Tramo estrecho

En geometría métrica , la envoltura métrica o espacio hiperconvexo de un espacio métrico M es un espacio métrico inyectivo en el que M puede estar incrustado. En cierto sentido, consiste en todos los puntos "entre" los puntos de M , de forma análoga a la envoltura convexa de un conjunto de puntos en un espacio euclidiano . El espacio hiperconvexo también se conoce a veces como envoltura inyectiva o envoltura hiperconvexa de M. También se le ha llamado envoltura inyectiva , pero no debe confundirse con la envoltura inyectiva de un módulo en álgebra , un concepto con una descripción similar en relación con la categoría de R -módulos en lugar de espacios métricos.

El tramo ajustado fue descrito por primera vez por Isbell (1964) , y Holsztyński lo estudió y aplicó en la década de 1960. Posteriormente, Dress (1984) y Chrobak y Larmore (1994) lo redescubrieron de forma independiente ; véase Chepoi (1997) para más información sobre su historia . El tramo ajustado es una de las construcciones centrales de la teoría T.

El espacio métrico estrecho se puede definir de la siguiente manera. Sea ( X , d ) un espacio métrico y sea T ( X ) el conjunto de funciones extremales en X , donde decimos que una función extremal en X es una función f de X a R tal que

1. Para cualesquiera x , y en X , d ( x , y ) ≤ f ( x ) + f ( y ), y
2. Para cada x en X , f(x) = sup{ d(x,y) - f(y):y en X }. ^{[ 1 ] : 124}

En particular (tomando x = y en la propiedad 1 anterior), f ( x ) ≥ 0 para todo x . Una forma de interpretar el primer requisito anterior es que f define un conjunto de distancias posibles desde un nuevo punto a los puntos en X que deben satisfacer la desigualdad triangular junto con las distancias en ( X , d ). El segundo requisito establece que ninguna de estas distancias puede reducirse sin violar la desigualdad triangular.

El espacio comprimido de (X,d) es el espacio métrico (T(X),δ), donde es análogo a la métrica inducida por la norma ℓ ^∞ . (Si d es acotado, entonces δ es la métrica del subespacio inducida por la métrica inducida por la norma ℓ ^∞ . Si d no es acotado, entonces toda función extremal en X es no acotada y, por lo tanto , En cualquier caso, será cierto que para cualesquiera f,g en T(X) , la diferencia pertenece a , es decir, es acotada.)$${\displaystyle \delta =(\inf\{C\in \mathbb {R} _{\geq 0}:|g(x)-f(x)|\leq C{\text{ para todo }}x\in X\})_{f,g\in T(X)}=(\|gf\|_{\infty })_{f,g\in T(X)}}$$${\displaystyle T(X)\not \subseteq \ell ^{\infty }(X).}$${\displaystyle gf}$${\displaystyle \ell ^{\infty }(X)}$

Para una función f de X a R que satisface el primer requisito, las siguientes versiones del segundo requisito son equivalentes:

• Para cada x en X , f(x) = sup{ d(x,y) - f(y):y en X }.
• f es puntualmente mínima con respecto al primer requisito mencionado anteriormente, es decir, para cualquier función g de X a R tal que d(x,y) ≤ g(x) + g(y) para todo x,y en X , si g≤f puntualmente, entonces f=g . ^{[ 2 ] : 93, Proposición 4.6.2 [ Nota 1 ] [ Nota 2 ] [ 3 ] : Lema 5.1}

• Para todo x en X ,${\displaystyle 0\leq f(x).}$
• Para cada x en X , es extremal. (Demostración: Usar la simetría y la desigualdad triangular .) ^{[ Nota 3 ]}${\displaystyle (d(x,y))_{y\in X}}$
• Si X es finito, entonces para cualquier función f de X a R que satisfaga el primer requisito, el segundo requisito es equivalente a la condición de que para cada x en X , existe y en X tal que f ( x ) + f ( y ) = d ( x , y ). (Si entonces ambas condiciones son verdaderas. Si entonces se alcanza el supremo, y el primer requisito implica la equivalencia).${\displaystyle X=\emptyset ,}$${\displaystyle X\neq \emptyset ,}$
• Supongamos que |X|=2 y elijamos distintos a y b tales que X={a,b}. Entonces es la envoltura convexa de {{(a,1),(b,0)},{(a,0),(b,1)}}. [Añadir una imagen. Leyenda: Si X={0,1}, entonces es la envoltura convexa de {(0,1),(1,0)}. ] ^{[ 4 ] : 124}${\displaystyle T(X)=\{f\in (\mathbb {R} _{\geq 0})^{X}:f(a)+f(b)=d(a,b)\}}$${\displaystyle T(X)=\{v\in (\mathbb {R} _{\geq 0})^{2}:v_{0}+v_{1}=d(0,1)\}}$
• Toda función extremal f en X es Katetov : ^{[ 5 ] [ 6 ] : Sección 2} f satisface el primer requisito y o equivalentemente, f satisface el primer requisito y (es 1- Lipschitz ), o equivalentemente, f satisface el primer requisito y ^{[ 2 ] : Demostración de la Proposición 4.6.1 [ Nota 4 ]}${\displaystyle \forall x,y\in X\quad f(x)\leq d(x,y)+f(y),}$${\displaystyle \forall x,y\in X\quad |f(y)-f(x)|\leq d(x,y)}$${\displaystyle \forall x\in X\quad \sup\{f(y)-d(x,y):y\in X\}=f(x).}$
• T(X)⊆ C(X) . (Las funciones de Lipschitz son continuas.)
• T(X) es equicontinua . (Esto se deduce de que toda función extremal en X es 1-Lipschitz; véase Equicontinuidad#Ejemplos ).
• No toda función de Katetov en X es extremal. Por ejemplo, sean a y b distintos, sea X = {a,b}, sea d = ([x≠y]) _{x,y en X} la métrica discreta en X , y sea f = {(a,1),(b,2)}. Entonces f es de Katetov pero no extremal. (Es casi inmediato que f es de Katetov. f no es extremal porque no cumple la propiedad del tercer punto de esta sección).
• Si d es acotada, entonces toda f en T(X) es acotada. De hecho, para toda f en T(X) , (Nota ) (Se deduce de la tercera propiedad equivalente en la sección anterior).${\displaystyle \|f\|_{\infty }\leq \|d\|_{\infty }.}$${\displaystyle d\in \ell ^{\infty }(X\times X).}$
• Si d no está acotada, entonces toda f en T(X) no está acotada. (Esto se deduce del primer requisito).
• ${\displaystyle T(X)}$es cerrado bajo límites puntuales. Para cualquier convergencia puntual${\displaystyle f\in (T(X))^{\omega },}$${\displaystyle \lim f\in T(X).}$
• Si (X,d) es compacto, entonces (T(X),δ) es compacto. ^{[ 7 ] [ 2 ] : Proposición 4.6.3} (Demostración: El teorema del valor extremo implica que d , al ser continua como función , es acotada, por lo que (véase el punto anterior) es un subconjunto acotado de C(X). Hemos demostrado que T(X) es equicontinua, por lo que el teorema de Arzelà-Ascoli implica que T(X) es relativamente compacto . Sin embargo, el punto anterior implica que T(X) es cerrado bajo la norma, ya que la convergencia implica convergencia puntual. Por lo tanto, T(X) es compacto.)${\displaystyle X\times X\to \mathbb {R} ,}$${\displaystyle T(X)\subseteq \{f\in C(X):\|f\|_{\infty }\leq \|d\|_{\infty }\}}$${\displaystyle \ell ^{\infty }}$${\displaystyle \ell ^{\infty }}$
• Para cualquier función g de X a R que satisfaga el primer requisito, existe f en T(X) tal que f≤g puntualmente. ^{[ 2 ] : Lema 4.4}
• Para cualquier función extremal f en X , ^{[ 2 ] : Proposición 4.6.1 [ Nota 5 ]}${\displaystyle \forall x\in X\quad f(x)=\sup\{|f(y)-d(x,y)|:y\in X\}.}$
• Para cualesquiera f,g en T(X) , la diferencia pertenece a , es decir, está acotada. (Utilice el punto anterior).${\displaystyle g-f}$${\displaystyle \ell ^{\infty }(X)}$
• El mapa de Kuratowski ^{[ 4 ] : 125} es una isometría . (Cuando X =∅, el resultado es obvio. Cuando X≠∅, la desigualdad triangular inversa implica el resultado).${\displaystyle e:=((d(x,y))_{y\in X})_{x\in X}}$
• Sea f en T(X) . Para cualquier a en X , si f(a)=0 , entonces f=e(a). ^{[ 3 ] : Lema 5.1} (Para cada x en X tenemos De la minimalidad (segunda caracterización equivalente en la sección anterior) de f y del hecho de que satisface el primer requisito se deduce que )${\displaystyle (e(a))(x)=d(a,x)\leq f(a)+f(x)=f(x).}$${\displaystyle e(a)}$${\displaystyle f=e_{a}.}$
• (X,d) es hiperbólico si y solo si (T(X),δ) es hiperbólico. ^{[ 3 ] : Teorema 5.3}

• (T(X),δ) y son ambas hiperconvexas . ^{[ 2 ] : Proposición 4.7.1}$${\displaystyle \left(X\cup (T(X)\setminus \operatorname {range} e),\delta _{(T(X)\setminus \operatorname {range} e)\times (T(X)\setminus \operatorname {range} e)}\cup (\delta (e(x),e(y)))_{x,y\in X}\cup (\delta (e(x),g))_{x\in X,g\in T(X)\setminus \operatorname {range} e}\cup (\delta (f,e(y))_{f\in T(X)\setminus \operatorname {range} e,y\in X}\right)}$$
• Para cualquier Y tal que no sea hiperconvexa. ^{[ 2 ] : Proposición 4.7.2} (" (T(X),δ) es una envoltura hiperconvexa de (X,d) ."")${\displaystyle \operatorname {range} e\subseteq Y\subsetneq X\cup (T(X)\setminus \operatorname {range} e),}$$${\displaystyle \left(X\cup (Y\setminus \operatorname {range} e),\delta _{(Y\setminus \operatorname {range} e)\times (Y\setminus \operatorname {range} e)}\cup (\delta (e(x),e(y)))_{x,y\in X}\cup (\delta (e(x),g))_{x\in X,g\in Y\setminus \operatorname {range} e}\cup (\delta (f,e(y))_{f\in Y\setminus \operatorname {range} e,y\in X}\right)}$$
• Sea un espacio métrico hiperconvexo con y . Si para todo I con no es hiperconvexo, entonces y (T(X),δ) son isométricos . ^{[ 2 ] : Proposición 4.7.1} ("Toda envoltura hiperconvexa de (X,d) es isométrica con (T(X),δ). ")${\displaystyle (H,\varepsilon )}$${\displaystyle X\subseteq H}$${\displaystyle \varepsilon |_{X\times X}=\delta }$${\displaystyle X\subseteq I\subsetneq H,}$${\displaystyle (I,\varepsilon |_{I\times I})}$${\displaystyle (H,\varepsilon )}$

• Digamos |X|=3, elijamos distintos a, b, c tales que X={a,b,c}, y sea i=d(a,b), j=d(a,c), k=d(b,c). Entonces donde [Agregar una imagen. Leyenda: Si X={0,1,2}, entonces T(X)=conv{(,,),(,,)} u conv{(,,),(,,)} u conv{(,,),(,,)} tiene forma de la letra Y.] (Cf. ^{[ 4 ] : 124} )$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}T(X)=&\{v\in (\mathbb {R} _{\geq 0})^{3}:1=v_{a}+v_{b},2=v_{a}+v_{c},3\leq v_{b}+v_{c}\\&\qquad \qquad \qquad {\text{or }}1=v_{a}+v_{b},2\leq v_{a}+v_{c},3=v_{b}+v_{c}\\&\qquad \qquad \qquad {\text{or }}1\leq v_{a}+v_{b},2=v_{a}+v_{c},3=v_{b}+v_{c}\}\\=&\{v\in (\mathbb {R} _{\geq 0})^{3}:v_{a}\leq {\frac {(i+j)-k}{2}},v_{b}=i-v_{a},v_{c}=j-v_{a}\\&\qquad \qquad \qquad {\text{or }}v_{a}=i-v_{b},v_{b}\leq {\frac {(i+k)-j}{2}},v_{c}=k-v_{b}\\&\qquad \qquad \qquad {\text{or }}v_{a}=j-v_{c},v_{b}=k-v_{c},v_{c}\leq {\frac {(j+k)-i}{2}}\}\\=&\left\{(t,i-t,j-t):t\in \left[0,i\land j\land {\frac {(i+j)-k}{2}}\right]\right\}\\&\cup \left\{(i-t,t,k-t):t\in \left[0,i\land k\land {\frac {(i+k)-j}{2}}\right]\right\}\\&\cup \left\{(j-t,k-t,t):t\in \left[0,j\land k\land {\frac {(j+k)-i}{2}}\right]\right\}\\=&\left\{(t,i-t,j-t):t\in \left[0,{\frac {(i+j)-k}{2}}\right]\right\}\\&\cup \left\{(i-t,t,k-t):t\in \left[0,{\frac {(i+k)-j}{2}}\right]\right\}\\&\cup \left\{(j-t,k-t,t):t\in \left[0,{\frac {(j+k)-i}{2}}\right]\right\}\\=&\operatorname {conv} \{(0,i,j),x\}\cup \operatorname {conv} \{(i,0,k),x\}\cup \operatorname {conv} \{(j,k,0),x\},\end{alignedat}}}$$${\displaystyle x=2^{-1}(i+j-k,i+k-j,j+k-i).}$

• La figura muestra un conjunto X de 16 puntos en el plano; para formar un espacio métrico finito a partir de estos puntos, usamos la distancia de Manhattan ( distancia ℓ ¹ ). ^{[ 8 ]} La región azul que se muestra en la figura es la envoltura convexa ortogonal , el conjunto de puntos z tales que cada uno de los cuatro cuadrantes cerrados con z como vértice contiene un punto de X. Cualquier punto z de este tipo corresponde a un punto del espacio ajustado: la función f ( x ) correspondiente a un punto z es f ( x ) = d ( z , x ). Una función de esta forma satisface la propiedad 1 del espacio ajustado para cualquier z en el plano métrico de Manhattan, por la desigualdad triangular para la métrica de Manhattan. Para mostrar la propiedad 2 del espacio ajustado, consideremos algún punto x en X ; debemos encontrar y en X tal que f ( x )+ f ( y )= d ( x , y ). Pero si x se encuentra en uno de los cuatro cuadrantes con z como vértice, y puede tomarse como cualquier punto del cuadrante opuesto, por lo que también se cumple la propiedad 2. Recíprocamente, se puede demostrar que cada punto del intervalo ajustado corresponde de esta manera a un punto de la envoltura convexa ortogonal de dichos puntos. Sin embargo, para conjuntos de puntos con la métrica de Manhattan en dimensiones superiores, y para conjuntos de puntos planos con envolturas ortogonales desconectadas, el intervalo ajustado difiere de la envoltura convexa ortogonal.

La definición anterior incrusta el espacio ajustado T ( X ) de un conjunto de n ( ) puntos en R ^X , un espacio vectorial real de dimensión n . Por otro lado, si consideramos la dimensión de T ( X ) como un complejo poliédrico , Develin (2006) demostró que, con una suposición de posición general adecuada sobre la métrica, esta definición conduce a un espacio con dimensión entre n /3 y n /2.${\displaystyle n\in \mathbb {Z} _{\geq 0}}$

Holsztyński (1968) describió una definición alternativa basada en la noción de espacio métrico orientado a su subespacio , demostrando que la envoltura inyectiva de un espacio de Banach, en la categoría de espacios de Banach, coincide (después de obviar la estructura lineal) con el espacio comprimido. Este teorema permite reducir ciertos problemas de espacios de Banach arbitrarios a espacios de Banach de la forma C(X), donde X es un espacio compacto.

Develin y Sturmfels (2004) intentaron proporcionar una definición alternativa del espacio métrico reducido como la envoltura convexa tropical de los vectores de distancias entre cada punto del espacio. Sin embargo, más tarde ese mismo año reconocieron en una errata (Develin y Sturmfels, 2004a) que, si bien la envoltura convexa tropical siempre contiene el espacio reducido, puede que no coincida con él.

• Dress, Huber y Moulton (2001) describen aplicaciones del intervalo ajustado en la reconstrucción de árboles evolutivos a partir de datos biológicos.
• El intervalo ajustado cumple una función en varios algoritmos en línea para el problema del K-servidor . ^{[ 9 ]}
• Sturmfels y Yu (2004) utilizan el intervalo ajustado para clasificar espacios métricos en hasta seis puntos.
• Chepoi (1997) utiliza el intervalo ajustado para demostrar resultados sobre el empaquetamiento de métricas de corte en espacios métricos finitos más generales.

• Incrustaciones de Kuratowski , una incrustación de cualquier espacio métrico en un espacio de Banach definido de forma similar a la aplicación de Kuratowski.
• Espacio métrico inyectivo

• Joswig, Michael, Tramos estrechos.