Incrustaciones de Kuratowski

En matemáticas , la incrustación de Kuratowski permite ver cualquier espacio métrico como un subconjunto de algún espacio de Banach . Recibe su nombre de Kazimierz Kuratowski .

La afirmación obviamente se cumple para el espacio vacío. Si ( X , d ) es un espacio métrico, x₀ es un punto en X , y C _b ( X ) denota el espacio de Banach de todas las funciones continuas acotadas _de valor real en X con la norma del supremo , entonces la aplicación

${\displaystyle \Phi :X\rightarrow C_{b}(X)}$

definido por

${\displaystyle \Phi (x)(y)=d(x,y)-d(x_{0},y)\quad {\mbox{para todo}}\quad x,y\in X}$

es una isometría . ^{[ 1 ]}

La construcción anterior puede verse como la incrustación de un espacio métrico puntual en un espacio de Banach.

El teorema de Kuratowski-Wojdysławski establece que todo espacio métrico acotado X es isométrico a un subconjunto cerrado de un subconjunto convexo de algún espacio de Banach. ^{[ 2 ]} (Nota: la imagen de esta incrustación es cerrada en el subconjunto convexo, no necesariamente en el espacio de Banach). Aquí utilizamos la isometría.

${\displaystyle \Psi :X\rightarrow C_{b}(X)}$

definido por

${\displaystyle \Psi (x)(y)=d(x,y)\quad {\mbox{para todo}}\quad x,y\in X}$

El conjunto convexo mencionado anteriormente es la envoltura convexa de Ψ( X ).

En ambos teoremas de incrustación, podemos reemplazar C _b ( X ) por el espacio de Banach ℓ  ^∞ ( X ) de todas las funciones acotadas X → R , nuevamente con la norma del supremo, ya que C _b ( X ) es un subespacio lineal cerrado de ℓ  ^∞ ( X ).

Estos resultados de incrustación son útiles porque los espacios de Banach tienen una serie de propiedades útiles que no comparten todos los espacios métricos: son espacios vectoriales , lo que permite agregar puntos y realizar geometría elemental que involucre líneas y planos, etc.; y son completos . Dada una función con codominio X , con frecuencia es deseable extender esta función a un dominio mayor, y esto a menudo requiere ampliar simultáneamente el codominio a un espacio de Banach que contenga X.

Formalmente hablando, esta incrustación fue introducida por primera vez por Kuratowski , ^{[ 3 ]} pero una variación muy cercana de esta incrustación aparece ya en los trabajos de Fréchet . Esos trabajos utilizan la incrustación respectivamente para exhibir${\displaystyle \ell ^{\infty }}$como un espacio métrico separable "universal" (no es separable en sí mismo, de ahí las comillas) ^{[ 4 ]} y para construir una métrica general en${\displaystyle \mathbb {R} }$al retroceder la métrica en una curva de Jordan simple en${\displaystyle \ell ^{\infty }}$. ^{[ 5 ]}

• Espacio métrico estrecho , una incrustación de cualquier espacio métrico en un espacio métrico inyectivo definido de manera similar a la incrustación de Kuratowski.