Cofinal (matemáticas)

En matemáticas , un subconjunto${\displaystyle B\subsetae}$de un conjunto reservado${\displaystyle (A,\leq )}$se dice que es cofinal o frecuente ^{[ 1 ]} en${\displaystyle A}$si por cada${\displaystyle a\in A,}$es posible encontrar un elemento${\displaystyle b}$en${\displaystyle B}$que domina${\displaystyle a}$(formalmente,${\displaystyle a\leq b}$).

Los subconjuntos cofinales son muy importantes en la teoría de conjuntos y redes dirigidas , donde " subred cofinal " es la generalización apropiada de " subsecuencia ". También son importantes en la teoría del orden , incluida la teoría de los números cardinales , donde la cardinalidad mínima posible de un subconjunto cofinal de${\displaystyle A}$se denomina cofinalidad de${\displaystyle A.}$

Dejar${\displaystyle \,\leq \,}$sea ​​una relación binaria homogénea en un conjunto${\displaystyle A.}$ Un subconjunto${\displaystyle B\subsetae}$Se dice que es cofinal o frecuente ^{[ 1 ]} con respecto a${\displaystyle \,\leq \,}$si cumple la siguiente condición:

Por cada${\displaystyle a\in A,}$existe algo${\displaystyle b\in B}$eso${\displaystyle a\leq b.}$

Un subconjunto que no es frecuente se denomina infrecuente . ^{[ 1 ]} Esta definición se aplica más comúnmente cuando${\displaystyle (A,\leq )}$es un conjunto dirigido , que es un conjunto preordenado con propiedades adicionales.

Funciones finales

Un mapa${\displaystyle f:X\to A}$Se dice que entre dos conjuntos dirigidos es final ^{[ 2 ]} si la imagen${\displaystyle f(X)}$de${\displaystyle f}$es un subconjunto cofinal de${\displaystyle A.}$

subconjuntos coincidentes

Un subconjunto${\displaystyle B\subsetae}$Se dice que es coinicial (o denso en el sentido de forzado ) si satisface la siguiente condición:

Por cada${\displaystyle a\in A,}$existe algo${\displaystyle b\in B}$de tal manera que${\displaystyle b\leq a.}$

Este es el dual en teoría del orden de la noción de subconjunto cofinal. Los subconjuntos cofinales (respectivamente, coiniciales) son precisamente los conjuntos densos con respecto a la topología de orden derecho (respectivamente, izquierdo) .

La relación de cofinalidad sobre conjuntos parcialmente ordenados (" posets ") es reflexiva : todo poset es cofinal en sí mismo. También es transitiva : si${\displaystyle B}$es un subconjunto cofinal de un poset${\displaystyle A,}$y${\displaystyle C}$es un subconjunto cofinal de${\displaystyle B}$(con el ordenamiento parcial de${\displaystyle A}$aplicado a${\displaystyle B}$), entonces${\displaystyle C}$es también un subconjunto cofinal de${\displaystyle A.}$

Para un conjunto parcialmente ordenado con elementos máximos , todo subconjunto cofinal debe contener todos los elementos máximos ; de lo contrario, un elemento máximo que no esté en el subconjunto no sería menor o igual que ningún elemento del subconjunto, lo que violaría la definición de cofinal. Para un conjunto parcialmente ordenado con un elemento máximo , un subconjunto es cofinal si y solo si contiene ese elemento máximo (esto se deduce de que un elemento máximo es necesariamente un elemento máximo). Los conjuntos parcialmente ordenados sin elemento máximo ni elementos máximos admiten subconjuntos cofinales disjuntos. Por ejemplo, los números naturales pares e impares forman subconjuntos cofinales disjuntos del conjunto de todos los números naturales.

Si un conjunto parcialmente ordenado${\displaystyle A}$admite un subconjunto cofinal totalmente ordenado , entonces podemos encontrar un subconjunto${\displaystyle B}$que esté bien ordenado y sea cofinal en${\displaystyle A.}$

Si${\displaystyle (A,\leq )}$es un conjunto dirigido y si${\displaystyle B\subsetae}$es un subconjunto cofinal de${\displaystyle A}$entonces${\displaystyle (B,\leq )}$También es un conjunto dirigido. ^{[ 1 ]}

Cualquier superconjunto de un subconjunto cofinal es también cofinal. ^{[ 1 ]}

Si${\displaystyle (A,\leq )}$es un conjunto dirigido y si alguna unión de (uno o más) un número finito de subconjuntos${\displaystyle S_{1}\cup \cdots \cup S_{n}}$Si es cofinal, entonces al menos uno de los sets${\displaystyle S_{1},\ldots ,S_{n}}$es cofinal. ^{[ 1 ]} Esta propiedad no es verdadera en general sin la hipótesis de que${\displaystyle (A,\leq )}$está dirigido.

Relaciones de subconjuntos y bases de vecindad

Dejar${\displaystyle X}$sea ​​un espacio topológico y dejemos que${\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}}$denota el filtro de vecindario en un punto${\displaystyle x\in X.}$ La relación de superconjunto${\displaystyle \,\supseteq \,}$es una orden parcial en${\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}}$: explícitamente, para cualquier conjunto${\displaystyle S}$y${\displaystyle T,}$declarar que${\displaystyle S\leq T}$si y solo si${\displaystyle S\supseteq T}$(en esencia,${\displaystyle \,\leq \,}$es igual a${\displaystyle \,\supseteq \,}$). Un subconjunto${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {N}}_{x}}$se llama base vecinal en${\displaystyle x}$si (y solo si)${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es un subconjunto cofinal de${\displaystyle \left({\mathcal {N}}_{x},\supseteq \right);}$ es decir, si y solo si para cada${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}_{x}}$existe algo${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$de tal manera que${\displaystyle N\supseteq B.}$(Es decir, tal que${\displaystyle N\leq B}$.)

subconjuntos cofinales de los números reales

Para cualquier${\displaystyle -\infty <x<\infty,}$el intervalo${\displaystyle (x,\infty )}$es un subconjunto cofinal de${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}$pero no es un subconjunto cofinal de${\displaystyle (\mathbb {R} ,\geq ).}$ El conjunto${\displaystyle \mathbb {N} }$de números naturales (que consisten en enteros positivos) es un subconjunto cofinal de${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}$pero esto no es cierto para el conjunto de los enteros negativos.${\displaystyle -\mathbb {N}$ :=\{-1,-2,-3,\ldots \}.}

De manera similar, para cualquier${\displaystyle -\infty <y<\infty,}$el intervalo${\displaystyle (-\infty ,y)}$es un subconjunto cofinal de${\displaystyle (\mathbb {R} ,\geq )}$pero no es un subconjunto cofinal de${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq ).}$ El conjunto${\displaystyle -\mathbb {N} }$de enteros negativos es un subconjunto cofinal de${\displaystyle (\mathbb {R} ,\geq )}$pero esto no es cierto para los números naturales.${\displaystyle \mathbb {N} .}$ El conjunto${\displaystyle \mathbb {Z} }$de todos los enteros es un subconjunto cofinal de${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}$y también un subconjunto cofinal de${\displaystyle (\mathbb {R} ,\geq )}$; lo mismo es cierto para el conjunto${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

Se presenta un caso particular pero importante si${\displaystyle A}$es un subconjunto del conjunto potencia${\displaystyle \wp (E)}$de algún conjunto${\displaystyle E,}$ordenado por inclusión inversa${\displaystyle \,\supseteq .}$Dado este orden de${\displaystyle A,}$un subconjunto${\displaystyle B\subsetae}$es cofinal en${\displaystyle A}$si por cada${\displaystyle a\in A}$hay un${\displaystyle b\in B}$de tal manera que${\displaystyle a\supseteq b.}$

Por ejemplo, dejemos${\displaystyle E}$ser un grupo y dejar${\displaystyle A}$Sea el conjunto de subgrupos normales de índice finito . La completación profinita de${\displaystyle E}$se define como el límite inverso del sistema inverso de cocientes finitos de${\displaystyle E}$(que están parametrizados por el conjunto${\displaystyle A}$). En esta situación, cada subconjunto cofinal de${\displaystyle A}$es suficiente para construir y describir la completitud finita de${\displaystyle E.}$

• Cofinito – Subconjunto con complemento finito Páginas que muestran descripciones breves de destinos de redirección 
• Cofinalidad : tamaño de los subconjuntos en la teoría del orden. 
• Conjunto superior : subconjunto de un pedido anticipado que contiene todos los elementos más grandes. Páginas que muestran descripciones breves de los destinos de redirección. 
  • un subconjunto${\displaystyle U}$de un conjunto parcialmente ordenado${\displaystyle (P,\leq )}$que contiene cada elemento${\displaystyle y\in P}$para lo cual existe un${\displaystyle x\in U}$con${\displaystyle x\leq y}$

• Lang, Serge (1993), Álgebra (Tercera  ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001 
• Schechter, Eric (1996). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4OCLC 175294365​​