Geometría compleja

En matemáticas , la geometría compleja es el estudio de estructuras y construcciones geométricas que surgen de los números complejos o que son descritas por ellos . En particular, la geometría compleja se ocupa del estudio de espacios como las variedades complejas y las variedades algebraicas complejas , las funciones de varias variables complejas y las construcciones holomorfas como los haces vectoriales holomorfos y los haces coherentes ^{[ 1 ]} . La aplicación de métodos trascendentales a la geometría algebraica se incluye en esta categoría, junto con aspectos más geométricos del análisis complejo .

La geometría compleja se sitúa en la intersección de la geometría algebraica, la geometría diferencial y el análisis complejo, y utiliza herramientas de las tres áreas. Debido a la combinación de técnicas e ideas de diversas áreas, los problemas en geometría compleja suelen ser más manejables o concretos que en general. Por ejemplo, la clasificación de variedades complejas y variedades algebraicas complejas mediante el programa de modelos mínimos y la construcción de espacios de módulos distinguen este campo de la geometría diferencial, donde la clasificación de posibles variedades diferenciables es un problema significativamente más difícil. Además, la estructura adicional de la geometría compleja permite, especialmente en el contexto compacto , demostrar con gran éxito resultados analíticos globales , como la demostración de Shing-Tung Yau de la conjetura de Calabi , la correspondencia de Hitchin-Kobayashi , la correspondencia de Hodge no abeliana y resultados de existencia para métricas de Kähler-Einstein y métricas de Kähler de curvatura escalar constante . Estos resultados a menudo se incorporan a la geometría algebraica compleja, y por ejemplo, recientemente la clasificación de las variedades de Fano utilizando la K-estabilidad se ha beneficiado enormemente tanto de las técnicas de análisis como de la geometría birracional pura .

La geometría compleja tiene aplicaciones significativas en la física teórica, donde es esencial para comprender la teoría de campos conformes , la teoría de cuerdas y la simetría especular . A menudo es fuente de ejemplos en otras áreas de las matemáticas, incluyendo la teoría de la representación , donde las variedades de banderas generalizadas pueden estudiarse utilizando la geometría compleja, lo que lleva al teorema de Borel-Weil-Bott , o en la geometría simpléctica , donde las variedades de Kähler son simplécticas, en la geometría riemanniana, donde las variedades complejas proporcionan ejemplos de estructuras métricas exóticas como las variedades de Calabi-Yau y las variedades hiperkähler , y en la teoría de gauge , donde los haces vectoriales holomorfos a menudo admiten soluciones a ecuaciones diferenciales importantes que surgen de la física, como las ecuaciones de Yang-Mills . La geometría compleja también tiene un impacto significativo en la geometría algebraica pura, donde los resultados analíticos en el contexto complejo, como la teoría de Hodge de las variedades de Kähler, inspiran la comprensión de las estructuras de Hodge para variedades y esquemas , así como la teoría de Hodge p-ádica ; la teoría de deformación para variedades complejas inspira la comprensión de la teoría de deformación de esquemas; y los resultados sobre la cohomología de variedades complejas inspiraron la formulación de las conjeturas de Weil y las conjeturas estándar de Grothendieck . Por otro lado, los resultados y las técnicas de muchos de estos campos a menudo retroalimentan la geometría compleja; por ejemplo, los avances en las matemáticas de la teoría de cuerdas y la simetría especular han revelado mucho sobre la naturaleza de las variedades de Calabi-Yau , que los teóricos de cuerdas predicen que deberían tener la estructura de fibraciones lagrangianas a través de la conjetura SYZ ; y el desarrollo de la teoría de Gromov-Witten de variedades simplécticas ha dado lugar a avances en la geometría enumerativa de variedades complejas.

La conjetura de Hodge , uno de los problemas del premio del milenio , es un problema de geometría compleja. ^{[ 2 ]}

En términos generales, la geometría compleja se ocupa de espacios y objetos geométricos que se modelan, en cierto sentido, en el plano complejo . Las características del plano complejo y del análisis complejo de una sola variable, como la noción intrínseca de orientabilidad (es decir, la capacidad de rotar consistentemente 90 grados en sentido antihorario en cada punto del plano complejo) y la rigidez de las funciones holomorfas (es decir, la existencia de una única derivada compleja implica diferenciabilidad compleja a todos los órdenes), se manifiestan en todas las formas de estudio de la geometría compleja. Por ejemplo, toda variedad compleja es canónicamente orientable ^{[ 3 ]} , y una forma del teorema de Liouville se cumple en variedades complejas compactas o variedades algebraicas complejas proyectivas .

La geometría compleja se diferencia de lo que podríamos llamar geometría real , el estudio de espacios basado en las propiedades geométricas y analíticas de la recta real . Por ejemplo, mientras que las variedades diferenciables admiten particiones de la unidad , conjuntos de funciones diferenciables que pueden ser idénticamente iguales a uno en algún conjunto abierto e idénticamente cero en cualquier otro lugar, las variedades complejas no admiten tales conjuntos de funciones holomorfas. De hecho, esta es la manifestación del teorema de identidad , un resultado típico del análisis complejo de una sola variable. En cierto sentido, la novedad de la geometría compleja puede atribuirse a esta observación fundamental.

Es cierto que toda variedad compleja es, en particular, una variedad real lisa. Esto se debe a que el plano complejo${\displaystyle \mathbb {C} }$es, después de olvidar su compleja estructura, isomorfo al plano real.${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$Sin embargo, la geometría compleja no se considera típicamente como un subcampo particular de la geometría diferencial , el estudio de las variedades diferenciables. En particular, el teorema GAGA de Serre dice que toda variedad analítica proyectiva es en realidad una variedad algebraica , y el estudio de datos holomorfos en una variedad analítica es equivalente al estudio de datos algebraicos ^{[ 4 ]} .

Esta equivalencia indica que la geometría compleja está, en cierto sentido, más cerca de la geometría algebraica que de la geometría diferencial . Otro ejemplo de esto, que se relaciona con la naturaleza del plano complejo, es que, en el análisis complejo de una variable, las singularidades de las funciones meromorfas se describen fácilmente. En cambio, el posible comportamiento singular de una función continua de valores reales es mucho más difícil de caracterizar. Como resultado, en geometría compleja se pueden estudiar fácilmente espacios singulares , como variedades analíticas complejas singulares o variedades algebraicas complejas singulares, mientras que en geometría diferencial el estudio de espacios singulares suele evitarse.

En la práctica, la geometría compleja se sitúa en la intersección de la geometría diferencial, la geometría algebraica y el análisis en varias variables complejas , y un geómetra complejo utiliza herramientas de los tres campos para estudiar espacios complejos. Las líneas de interés típicas en geometría compleja incluyen la clasificación de espacios complejos, el estudio de objetos holomorfos asociados a ellos (como haces vectoriales holomorfos y haces coherentes ) y las estrechas relaciones entre los objetos geométricos complejos y otras áreas de las matemáticas y la física.

La geometría compleja se ocupa del estudio de las variedades complejas , así como de las variedades algebraicas y analíticas complejas . En esta sección, se definen estos tipos de espacios y se presentan las relaciones entre ellos.

Una variedad compleja de dimensión${\displaystyle n}$es un espacio topológico${\displaystyle X}$, dotado de una cubierta abierta${\displaystyle (U_{\alpha })_{\alpha \in A}}$y una familia de homeomorfismos${\displaystyle (\phi _{\alpha }\colon U_{\alpha }\to V_{\alpha })_{\alpha \in A}}$de${\displaystyle U_{\alpha }}$a un subconjunto abierto${\displaystyle V_{\alpha }}$de${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$de tal manera que:

• ${\displaystyle X}$es Hausdorff y segundo contable .
• Si${\displaystyle (U_{1},\varphi )}$y${\displaystyle (U_{2},\psi )}$son dos gráficos superpuestos cualesquiera que se corresponden con conjuntos abiertos${\displaystyle V_{1},V_{2}}$de${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$respectivamente, luego la función de transición${\displaystyle \psi \circ \varphi ^{-1}:\varphi (U_{1}\cap U_{2})\to \psi (U_{1}\cap U_{2})}$es un biholomorfismo ^{[ 1 ]} .

Nótese que, dado que todo biholomorfismo es un difeomorfismo , y${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$es el isomorfismo como un espacio vectorial real a${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$, toda variedad compleja de dimensión${\displaystyle n}$es en particular una variedad suave de dimensión${\displaystyle 2n}$, que siempre es un número par.

A diferencia de las variedades complejas, que siempre son suaves, la geometría compleja también se ocupa de espacios posiblemente singulares. Una variedad analítica compleja afín es un subconjunto${\displaystyle X\subseteq \mathbb {C} ^{n}}$de tal manera que alrededor de cada punto${\displaystyle p\in X}$Hay un barrio abierto.${\displaystyle U}$de${\displaystyle p}$y una colección de un número finito de funciones holomorfas${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}:U\to \mathbb {C} }$de tal manera que${\displaystyle X\cap U=\{z\in U\mid f_{1}(z)=\cdots =f_{k}(z)=0\}=Z(f_{1},\dots ,f_{k})}$. Por convención también requerimos el conjunto${\displaystyle X}$ser irreductible . Un punto${\displaystyle p\in X}$es singular si la matriz jacobiana del vector de funciones holomorfas${\displaystyle (f_{1},\dots ,f_{k})}$no tiene rango completo en${\displaystyle p}$y no singular en caso contrario. Una variedad analítica compleja proyectiva es un subconjunto${\displaystyle X\subseteq \mathbb {CP} ^{n}}$del espacio proyectivo complejo que, de la misma manera, está dado localmente por los ceros de una colección finita de funciones holomorfas en subconjuntos abiertos de${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$.

De manera similar, se puede definir una variedad algebraica compleja afín como un subconjunto.${\displaystyle X\subseteq \mathbb {C} ^{n}}$que se da localmente como el conjunto cero de un número finito de polinomios en${\displaystyle n}$variables complejas. Para definir una variedad algebraica compleja proyectiva , se requiere el subconjunto${\displaystyle X\subseteq \mathbb {CP} ^{n}}$estar dado localmente por el conjunto cero de un número finito de polinomios homogéneos .

Para definir una variedad algebraica compleja general o una variedad analítica compleja, se requiere la noción de un espacio localmente anillado . Una variedad algebraica/analítica compleja es un espacio localmente anillado.${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$que es localmente isomorfo como un espacio localmente anillado a una variedad algebraica/analítica compleja afín. En el caso analítico, normalmente se permite${\displaystyle X}$tener una topología que sea localmente equivalente a la topología del subespacio debido a la identificación con subconjuntos abiertos de${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, mientras que en el caso algebraico${\displaystyle X}$A menudo se equipa con una topología de Zariski . De nuevo, por convención, también requerimos que este espacio localmente anillado sea irreducible.

Dado que la definición de un punto singular es local, la definición dada para una variedad analítica/algebraica afín se aplica a los puntos de cualquier variedad analítica o algebraica compleja. El conjunto de puntos de una variedad${\displaystyle X}$que son singulares se denomina lugar singular , denotado${\displaystyle X^{sing}}$y el complemento es el lugar geométrico no singular o suave , denotado${\displaystyle X^{nonsing}}$Decimos que una variedad compleja es lisa o no singular si su lugar singular es vacío. Es decir, si es igual a su lugar no singular.

Según el teorema de la función implícita para funciones holomorfas, toda variedad compleja es, en particular, una variedad analítica compleja no singular, pero en general no es afín ni proyectiva. Según el teorema GAGA de Serre , toda variedad analítica compleja proyectiva es, de hecho, una variedad algebraica compleja proyectiva. Cuando una variedad compleja es no singular, es una variedad compleja. De forma más general, el lugar geométrico no singular de cualquier variedad compleja es una variedad compleja.

Debido a la rigidez de las funciones holomorfas y las variedades complejas, las técnicas que se suelen utilizar para estudiarlas difieren de las empleadas en la geometría diferencial convencional y se asemejan más a las de la geometría algebraica. Por ejemplo, en geometría diferencial, muchos problemas se abordan combinando construcciones locales a nivel global mediante particiones de la unidad. En geometría compleja, las particiones de la unidad no existen, por lo que el problema de cuándo se pueden integrar datos locales en datos globales resulta más complejo. La cohomología de haces determina con precisión cuándo se pueden integrar datos locales , siendo los haces y sus grupos de cohomología herramientas fundamentales.

Por ejemplo, entre los problemas más conocidos del análisis de varias variables complejas, anteriores a la introducción de las definiciones modernas, se encuentran los problemas de Cousin , que plantean precisamente cuándo se pueden combinar datos meromorfos locales para obtener una función meromorfa global. Estos problemas antiguos se pueden resolver fácilmente tras la introducción de haces y grupos de cohomología.

Ejemplos especiales de haces utilizados en geometría compleja incluyen haces de líneas holomorfos (y los divisores asociados a ellos), haces vectoriales holomorfos y haces coherentes . Dado que la cohomología de haces mide las obstrucciones en geometría compleja, una técnica empleada consiste en demostrar teoremas de anulación. Ejemplos de teoremas de anulación en geometría compleja incluyen el teorema de anulación de Kodaira para la cohomología de haces de líneas en variedades de Kähler compactas, y los teoremas A y B de Cartan para la cohomología de haces coherentes en variedades complejas afines.

La geometría compleja también utiliza técnicas derivadas de la geometría diferencial y el análisis. Por ejemplo, el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch , un caso particular del teorema del índice de Atiyah-Singer , calcula la característica de Euler holomorfa de un fibrado vectorial holomorfo en términos de las clases características del fibrado vectorial complejo liso subyacente.

Un tema central en la geometría compleja es la clasificación . Debido a la rigidez de las variedades y formas complejas, el problema de clasificar estos espacios suele ser manejable. La clasificación en geometría compleja y algebraica a menudo se realiza mediante el estudio de espacios de módulos , que son a su vez variedades o formas complejas cuyos puntos clasifican otros objetos geométricos que surgen en la geometría compleja.

• Bivector (complejo)
• Variedad de Calabi-Yau
• Teoremas A y B de Cartan
• Espacio analítico complejo
• Grupo de mentiras complejas
• politopo complejo
• Espacio proyectivo complejo
• Problemas con los primos
• Teoría de la deformación#Deformaciones de variedades complejas
• Clasificación Enriques-Kodaira
• GAGÁ
• Teorema de extensión de Hartogs
• espacio simétrico hermitiano
• descomposición de Hodge
• Colector de Hopf
• Línea imaginaria (matemáticas)
• Métrica de Kobayashi
• Correspondencia Kobayashi-Hitchin
• colector de Kähler
• ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$-lema
• Número de Lelong
• Lista de superficies complejas y algebraicas
• Simetría especular
• Ideal multiplicador
• Variedad proyectiva
• Pseudoconvexidad
• Varias variables complejas
• Colector de Stein

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