Espacio hiperconectado

En el campo matemático de la topología , un espacio hiperconexo ^{[ 1 ] [ 2 ]} o espacio irreducible ^{[ 2 ]} es un espacio topológico X que no puede escribirse como la unión de dos subconjuntos cerrados propios (ya sean disjuntos o no disjuntos). El nombre de espacio irreducible se prefiere en geometría algebraica .

Para un espacio topológico X, las siguientes condiciones son equivalentes:

• No existen dos conjuntos abiertos no vacíos disjuntos .
• X no puede escribirse como la unión de dos subconjuntos cerrados propios .
• Todo conjunto abierto no vacío es denso en X.
• Todo conjunto abierto está conectado.
• El interior de todo subconjunto cerrado propio de X es vacío.
• Cada subconjunto es denso o no es denso en X.
• Ningún par de puntos puede estar separado por vecindarios disjuntos.

Un espacio que satisface cualquiera de estas condiciones se denomina hiperconexo o irreducible . Debido a que la condición sobre los vecindarios de puntos distintos es, en cierto sentido, lo opuesto a la propiedad de Hausdorff , algunos autores denominan a dichos espacios anti-Hausdorff . ^{[ 3 ]}

El conjunto vacío es , trivialmente, un espacio hiperconexo o irreducible según la definición anterior (porque no contiene conjuntos abiertos no vacíos). Sin embargo, algunos autores, ^{[ 4 ]} especialmente aquellos interesados ​​en aplicaciones a la geometría algebraica , añaden la condición explícita de que un espacio irreducible debe ser no vacío.

Un conjunto irreducible es un subconjunto de un espacio topológico para el cual la topología del subespacio es irreducible.

Dos ejemplos de espacios hiperconectados de la topología de conjuntos de puntos son la topología cofinita en cualquier conjunto infinito y la topología de orden derecho en${\displaystyle \mathbb {R} }$.

En geometría algebraica, tomar el espectro de un anillo cuyo anillo reducido es un dominio de integridad es un espacio topológico irreducible; aplicando el teorema de retículo al nilradical , que está dentro de cada primo, para demostrar que el espectro del mapa cociente es un homeomorfismo , esto se reduce a la irreducibilidad del espectro de un dominio de integridad. Por ejemplo, los esquemas

${\displaystyle {\text{Especificación}}\left({\frac {\mathbb {Z} [x,y,z]}{x^{4}+y^{3}+z^{2}}}\right)}$,${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(y^{2}zx(xz)(x-2z))}}\right)}$

son irreducibles ya que en ambos casos los polinomios que definen el ideal son polinomios irreducibles (es decir, no tienen factorización no trivial). Un contraejemplo lo proporciona el divisor de cruce normal

${\displaystyle {\text{Especificación}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(xyz)}}\right)}$

puesto que el espacio subyacente es la unión de los planos afines${\displaystyle \mathbb {A} _{x,y}^{2}}$,${\displaystyle \mathbb {A} _ {x,z}^{2}}$, y${\displaystyle \mathbb {A} _ {y,z}^{2}}$Otro ejemplo que no se ajusta a la realidad lo proporciona el esquema.

${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z,w]}{(xy,f_{4})}}\right)}$

dónde${\displaystyle f_{4}}$es un polinomio homogéneo irreducible de grado 4. Esta es la unión de las dos curvas de género 3 (por la fórmula de género-grado ).

${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [y,z,w]}{(f_{4}(0,y,z,w))}}\right),{\text{ }}{\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,z,w]}{(f_{4}(x,0,z,w))}}\right)}$

Todo espacio hiperconectado está conectado y conectado localmente (aunque no necesariamente conectado por caminos o conectado localmente por caminos ).

Cabe destacar que, en la definición de hiperconectividad, los conjuntos cerrados no tienen por qué ser disjuntos. Esto contrasta con la definición de conexidad, en la que los conjuntos abiertos son disjuntos.

Por ejemplo, el espacio de los números reales con la topología estándar es conexo, pero no hiperconexo. Esto se debe a que no puede escribirse como la unión de dos conjuntos abiertos disjuntos, pero sí como la unión de dos conjuntos cerrados (no disjuntos).

• Los subconjuntos abiertos no vacíos de un espacio hiperconexo son "grandes" en el sentido de que cada uno es denso en X y cualquier par de ellos se interseca. Por lo tanto, un espacio hiperconexo no puede ser de Hausdorff a menos que contenga un solo punto.
• Todo espacio hiperconectado está conectado y conectado localmente (aunque no necesariamente conectado por caminos o conectado localmente por caminos ).
• Dado que el cierre de todo conjunto abierto no vacío en un espacio hiperconectado es todo el espacio, que es un conjunto abierto, todo espacio hiperconectado es extremadamente disconexo .
• La imagen de un espacio hiperconectado bajo una función continua es hiperconectado. ^{[ 5 ]} En particular, cualquier función continua de un espacio hiperconectado a un espacio de Hausdorff debe ser constante. De ello se deduce que todo espacio hiperconectado es pseudocompacto .
• Todo subespacio abierto de un espacio hiperconectado es hiperconectado. ^{[ 6 ]}

Prueba: Dejemos${\displaystyle U\subset X}$sea ​​un subconjunto abierto. Cualquier par de subconjuntos abiertos disjuntos de${\displaystyle U}$serían ellos mismos subconjuntos abiertos disjuntos de${\displaystyle X}$. Por lo tanto, al menos uno de ellos debe estar vacío.

• En términos más generales, todo subconjunto denso de un espacio hiperconectado es hiperconectado.

Prueba: Supongamos que${\displaystyle S}$es un subconjunto denso de${\displaystyle X}$y${\displaystyle S=S_{1}\cup S_{2}}$con${\displaystyle S_{1}}$,${\displaystyle S_{2}}$cerrado en${\displaystyle S}$. Entonces${\displaystyle X={\overline {S}}={\overline {S_{1}}}\cup {\overline {S_{2}}}}$. Desde${\displaystyle X}$está hiperconectado, uno de los dos cierres es todo el espacio${\displaystyle X}$, decir${\displaystyle {\overline {S_{1}}}=X}$Esto implica que${\displaystyle S_{1}}$es denso en${\displaystyle S}$y puesto que está cerrado en${\displaystyle S}$debe ser igual a${\displaystyle S}$.

• Un subespacio cerrado de un espacio hiperconectado no tiene por qué ser hiperconectado.

Contraejemplo:${\displaystyle \Bbbk ^{2}}$con${\displaystyle \Bbbk }$un campo algebraicamente cerrado (por lo tanto infinito) es hiperconexo ^{[ 7 ]} en la topología de Zariski , mientras que${\displaystyle V=Z(XY)=Z(X)\cup Z(Y)\subset \Bbbk ^{2}}$Es cerrado y no hiperconectado.

• El cierre de cualquier conjunto irreducible es irreducible. ^{[ 8 ]}

Prueba: Supongamos que${\displaystyle S\subsetequ X}$dónde${\displaystyle S}$es irreductible y escribir${\displaystyle \operatorname {Cl} _{X}(S)=F\cup G}$para dos subconjuntos cerrados${\displaystyle F,G\subseteq \operatorname {Cl} _{X}(S)}$(y por lo tanto en${\displaystyle X}$).${\displaystyle F':=F\cap S,\,G':=G\cap S}$están cerrados en${\displaystyle S}$y${\displaystyle S=F'\cup G'}$lo cual implica${\displaystyle S\subseteq F}$o${\displaystyle S\subseteg G}$pero entonces${\displaystyle \operatorname {Cl} _{X}(S)=F}$o${\displaystyle \operatorname {Cl} _{X}(S)=G}$por definición de cierre .

• Un espacio${\displaystyle X}$que se puede escribir como${\displaystyle X=U_{1}\cup U_{2}}$con${\displaystyle U_{1},U_{2}\subset X}$abierto e irreductible tal que${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}\neq \emptyset }$es irreductible. ^{[ 9 ]}

Prueba: En primer lugar, observamos que si${\displaystyle V}$es un conjunto abierto no vacío en${\displaystyle X}$entonces se cruza con ambos${\displaystyle U_{1}}$y${\displaystyle U_{2}}$; de hecho, supongamos que${\displaystyle V_{1}:=U_{1}\cap V\neq \emptyset }$, entonces${\displaystyle V_{1}}$es denso en${\displaystyle U_{1}}$, de este modo${\displaystyle \exists x\in \operatorname {Cl} _{U_{1}}(V_{1})\cap U_{2}=U_{1}\cap U_{2}\neq \emptyset }$y${\displaystyle x\in U_{2}}$es un punto de cierre de${\displaystyle V_{1}}$lo cual implica${\displaystyle V_{1}\cap U_{2}\neq \emptyset }$y a fortiori${\displaystyle V_{2}:=V\cap U_{2}\neq \emptyset }$. Ahora${\displaystyle V=V\cap (U_{1}\cup U_{2})=V_{1}\cup V_{2}}$y tomando el cierre${\displaystyle \operatorname {Cl} _{X}(V)\supseteq {\operatorname {Cl} }_{U_{1}}(V_{1})\cup {\operatorname {Cl} }_{U_{2}}(V_{2})=U_{1}\cup U_{2}=X,}$por lo tanto${\displaystyle V}$es un subconjunto abierto y denso no vacío de${\displaystyle X}$. Dado que esto es cierto para todo subconjunto abierto no vacío,${\displaystyle X}$es irreductible.

Un componente irreducible ^{[ 10 ]} en un espacio topológico es un subconjunto irreducible maximal (es decir, un conjunto irreducible que no está contenido en ningún conjunto irreducible mayor). Los componentes irreducibles son siempre cerrados.

Todo subconjunto irreducible de un espacio X está contenido en una componente irreducible (no necesariamente única) de X. [ ^{11 ] En} particular, todo punto de X está contenido en alguna componente irreducible de X. A diferencia de las componentes conexas de un espacio, las componentes irreducibles no tienen por qué ser disjuntas (es decir, no tienen por qué formar una partición ). En general, las componentes irreducibles se superpondrán.

Los componentes irreducibles de un espacio de Hausdorff son simplemente los conjuntos unitarios .

Dado que todo espacio irreducible es conexo, los componentes irreducibles siempre estarán dentro de los componentes conexos.

Todo espacio topológico noetheriano tiene un número finito de componentes irreducibles. ^{[ 12 ]}

• Espacio ultraconectado
• Espacio sobrio
• Geométricamente irreducible

• Hart, Klaas Pieter; Nagata, Jun-iti; Vaughan, Jerry E. (2004). Enciclopedia de topología general . Elsevier/Holanda Septentrional. ISBN 978-0-444-50355-8.
• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology ( reimpresión de Dover de la edición de 1978  ), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446 
• "Espacio hiperconectado" . PlanetMath .