espacio segundo contable

En topología , un espacio segundo numerable , también llamado espacio completamente separable , es un espacio topológico cuya topología tiene una base numerable . Más explícitamente, un espacio topológico${\displaystyle T}$es segundo-contable si existe alguna colección contable${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$de subconjuntos abiertos de${\displaystyle T}$de tal manera que cualquier subconjunto abierto de${\displaystyle T}$puede escribirse como una unión de elementos de alguna subfamilia de${\displaystyle {\mathcal {U}}}$Se dice que un espacio segundo-contable satisface el segundo axioma de numerabilidad . Al igual que otros axiomas de numerabilidad , la propiedad de ser segundo-contable restringe el número de subconjuntos abiertos que puede tener un espacio.

Muchos espacios « bien comportados » en matemáticas son segundo-contables. Por ejemplo, el espacio euclidiano ( R ⁿ ) con su topología usual es segundo-contable. Aunque la base usual de bolas abiertas es incontable , se puede restringir a la colección de todas las bolas abiertas con radios racionales y cuyos centros tienen coordenadas racionales. Esta colección restringida es contable y sigue formando una base.

La segunda numerabilidad es un concepto más fuerte que la primera numerabilidad . Un espacio es primera numerable si cada punto tiene una base local numerable . Dada una base para una topología y un punto x , el conjunto de todas las bases que contienen a x forma una base local en x . Por lo tanto, si se tiene una base numerable para una topología, entonces se tiene una base local numerable en cada punto, y por consiguiente, todo espacio segunda numerable es también un espacio primera numerable. Sin embargo, cualquier espacio discreto no numerable es primera numerable pero no segunda numerable.

La segunda numerabilidad implica otras propiedades topológicas. Específicamente, todo espacio segunda numerable es separable (tiene un subconjunto denso numerable) y Lindelöf (toda cubierta abierta tiene una subcubierta numerable). Las implicaciones inversas no se cumplen. Por ejemplo, la topología del límite inferior en la recta real es primera numerable, separable y Lindelöf, pero no segunda numerable. Sin embargo, para los espacios métricos , las propiedades de ser segunda numerable, separable y Lindelöf son equivalentes. ^{[ 1 ]} Por lo tanto, la topología del límite inferior en la recta real no es metrizable.

En los espacios con numerabilidad segunda —al igual que en los espacios métricos— la compacidad , la compacidad secuencial y la compacidad numerable son propiedades equivalentes.

El teorema de metrización de Urysohn establece que todo espacio regular de Hausdorff con numerabilidad segunda es metrizable . De ello se deduce que todo espacio de este tipo es completamente normal y paracompacto . Por lo tanto, la numerabilidad segunda es una propiedad bastante restrictiva en un espacio topológico, que solo requiere un axioma de separación para implicar la metrizabilidad.

• Consideremos la unión contable disjunta${\displaystyle X=[0,1]\cup [2,3]\cup [4,5]\cup \dots \cup [2k,2k+1]\cup \dotsb }$Definimos una relación de equivalencia y una topología cociente identificando los extremos izquierdos de los intervalos; es decir, identificamos 0 ~ 2 ~ 4 ~ … ~ 2k y así sucesivamente. X es segundo-contable, como unión contable de espacios segundo-contables. Sin embargo, X /~ no es primer-contable en la clase lateral de los puntos identificados y, por lo tanto, tampoco es segundo-contable.
• El espacio anterior no es homeomorfo al mismo conjunto de clases de equivalencia dotadas de la métrica obvia: es decir, la distancia euclidiana regular para dos puntos en el mismo intervalo, y la suma de las distancias al punto de la izquierda para puntos que no están en el mismo intervalo, lo que resulta en una topología estrictamente más gruesa que la del espacio anterior. Es un espacio métrico separable (consideremos el conjunto de puntos racionales) y, por lo tanto, es segundo numerable.
• La fila larga no es contable de segundo orden, pero sí de primer orden.

• Stephen Willard, Topología general , (1970) Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Massachusetts.
• John G. Hocking y Gail S. Young (1961). Topología. Reimpresión corregida, Dover, 1988. ISBN 0-486-65676-4