Dimensión inductiva

En el campo matemático de la topología , la dimensión inductiva de un espacio topológico X toma dos valores: la dimensión inductiva pequeña ind( X ) o la dimensión inductiva grande Ind( X ). Esto se basa en la observación de que, en un espacio euclidiano n -dimensional R ⁿ , los límites de las bolas tienen dimensión n − 1. Por lo tanto, debería ser posible definir la dimensión de un espacio general de forma inductiva en términos de las dimensiones de los límites de conjuntos abiertos adecuados en ese espacio.  

Las dimensiones inductivas pequeña y grande son dos de las tres formas más habituales de capturar la noción de "dimensión" para un espacio topológico, de una manera que depende únicamente de la topología (y no, por ejemplo, de las propiedades de un espacio métrico ). La otra es la dimensión de recubrimiento de Lebesgue . El término "dimensión topológica" se entiende generalmente como una referencia a la dimensión de recubrimiento de Lebesgue. Para espacios "suficientemente agradables", las tres medidas de dimensión son iguales.

Queremos que la dimensión de un punto sea 0, y un punto tiene un límite vacío, por lo que comenzamos con

${\displaystyle \operatorname {ind} (\varnothing )=\operatorname {Ind} (\varnothing )=-1.}$

Entonces, inductivamente, ind( X ) es el número natural más pequeño n con la siguiente propiedad: para cada${\displaystyle x\in X}$y para cada conjunto abierto U que contiene a x , existe un conjunto abierto V que contiene a x y cuya clausura está contenida en U , de tal manera que la frontera de V tiene una dimensión inductiva pequeña menor que n . Aquí, la frontera de V se considera como un espacio topológico utilizando la topología de subespacio heredada de X. (En el caso de subespacios del espacio euclidiano, podemos pensar en los conjuntos V como pequeñas bolas centradas en x ). Si no existe tal n , escribimos ind( X )  =  ∞.

La dimensión inductiva grande Ind( X ) se define como el n más pequeño tal que, para cada subconjunto cerrado F y cada subconjunto abierto U que contiene a F , existe un V abierto que contiene a F y cuya clausura está contenida en U , de modo que la frontera de V tiene una dimensión inductiva grande menor que n . Si no existe tal n , escribimos Ind( X )  =  ∞. ^{[ 1 ]}

Para espacios agradables y tranquilos, las dimensiones inductivas dan la respuesta esperada. Consideremos, por ejemplo, el conjunto

${\displaystyle X=\{(x,y,0)\mid x^{2}+y^{2}\leq 1\}\cup \{(0,0,z)\mid 0\leq z<1\}\cup \{(0,0,-1)\}}$

con la topología heredada del espacio euclidiano R³ . Intuitivamente, X consiste en una pieza bidimensional unida a una pieza unidimensional, junto con un punto cero-dimensional disjunto. Tanto las dimensiones inductivas grandes como las pequeñas de ^X resultan ser 2.

Quizás lo menos esperado sea${\displaystyle \operatorname {ind} \mathbb {Q} =\operatorname {Ind} \mathbb {Q} =0.}$Esto se cumple porque para los números irracionales a y b , el conjunto${\displaystyle \{r\in \mathbb {Q} \mid a<r<b\}}$está abierto y cerrado a la vez${\displaystyle \mathbb {Q} }$y por lo tanto tiene un límite vacío.

Dejar${\displaystyle \dim }$Sea la dimensión de recubrimiento de Lebesgue. Para cualquier espacio topológico X , tenemos

${\displaystyle \dim X=0}$si y solo si${\displaystyle \operatorname {Ind} X=0.}$

El teorema de Urysohn establece que cuando X es un espacio normal con una base numerable , entonces

${\displaystyle \dim X=\operatorname {Ind} X=\operatorname {ind} X.}$

Dichos espacios son precisamente los espacios separables y metrizables (véase el teorema de metrización de Urysohn ).

El teorema de Nöbeling-Pontryagin establece entonces que tales espacios de dimensión finita se caracterizan, salvo homeomorfismo, como subespacios de los espacios euclidianos , con su topología usual. El teorema de Menger-Nöbeling (1932) establece que si${\displaystyle X}$es métrica compacta separable y de dimensión${\displaystyle n}$, entonces se incrusta como un subespacio del espacio euclidiano de dimensión${\displaystyle 2n+1}$. ( Georg Nöbeling fue alumno de Karl Menger . Introdujo el espacio de Nöbeling , el subespacio de${\displaystyle \mathbf {R} ^{2n+1}}$que consta de puntos con al menos${\displaystyle n+1}$Las coordenadas son números irracionales , lo que tiene propiedades universales para incrustar espacios de dimensión${\displaystyle n}$.)

Suponiendo que solo X es metrizable, tenemos ( Miroslav Katětov )

ind X ≤ Ind X = dim X ;

o suponiendo X compacto y Hausdorff ( PS Aleksandrov )

dim X ≤ ind X ≤ Ind X .

En este caso, cualquiera de las desigualdades puede ser estricta; un ejemplo de Vladimir V. Filippov muestra que las dos dimensiones inductivas pueden diferir.

Un espacio métrico separable X satisface la desigualdad${\displaystyle \operatorname {Ind} X\leq n}$si y solo si para cada subespacio cerrado${\displaystyle A}$del espacio${\displaystyle X}$y cada mapeo continuo${\displaystyle f:A\to S^{n}}$Existe una extensión continua${\displaystyle {\bar {f}}:X\to S^{n}}$.

• Crilly, Tony, 2005, "Paul Urysohn y Karl Menger: artículos sobre teoría de la dimensión" en Grattan-Guinness, I. , ed., Escritos fundamentales en matemáticas occidentales . Elsevier: 844-55.
• R. Engelking, Teoría de las dimensiones. Finito e infinito , Heldermann Verlag (1995), ISBN 3-88538-010-2.
• VV Fedorchuk, The Fundamentals of Dimension Theory , que aparece en Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Volumen 17, General Topology I , (1993) AV Arkhangel'skii y LS Pontryagin (Eds.), Springer-Verlag, Berlín ISBN 3-540-18178-4.
• VV Filippov, Sobre la dimensión inductiva del producto de bicompacta , Soviet. Math. Dokl., 13 (1972), N° 1, 250-254.
• AR Pears, Teoría de la dimensión de los espacios generales , Cambridge University Press (1975).