Sistema vecinal

En topología y áreas relacionadas de las matemáticas , el sistema de vecindad , sistema completo de vecindades , ^{[ 1 ]} o filtro de vecindad${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$por un punto${\displaystyle x}$en un espacio topológico es la colección de todos los vecindarios de${\displaystyle x.}$

Vecindario de un punto o conjunto

Unvecindad abierta de un punto (osubconjunto ^{[ nota 1 ]} )${\displaystyle x}$en un espacio topológico${\displaystyle X}$es cualquier subconjunto abierto${\displaystyle U}$de${\displaystyle X}$que contiene${\displaystyle x.}$ Abarrio de${\displaystyle x}$en${\displaystyle X}$es cualquier subconjunto${\displaystyle N\subsetequ X}$que contiene algún vecindario abierto de${\displaystyle x}$; explícitamente,${\displaystyle N}$es un barrio de${\displaystyle x}$en${\displaystyle X}$si y solo si existe algún subconjunto abierto${\displaystyle U}$con${\displaystyle x\in U\subsetequ N}$. ^{[ 2 ] [ 3 ]} De manera equivalente, un vecindario de${\displaystyle x}$es cualquier conjunto que contiene${\displaystyle x}$en su interior topológico .

Es importante destacar que un "vecindario" no tiene por qué ser un conjunto abierto; aquellos vecindarios que también resultan ser conjuntos abiertos se conocen como "vecindarios abiertos". ^{[ nota 2 ]} De manera similar, un vecindario que también es un conjunto cerrado (respectivamente, compacto , conectado , etc.) se denominavecindario cerrado (respectivamente,barrio compacto ,vecindario conectado , etc.). Existen muchos otros tipos de vecindarios que se utilizan en topología y campos relacionados, comoel análisis funcional. La familia de todos los vecindarios que poseen una determinada propiedad "útil" suele formar unabase de vecindario, aunque muchas veces estos vecindarios no son necesariamente abiertos.Los espacios localmente compactos, por ejemplo, son aquellos espacios que, en cada punto, tienen una base de vecindario compuesta enteramente por conjuntos compactos.

Filtro de vecindario

El sistema de vecindad para un punto (o subconjunto no vacío )${\displaystyle x}$es un filtro llamado filtro de vecindario para${\displaystyle x.}$El filtro de vecindario para un punto${\displaystyle x\in X}$es lo mismo que el filtro de vecindario del conjunto unitario${\displaystyle \{x\}.}$

Si${\displaystyle \mathbb {R} }$tiene su topología euclidiana habitual , entonces los vecindarios de${\displaystyle 0}$son todos esos subconjuntos${\displaystyle N\subseteq \mathbb {R} }$para los cuales existe algún número real${\displaystyle r>0}$de tal manera que${\displaystyle (-r,r)\subseteq N.}$Por ejemplo, todos los siguientes conjuntos son vecindarios de${\displaystyle 0}$en${\displaystyle \mathbb {R} }$: $${\displaystyle (-2,2),\;[-2,2],\;[-2,\infty ),\;[-2,2)\cup \{10\},\;[-2,2]\cup \mathbb {Q} ,\;\mathbb {R} }$$ pero ninguno de los siguientes conjuntos son vecindarios de${\displaystyle 0}$: $${\displaystyle \{0\},\;\mathbb {Q} ,\;(0,2),\;[0,2),\;[0,2)\cup \mathbb {Q} ,\;(-2,2)\setminus \left\{1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots \right\}}$$ dónde${\displaystyle \mathbb {Q} }$denota los números racionales .

Si${\displaystyle U}$es un subconjunto abierto de un espacio topológico${\displaystyle X}$entonces por cada${\displaystyle u\in U,}$${\displaystyle U}$es un barrio de${\displaystyle u}$en${\displaystyle X.}$ En términos más generales, si${\displaystyle N\subseteq X}$es cualquier conjunto y${\displaystyle \operatorname {int} _{X}N}$denota el interior topológico de${\displaystyle N}$en${\displaystyle X,}$entonces${\displaystyle N}$es un barrio (en${\displaystyle X}$) de cada punto${\displaystyle x\in \operatorname {int} _{X}N}$y además,${\displaystyle N}$no es un vecindario de ningún otro punto. Dicho de otra manera,${\displaystyle N}$es un vecindario de un punto${\displaystyle x\in X}$si y solo si${\displaystyle x\in \operatorname {int} _{X}N.}$

Bases vecinales

En cualquier espacio topológico, el sistema de vecindades de un punto es también una base de vecindades para ese punto. El conjunto de todas las vecindades abiertas en un punto forma una base de vecindades en ese punto. Para cualquier punto${\displaystyle x}$en un espacio métrico , la secuencia de bolas abiertas alrededor de${\displaystyle x}$con radio${\displaystyle 1/n}$formar una base de vecindario contable${\displaystyle {\mathcal {B}}=\left\{B_{1/n}:n=1,2,3,\dots \right\}}$Esto significa que todo espacio métrico es numerable en primer orden .

Dado un espacio${\displaystyle X}$con la topología indiscreta el sistema de vecindad para cualquier punto${\displaystyle x}$solo contiene todo el espacio,${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)=\{X\}}$.

En la topología débil sobre el espacio de medidas sobre un espacio${\displaystyle E,}$una base vecinal sobre${\displaystyle \nu }$es dado por $${\displaystyle \left\{\mu \in {\mathcal {M}}(E):\left|\mu f_{i}-\nu f_{i}\right|<r_{i},\,i=1,\dots ,n\right\}}$$ dónde${\displaystyle f_{i}}$son funciones continuas acotadas de${\displaystyle E}$a las cifras reales y${\displaystyle r_{1},\dots ,r_{n}}$son números reales positivos.

Espacios seminormados y grupos topológicos

En un espacio seminormado , es decir, un espacio vectorial con la topología inducida por una seminorma , todos los sistemas de vecindad se pueden construir mediante la traslación del sistema de vecindad del origen, $${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)={\mathcal {N}}(0)+x.}$$

Esto se debe a que, por hipótesis, la suma de vectores es continua por separado en la topología inducida. Por lo tanto, la topología está determinada por su sistema de vecindad en el origen. De manera más general, esto sigue siendo cierto siempre que el espacio sea un grupo topológico o la topología esté definida por una pseudométrica .

Suponer${\displaystyle u\in U\subseteq X}$y dejar${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ser una base vecinal para${\displaystyle u}$en${\displaystyle X.}$Hacer${\displaystyle {\mathcal {N}}}$en un conjunto dirigido ordenándolo parcialmente por inclusión de superconjuntos${\displaystyle \,\supseteq .}$Entonces${\displaystyle U}$no es un barrio de${\displaystyle u}$en${\displaystyle X}$si y solo si existe un${\displaystyle {\mathcal {N}}}$-red indexada${\displaystyle \left(x_{N}\right)_{N\in {\mathcal {N}}}}$en${\displaystyle X\setminus U}$de tal manera que${\displaystyle x_{N}\in N\setminus U}$por cada${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}}$(lo que implica que${\displaystyle \left(x_{N}\right)_{N\in {\mathcal {N}}}\to u}$en${\displaystyle X}$).

• Base (topología) – Colección de conjuntos abiertos que se utilizan para definir una topología. 
• Filtro en un conjunto : familia de subconjuntos que representan conjuntos "grandes". 
• Filtros en topología : uso de filtros para describir y caracterizar todas las nociones y resultados topológicos básicos. 
• Espacio vectorial topológico localmente convexo : espacio con topología generada por conjuntos convexos. 
• Vecindario (matemáticas) – Conjunto abierto que contiene un punto dado 
• Subbase : Colección de subconjuntos que generan una topología. 
• Vecindario tubular – Vecindario de un submanifold 

• Bourbaki, Nicolás (1989) [1966]. Topología general: capítulos 1 a 4 [ Topologie Générale ] . Elementos matemáticos . Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. doi : 10.1007/978-3-642-61701-0 . ISBN 978-3-540-64241-1OCLC 18588129 .​ 
• Dixmier, Jacques (1984). Topología general . Textos de matemáticas para estudiantes de pregrado. Traducido por Berberian, SK. Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90972-1OCLC 10277303​​ 
• Willard, Stephen (2004) [1970]. Topología general . Mineola, NY : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7OCLC 115240 .​