Matemáticas condensadas

Las matemáticas condensadas son una teoría desarrollada por Dustin Clausen y Peter Scholze que reemplaza un espacio topológico por un cierto haz de conjuntos , con el fin de resolver algunos problemas técnicos de hacer álgebra homológica en grupos topológicos .

Esencialmente, Barwick y Haine también introdujeron la misma noción bajo el nombre de conjunto picnótico .

Según algunos, la teoría pretende unificar varios subcampos matemáticos , incluyendo la topología , la geometría compleja y la geometría algebraica . En particular, Kiran Kedlaya describió las matemáticas condensadas como "tecnología para realizar álgebra conmutativa sobre anillos topológicos". ^{[ 1 ]}

La idea fundamental en el desarrollo de la teoría radica en reemplazar los espacios topológicos por conjuntos condensados , definidos más adelante. La categoría de conjuntos condensados, así como categorías relacionadas como la de grupos abelianos condensados , se comportan mucho mejor que la categoría de espacios topológicos . En particular, a diferencia de la categoría de grupos abelianos topológicos , la categoría de grupos abelianos condensados ​​es una categoría abeliana , lo que permite utilizar herramientas del álgebra homológica en el estudio de dichas estructuras.

El marco de las matemáticas condensadas resulta ser lo suficientemente general como para que, al considerar varios "espacios" con haces valorados en álgebras condensadas, se pueda esperar incorporar la geometría algebraica , la geometría analítica p -ádica y la geometría analítica compleja . ^{[ 2 ]}

Un conjunto condensado es un haz de conjuntos en el sitio de conjuntos profinitos , con la topología de Grothendieck dada por colecciones finitas y conjuntamente sobreyectivas de aplicaciones. De manera similar, un grupo condensado , un anillo condensado , etc., se define como un haz de grupos, anillos, etc., en este sitio.

A cualquier espacio topológico${\displaystyle X}$Se puede asociar un conjunto condensado, habitualmente denotado${\displaystyle {\underline {X}}}$, que a cualquier conjunto finito${\displaystyle S}$asocia el conjunto de mapas continuos${\displaystyle S\to X}$. Si${\displaystyle X}$es un grupo topológico o anillo, entonces ${\displaystyle {\underline {X}}}$es un grupo condensado o anillo.

En 2013, Bhargav Bhatt y Peter Scholze introdujeron una noción general de sitio pro- étale asociada a un esquema arbitrario . En 2018, Dustin Clausen y Scholze llegaron a la conclusión de que el sitio pro-étale de un solo punto, que es isomorfo al sitio de conjuntos profinitos introducido anteriormente, ya posee una estructura suficientemente rica como para realizar amplias clases de espacios topológicos como haces sobre él. Desarrollos posteriores han llevado a una teoría de conjuntos condensados ​​y grupos abelianos sólidos , mediante la cual es posible incorporar la geometría no arquimediana a la teoría. ^{[ 5 ]}

En 2020, Scholze completó una demostración de sus resultados que permitiría la incorporación del análisis funcional y la geometría compleja al marco de las matemáticas condensadas, utilizando la noción de espacios vectoriales líquidos . El argumento resultó ser bastante sutil, y para eliminar cualquier duda sobre la validez del resultado, pidió a otros matemáticos que proporcionaran una demostración formalizada y verificada . ^{[ 6 ] [ 7 ]} Durante un período de 6 meses, un grupo liderado por Johan Commelin verificó la parte central de la demostración utilizando el asistente de demostración Lean . ^{[ 8 ] [ 7 ]} El 14 de julio de 2022, la demostración se completó. ^{[ 9 ]}

Casualmente, en 2019 Barwick y Haine introdujeron una teoría similar de objetos picnóticos . Esta teoría está muy relacionada con la de conjuntos condensados, siendo las principales diferencias de naturaleza conjuntista: la teoría picnótica depende de una elección de universos de Grothendieck , mientras que las matemáticas condensadas pueden desarrollarse estrictamente dentro de ZFC . ^{[ 10 ]}

• Espacio generalizado
• Conjunto picnótico

• https://mathoverflow.net/questions/441838/condensed-vs-pyknotic-vs-consequential
• https://mathoverflow.net/questions/tagged/condensed-mathematics
• https://math.stackexchange.com/questions/4044728/examples-of-the-difference-between-topological-spaces-and-condensed-sets
• https://www.quantamagazine.org/two-researchers-are-rebuilding-mathematics-from-the-ground-up-20260520/
• Franziska Böhnlein, Benjamin Bruske y Sven-Ake Wegner. Matemáticas condensadas mediante espacios compactológicos. arXiv: 2512.14612.

• Scholze, Peter (2019). "Lectures on Condensed Mathematics" (PDF) .
• Scholze, Peter (2020). "Lectures on Analytic Geometry" (PDF) .
• Clausen, Dustin; Scholze, Peter (2022). "Matemáticas condensadas y geometría compleja" (PDF) .
• Pstrągowski, Piotr Tadeusz (09-11-2020). "Clase magistral de matemáticas condensadas" . www.math.ku.dk. Consultado el 21-06-2021 .
• "Notas sobre matemáticas condensadas" (PDF) . Programa de Investigación en Matemáticas para Estudiantes de Primer Año (REU) 2023 de la Universidad de Chicago .
• "Notas sobre matemáticas condensadas" . Notas sobre matemáticas condensadas – Kiran S. Kedlaya .