystyle \inf\{1,2,3,\ldots \}=1.}$
• ${\displaystyle \inf\{x\in \mathbb {R} :0<x<1\}=0.}$
• ${\displaystyle \inf \left\{x\in \mathbb {Q} :x^{3}>2\right\}={\sqrt[{3}]{2}}.}$
• ${\displaystyle \inf \left\{(-1)^{n}+{\tfrac {1}{n}}:n=1,2,3,\ldots \right\}=-1.}$
• Si${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$es una secuencia decreciente con límite${\displaystyle x,}$entonces${\displaystyle \inf x_{n}=x.}$

• El supremo del conjunto de números${\displaystyle \{1,2,3\}}$es${\displaystyle 3.}$El número${\displaystyle 4}$es una cota superior, pero no es la menor cota superior y, por lo tanto, no es el supremo.
• ${\displaystyle \sup\{x\in \mathbb {R} :0<x<1\}=\sup\{x\in \mathbb {R} :0\leq x\leq 1\}=1.}$
• ${\displaystyle \sup \left\{(-1)^{n}-{\tfrac {1}{n}}:n=1,2,3,\ldots \right\}=1.}$
• ${\displaystyle \sup\{a+b:a\in A,b\in B\}=\sup A+\sup B.}$
• ${\displaystyle \sup \left\{x\in \mathbb {Q} :x^{2}<2\right\}={\sqrt {2}}.}$

En el último ejemplo, el supremo de un conjunto de racionales es irracional , lo que significa que los racionales son incompletos .

Una propiedad básica del supremo es $${\displaystyle \sup\{f(t)+g(t):t\in A\}~\leq ~\sup\{f(t):t\in A\}+\sup\{g(t):t\in A\}}$$ para cualquier funcional${\displaystyle f}$y${\displaystyle g.}$

El supremo de un subconjunto${\displaystyle S}$de${\displaystyle (\mathbb {N} ,\mid \,)}$dónde${\displaystyle \,\mid \,}$denota " divide ", es el mínimo común múltiplo de los elementos de${\displaystyle S.}$

El supremo de un conjunto${\displaystyle S}$que contiene subconjuntos de algún conjunto${\displaystyle X}$es la unión de los subconjuntos cuando se considera el conjunto parcialmente ordenado${\displaystyle (P(X),\subseteq )}$, dónde${\displaystyle P}$es el conjunto de potencias de${\displaystyle X}$y${\displaystyle \,\subseteq \,}$es un subconjunto .