Conjeturas estándar sobre ciclos algebraicos

En matemáticas , las conjeturas estándar sobre ciclos algebraicos son varias conjeturas que describen la relación entre los ciclos algebraicos y las teorías de cohomología de Weil . Una de las aplicaciones originales de estas conjeturas, concebida por Alexander Grothendieck , fue demostrar que su construcción de motivos puros proporcionaba una categoría abeliana semisimple . Además, como él mismo señaló, las conjeturas estándar también implican la parte más difícil de las conjeturas de Weil , a saber, la hipótesis de Riemann de Weil (es decir , un análogo sobre cuerpos finitos de la conocida hipótesis de Riemann ) que permaneció abierta a finales de la década de 1960 y fue demostrada posteriormente por Pierre Deligne ; para más detalles sobre el vínculo entre Weil y las conjeturas estándar, véase Kleiman (1968) . Las conjeturas estándar siguen siendo problemas abiertos, por lo que su aplicación solo proporciona demostraciones condicionales de resultados. En bastantes casos, incluido el de las conjeturas de Weil, se han encontrado otros métodos para demostrar dichos resultados de forma incondicional.

Las formulaciones clásicas de las conjeturas estándar implican una teoría de cohomología de Weil fija H. Todas las conjeturas tratan con clases de cohomología "algebraicas", lo que significa un morfismo en la cohomología de una variedad proyectiva lisa.

H ^∗ ( X ) → H ^∗ ( X )

inducido por un ciclo algebraico con coeficientes racionales en el producto X × X a través del mapa de clases de ciclo , que es parte de la estructura de una teoría de cohomología de Weil.

La conjetura A es equivalente a la conjetura B (véase Grothendieck (1969) , pág.  196), por lo que no se incluye en la lista.

Las situaciones en el campo de los números complejos y en los campos finitos son completamente diferentes. La conjetura estándar de Hodge es cierta en el campo de los números complejos, pero en gran medida desconocida en los campos finitos. Por otro lado, la conjetura estándar C es conocida en los campos finitos, pero en gran medida desconocida en los números complejos.

Uno de los axiomas de una teoría de Weil es el llamado teorema (o axioma) de Lefschetz duro :

Comience con una sección de hiperplano suave fija.

W = H ∩ X ,

donde X es una variedad proyectiva suave dada en el espacio proyectivo ambiente P ^N y H es un hiperplano. Entonces, para i ≤ n = dim( X ) , el operador de Lefschetz

L  : H ⁱ ( X ) → H ^{i +2} ( X ) ,

que se define mediante la intersección de clases de cohomología con W , da un isomorfismo

L ^{n − i}  : H ⁱ ( X ) → H ^{2 n − i} ( X ) .

Ahora, para i ≤ n definimos:

Λ = ( L ^{n − i +2} ) ⁻¹ ∘ L ∘ ( L ^{n − i} )  : H ⁱ ( X ) → H ^{i −2} ( X )

Λ = ( L ^{n − i} ) ∘ L ∘ ( L ^{n − i +2} ) ⁻¹  : H ^{2 n − i +2} ( X ) → H ^{2 n − i} ( X )

La conjetura afirma que el operador de Lefschetz ( Λ ) es inducido por un ciclo algebraico.

Se conjetura que los proyectores

H ^∗ ( X ) ↠ H ⁱ ( X ) ↣ H ^∗ ( X )

son algebraicos, es decir, inducidos por un ciclo π ⁱ ⊂ X × X con coeficientes racionales. Esto implica que el motivo de cualquier variedad proyectiva suave (y más generalmente, todo motivo puro ) se descompone como

${\displaystyle h(X)=\bigoplus _{i=0}^{2dim(X)}h^{i}(X).}$

Los motivos${\displaystyle h^{0}(X)}$y${\displaystyle h^{2dim(X)}}$Siempre se pueden separar como sumandos directos. Por lo tanto, la conjetura se cumple inmediatamente para curvas. Murre (1990) la demostró para superficies . Katz y Messing (1974) utilizaron las conjeturas de Weil para demostrar la conjetura para variedades algebraicas definidas sobre cuerpos finitos, en dimensión arbitraria.

Šermenev (1974) demostró la descomposición de Künneth para variedades abelianas A. Deninger y Murre (1991) refinaron este resultado al exhibir una descomposición de Künneth funtorial del motivo de Chow de A tal que la n -multiplicación en la variedad abeliana actúa como${\displaystyle n^{i}}$en el i -ésimo sumando${\displaystyle h^{i}(A)}$. de Cataldo y Migliorini (2002) demostraron la descomposición de Künneth para el esquema de Hilbert de puntos en una superficie lisa.

La conjetura D afirma que la equivalencia numérica y homológica coinciden. (Esto implica, en particular, que esta última no depende de la elección de la teoría de cohomología de Weil). Esta conjetura implica la conjetura de Lefschetz. Si se cumple la conjetura estándar de Hodge, entonces la conjetura de Lefschetz y la conjetura D son equivalentes.

En el campo de los números complejos, Lieberman demostró esta conjetura para variedades de dimensión como máximo 4 y para variedades abelianas . ^{[ 1 ]}

Sobre cuerpos finitos, Clozel demostró esta conjetura para variedades abelianas con cohomología l-ádica étale, para un conjunto infinito de números primos l (lo cual puede expresarse en términos del teorema de densidad de Cebotarev). Una idea crucial en la demostración de Clozel es intentar reducirla a un contexto similar al de las variedades abelianas sobre el cuerpo de los números complejos: construir una "descomposición de Hodge" para la cohomología, utilizando el tipo de cuerpo CM del grupo de endomorfismos.

La conjetura estándar de Hodge se basa en el teorema del índice de Hodge . Establece la definitud (positiva o negativa, según la dimensión) del emparejamiento del producto de copas en clases de cohomología algebraica primitivas. Si se cumple, entonces la conjetura de Lefschetz implica la conjetura D. En característica cero, la conjetura estándar de Hodge se cumple, siendo una consecuencia de la teoría de Hodge . En característica positiva, la conjetura estándar de Hodge es conocida para superficies ( Grothendieck (1958) ) y para variedades abelianas de dimensión 4 ( Ancona (2020) ).

La conjetura estándar de Hodge no debe confundirse con la conjetura de Hodge que afirma que, para variedades proyectivas lisas sobre C , toda clase racional ( p , p ) es algebraica. La conjetura de Hodge implica las conjeturas de Lefschetz y Künneth, así como la conjetura D para variedades sobre cuerpos de característica cero. La conjetura de Tate implica las conjeturas de Lefschetz, Künneth y la conjetura D para la cohomología ℓ-ádica sobre todos los cuerpos.

Para dos variedades algebraicas X e Y , Arapura (2006) introdujo una condición para que Y esté motivada por X. La condición precisa es que el motivo de Y sea (en la categoría de motivos de André) expresable a partir del motivo de X mediante sumas, sumandos y productos. Por ejemplo, Y está motivada si existe un morfismo sobreyectivo.${\displaystyle X^{n}\to Y}$. ^{[ 2 ]} Si Y no se encuentra en la categoría, no está motivado en ese contexto. Para variedades algebraicas complejas proyectivas suaves X e Y , tales que Y está motivado por X , las conjeturas estándar D (equivalencia homológica igual a numérica), B (Lefschetz), la conjetura de Hodge y también la conjetura generalizada de Hodge se cumplen para Y si se cumplen para todas las potencias de X. ^{[ 3} ] Este hecho se puede aplicar para demostrar, por ejemplo, la conjetura de Lefschetz para el esquema ^de Hilbert de puntos en una superficie algebraica .

Beilinson (2012) ha demostrado que la existencia (conjetural) de la llamada t-estructura motivacional en la categoría triangulada de motivos implica las conjeturas estándar B y C de Lefschetz y Künneth.

• Ancona, Giuseppe (2020), "Conjeturas estándar para variedades abelianas de cuatro dimensiones", Invent. Math. , 223 : 149–212 , arXiv : 1806.03216 , doi : 10.1007/s00222-020-00990-7 , S2CID 119579196 

• Arapura, Donu (2006), "Motivación para los ciclos de Hodge", Advances in Mathematics , 207 (2): 762– 781, arXiv : math/0501348 , doi : 10.1016/j.aim.2006.01.005 , MR 2271985 , S2CID 13897239  

• Beilinson, A. (2012), "Comentarios sobre las conjeturas estándar de Grothendieck", Regulators , Contemp. Math., vol.  571, Amer. Math. Soc., Providence, RI, pp. 25–32 , arXiv : 1006.1116 , doi : 10.1090/conm/571/11319 , ISBN  9780821853221, MR 2953406 , S2CID 119687821  

• de Cataldo, Mark Andrea A. ; Migliorini, Luca (2002), "Los grupos de Chow y el motivo del esquema de Hilbert de puntos en una superficie", Journal of Algebra , 251 (2): 824– 848, arXiv : math/0005249 , doi : 10.1006/jabr.2001.9105 , MR 1919155 , S2CID 16431761  

• Deninger, Christopher; Murre, Jacob (1991), "Descomposición motivacional de esquemas abelianos y la transformada de Fourier", J. Reine Angew. Math. , 422 : 201– 219, MR 1133323 

• Grothendieck, A. (1969), "Conjeturas estándar sobre ciclos algebraicos", Geometría algebraica (Coloquio internacional, Tata Inst. Fund. Res., Bombay, 1968) (PDF) , Oxford University Press, págs. 193–199 , MR 0268189  {{citation}}: CS1 maint: url-status ( enlace ) .

• Grothendieck, A. (1958), "Sur une note de Mattuck-Tate", J. Reine Angew. Matemáticas. , 1958 (200): 208– 215, doi : 10.1515/crll.1958.200.208 , SEÑOR 0136607 , S2CID 115548848  

• Katz, Nicholas M.; Messing , William (1974), "Algunas consecuencias de la hipótesis de Riemann para variedades sobre cuerpos finitos", Inventiones Mathematicae , 23 : 73–77 , Bibcode : 1974InMat..23...73K , doi : 10.1007/BF01405203 , MR 0332791 , S2CID 121989640  
• Kleiman, Steven L. (1968), "Ciclos algebraicos y conjeturas de Weil", Dix exposés sur la cohomologie des schémas , Amsterdam: Holanda Septentrional, págs. 359–386 , MR 0292838  .

• Murre, JP (1990), "Sobre el motivo de una superficie algebraica", J. Reine Angew. Math. , 1990 (409): 190– 204, doi : 10.1515/crll.1990.409.190 , MR 1061525 , S2CID 117483201  

• Kleiman, Steven L. (1994), "Las conjeturas estándar", Motives (Seattle, WA, 1991) , Actas de simposios de matemáticas puras, vol.  55, American Mathematical Society, pp. 3–20 , MR 1265519  .

• Šermenev, AM (1974), "Motivo de una variedad abeliana", Funckcional. Anal. I Priložen , 8 (1): 55– 61, SEÑOR 0335523 

• Avances en las conjeturas estándar sobre ciclos algebraicos.
• Analogues Kähleriens de algunas conjeturas de Weil. J.-P Serre (extrait d'une lettre a A. Weil, 9 de noviembre de 1959) escaneo