Conjetura de Tate

En teoría de números y geometría algebraica , la conjetura de Tate, formulada en 1963 por John Tate , describe los ciclos algebraicos en una variedad mediante un invariante más computable: la representación de Galois en cohomología étale . Esta conjetura constituye un problema central en la teoría de los ciclos algebraicos y puede considerarse un análogo aritmético de la conjetura de Hodge .

Sea V una variedad proyectiva lisa sobre un cuerpo k que es finitamente generada sobre su cuerpo primo . Sea k _s una clausura separable de k , y sea G el grupo de Galois absoluto Gal( k _s / k ) de k . Fijemos un número primo ℓ que sea invertible en k . Consideremos los grupos de cohomología ℓ-ádicos (coeficientes en los enteros ℓ-ádicos Z _ℓ , escalares que luego se extienden a los números ℓ-ádicos Q _ℓ ) de la extensión base de V a k _s ; estos grupos son representaciones de G . Para cualquier i ≥ 0, una subvariedad de codimensión -i de V (que se entiende que está definida sobre k ) determina un elemento del grupo de cohomología .

${\displaystyle H^{2i}(V_{k_{s}},\mathbf {Q} _{\ell }(i))=W}$

que está fijado por G. Aquí Q _ℓ ( i ) denota el i ^th giro de Tate , lo que significa que esta representación del grupo de Galois G está tensorializada con la i ^th potencia del carácter ciclotómico .

La conjetura de Tate afirma que el subespacio W ^G de W, definido por el grupo de Galois G, está generado, como espacio vectorial Q _ℓ , por las clases de subvariedades de codimensión i de V. Un ciclo algebraico es una combinación lineal finita de subvariedades; por lo tanto, una afirmación equivalente es que cada elemento de W ^G es la clase de un ciclo algebraico en V con coeficientes Q _{ℓ .}

La conjetura de Tate para divisores (ciclos algebraicos de codimensión 1) es un importante problema abierto. Por ejemplo, sea f  : X → C un morfismo de una superficie proyectiva lisa sobre una curva proyectiva lisa sobre un cuerpo finito. Supongamos que la fibra genérica F de f , que es una curva sobre el cuerpo de funciones k ( C ), es lisa sobre k ( C ). Entonces la conjetura de Tate para divisores en X es equivalente a la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer para la variedad jacobiana de F . ^{[ 1 ]} Por el contrario, se conoce la conjetura de Hodge para divisores en cualquier variedad proyectiva compleja lisa (el teorema de Lefschetz (1,1) ).

Probablemente el caso conocido más importante es que la conjetura de Tate es cierta para divisores en variedades abelianas . Este es un teorema de Tate para variedades abelianas sobre cuerpos finitos, y de Faltings para variedades abelianas sobre cuerpos numéricos, parte de la solución de Faltings a la conjetura de Mordell . Zarhin extendió estos resultados a cualquier cuerpo base finitamente generado. La conjetura de Tate para divisores en variedades abelianas implica la conjetura de Tate para divisores en cualquier producto de curvas C ₁ × ... × C _n . ^{[ 2 ]}

La conjetura de Tate (conocida) para divisores en variedades abelianas es equivalente a una afirmación poderosa sobre homomorfismos entre variedades abelianas. Es decir, para cualesquiera variedades abelianas A y B sobre un cuerpo k finitamente generado , el mapa natural

${\displaystyle {\text{Hom}}(A,B)\otimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {Q} _{\ell }\to {\text{Hom}}_{G}\left(H_{1}\left(A_{k_{s}},\mathbf {Q} _{\ell }\right),H_{1}\left(B_{k_{s}},\mathbf {Q} _{\ell }\right)\right)}$

es un isomorfismo. ^{[ 3 ]} En particular, una variedad abeliana A está determinada salvo isogenia por la representación de Galois en su módulo de Tate H ₁ ( A _{k s} , Z _ℓ ).

La conjetura de Tate también se cumple para superficies K3 sobre cuerpos finitamente generados de característica distinta de 2. ^{[ 4 ]} (En una superficie, la parte no trivial de la conjetura trata sobre divisores). En característica cero, la conjetura de Tate para superficies K3 fue demostrada por André y Tankeev. Para superficies K3 sobre cuerpos finitos de característica distinta de 2, la conjetura de Tate fue demostrada por Nygaard, Ogus , Charles, Madapusi Pera y Maulik.

Totaro (2017) examina los casos conocidos de la conjetura de Tate.

Sea X una variedad proyectiva lisa sobre un cuerpo k finitamente generado . La conjetura de semisimplicidad predice que la representación del grupo de Galois G = Gal( k _s / k ) en la cohomología ℓ-ádica de X es semisimple (es decir, una suma directa de representaciones irreducibles ). Para k de característica 0, Moonen (2017) demostró que la conjetura de Tate (como se indicó anteriormente) implica la semisimplicidad de

${\displaystyle H^{i}\left(X\times _{k}{\overline {k}},\mathbf {Q} _{\ell }(n)\right).}$

Para k finito de orden q , Tate demostró que la conjetura de Tate más la conjetura de semisimplicidad implicarían la conjetura fuerte de Tate , a saber, que el orden del polo de la función zeta Z ( X , t ) en t = q ^{− j} es igual al rango del grupo de ciclos algebraicos de codimensión j módulo equivalencia numérica . ^{[ 5 ]}

Al igual que la conjetura de Hodge, la conjetura de Tate implicaría la mayoría de las conjeturas estándar de Grothendieck sobre ciclos algebraicos . En concreto, implicaría la conjetura estándar de Lefschetz (que la inversa del isomorfismo de Lefschetz se define mediante una correspondencia algebraica); que las componentes de Künneth de la diagonal son algebraicas; y que la equivalencia numérica y la equivalencia homológica de ciclos algebraicos son lo mismo.

• André, Yves (1996), "Sobre las conjeturas de Shafarevich y Tate para variedades hiper-Kähler", Mathematische Annalen , 305 : 205–248 , doi : 10.1007/BF01444219 , MR 1391213 , S2CID 122949797  
• Faltings, Gerd (1983), "Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern", Inventiones Mathematicae , 73 (3): 349– 366, Bibcode : 1983InMat..73..349F , doi : 10.1007/BF01388432 , SEÑOR 0718935 , S2CID 121049418  
• Madapusi Pera, K. (2013), "La conjetura de Tate para superficies K3 en característica impar", Inventiones Mathematicae , 201 (2): 625– 668, arXiv : 1301.6326 , Bibcode : 2013arXiv1301.6326M , doi : 10.1007/s00222-014-0557-5 , S2CID 253746655 
• Moonen, Ben (2017), Un comentario sobre la conjetura de Tate , arXiv : 1709.04489v1
• Tate, John (1965), "Ciclos algebraicos y polos de funciones zeta", en Schilling, OFG (ed.), Geometría algebraica aritmética , Nueva York: Harper and Row, pp. 93–110 , MR 0225778  
• Tate, John (1966), "Endomorfismos de variedades abelianas sobre cuerpos finitos", Inventiones Mathematicae , 2 (2): 134– 144, Bibcode : 1966InMat...2..134T , doi : 10.1007/bf01404549 , MR 0206004 , S2CID 245902  
• Tate, John (1994), "Conjeturas sobre ciclos algebraicos en cohomología ℓ-ádica", Motives , Actas de simposios en matemáticas puras, vol.  55, American Mathematical Society, pp. 71–83 , ISBN  0-8218-1636-5, MR 1265523 
• Ulmer, Douglas (2014), "Curvas y jacobianos sobre cuerpos de funciones", Geometría aritmética sobre cuerpos de funciones globales , Cursos avanzados de matemáticas - CRM Barcelona, ​​Birkhäuser, pp. 283–337 , doi : 10.1007/978-3-0348-0853-8 , ISBN  978-3-0348-0852-1
• Totaro, Burt (2017), "Avances recientes en la conjetura de Tate", Boletín de la Sociedad Matemática Americana , Nueva Serie, 54 (4): 575– 590, doi : 10.1090/bull/1588

• James Milne , La conjetura de Tate sobre cuerpos finitos (charla en AIM) .