Punto genérico

En geometría algebraica , un punto genérico P de una variedad algebraica X es un punto en una posición general , en la que se cumplen todas las propiedades genéricas , siendo una propiedad genérica una propiedad que se cumple para casi todos los puntos.

En geometría algebraica clásica, un punto genérico de una variedad algebraica afín o proyectiva de dimensión d es un punto tal que el campo generado por sus coordenadas tiene grado de trascendencia d sobre el campo generado por los coeficientes de las ecuaciones de la variedad.

En la teoría de esquemas , el espectro de un dominio integral tiene un único punto genérico, que es el ideal cero. Como la clausura de este punto para la topología de Zariski es todo el espectro, la definición se ha extendido a la topología general , donde un punto genérico de un espacio topológico X es un punto cuya clausura es X.

Un punto genérico del espacio topológico X es un punto P cuya clausura es todo X , es decir, un punto que ^es denso en X. ^{[ 1} ]

La terminología surge del caso de la topología de Zariski en el conjunto de subvariedades de un conjunto algebraico : el conjunto algebraico es irreducible (es decir, no es la unión de dos subconjuntos algebraicos propios) si y solo si el espacio topológico de las subvariedades tiene un punto genérico.

• El único espacio de Hausdorff que tiene un punto genérico es el conjunto unitario .
• Todo esquema integral tiene un punto genérico (único); en el caso de un esquema integral afín (es decir, el espectro primo de un dominio integral ), el punto genérico es el punto asociado al ideal primo (0).

En el enfoque fundamental de André Weil , desarrollado en su obra Fundamentos de la geometría algebraica , los puntos genéricos desempeñaban un papel importante, pero se trataban de una manera diferente. Para una variedad algebraica V sobre un cuerpo K , los puntos genéricos de V constituían una clase completa de puntos de V que tomaban valores en un dominio universal Ω, un cuerpo algebraicamente cerrado que contenía K , pero también un suministro infinito de indeterminadas nuevas. Este enfoque funcionaba sin necesidad de tratar directamente la topología de V ( la topología de K -Zariski, por ejemplo), ya que todas las especializaciones podían analizarse a nivel de cuerpo (como en el enfoque de la teoría de la valoración aplicado a la geometría algebraica, popular en la década de 1930).

Esto conllevaba la creación de una enorme colección de puntos igualmente genéricos. Oscar Zariski , colega de Weil en São Paulo justo después de la Segunda Guerra Mundial , siempre insistió en que los puntos genéricos debían ser únicos. (Esto se puede expresar en términos topológicos: la idea de Weil no proporciona un espacio de Kolmogorov , y Zariski piensa en términos del cociente de Kolmogorov ).

En los rápidos cambios fundamentales de la década de 1950, el enfoque de Weil quedó obsoleto. Sin embargo, en la teoría de esquemas , a partir de 1957, los puntos genéricos regresaron: esta vez al estilo de Zariski . Por ejemplo, para R un anillo de valuación discreta , Spec ( R ) consta de dos puntos: un punto genérico (proveniente del ideal primo {0}) y un punto cerrado o especial proveniente del único ideal maximal . Para los morfismos a Spec ( R ), la fibra sobre el punto especial es la fibra especial , un concepto importante, por ejemplo, en la reducción módulo p , la teoría de la monodromía y otras teorías sobre la degeneración. La fibra genérica , de igual modo, es la fibra sobre el punto genérico. La geometría de la degeneración trata, entonces, en gran medida sobre el paso de fibras genéricas a especiales, o en otras palabras, cómo la especialización de parámetros afecta las cosas. (Para un anillo de valuación discreta, el espacio topológico en cuestión es el espacio de Sierpinski de los topólogos. Otros anillos locales tienen puntos genéricos y especiales únicos, pero un espectro más complejo, ya que representan dimensiones generales. El caso de la valuación discreta es muy similar al disco unitario complejo , para estos propósitos).