Representación de Galois

En matemáticas , un módulo de Galois es un G -módulo , donde G es el grupo de Galois de alguna extensión de cuerpos . El término representación de Galois se utiliza con frecuencia cuando el G -módulo es un espacio vectorial sobre un cuerpo o un módulo libre sobre un anillo en la teoría de la representación , pero también puede utilizarse como sinónimo de G -módulo. El estudio de los módulos de Galois para extensiones de cuerpos locales o globales y su cohomología de grupos es una herramienta importante en la teoría de números .

• Dado un cuerpo K , el grupo multiplicativo ( K ^​​s ) ^× de una clausura separable de K es un módulo de Galois para el grupo de Galois absoluto . Su segundo grupo de cohomología es isomorfo al grupo de Brauer de K (por el teorema 90 de Hilbert , su primer grupo de cohomología es cero).
• Si X es un esquema propio suave sobre un cuerpo K entonces los grupos de cohomología ℓ-ádicos de su fibra geométrica son módulos de Galois para el grupo de Galois absoluto de K.

Sea K un cuerpo valuado (con valuación denotada por v ) y sea L / K una extensión finita de Galois con grupo de Galois G. Para una extensión w de v a L , sea _Iw su grupo de inercia . Se dice que un módulo de Galois ρ: G → Aut( V ) no está ramificado si ρ( Iw ₎ = {1}.

En la teoría clásica de números algebraicos , sea L una extensión de Galois de un cuerpo K y sea G el grupo de Galois correspondiente. Entonces el anillo O _L de números enteros algebraicos de L puede considerarse como un O _K [ G ]-módulo, y uno puede preguntarse cuál es su estructura. Esta es una cuestión aritmética, en la que por el teorema de la base normal uno sabe que L es un K [ G ]-módulo libre de rango 1. Si lo mismo es cierto para los números enteros, eso es equivalente a la existencia de una base integral normal , es decir, de α en O _L tal que sus elementos conjugados bajo G dan una base libre para O _L sobre O _K . Esta es una pregunta interesante incluso (quizás especialmente) cuando K es el cuerpo de números racionales Q .

Por ejemplo, si L  =  Q ( √ −3 ), ¿existe una base integral normal? La respuesta es sí, como se ve al identificarla con Q ( ζ ) donde

ζ = exp(2 π i /3).

De hecho, todos los subcuerpos de los cuerpos ciclotómicos para las raíces p -ésimas de la unidad para p un número primo tienen bases integrales normales (sobre Z ), como se puede deducir de la teoría de los periodos gaussianos (el teorema de Hilbert-Speiser ). Por otra parte, el cuerpo gaussiano no las tiene. Este es un ejemplo de una condición necesaria encontrada por Emmy Noether ( ¿quizás conocida antes? ). Lo que importa aquí es la ramificación domesticada . En términos del discriminante D de L , y tomando todavía K  =  Q , ningún primo p debe dividir a D elevado a p . Entonces el teorema de Noether establece que la ramificación domesticada es necesaria y suficiente para que O _L sea un módulo proyectivo sobre Z [ G ]. Por lo tanto, es ciertamente necesario que sea un módulo libre . Deja la cuestión de la brecha entre libre y proyectivo, para la cual ahora se ha construido una gran teoría.

Un resultado clásico, basado en un resultado de David Hilbert , es que un cuerpo numérico abeliano ramificado de forma sencilla tiene una base integral normal. Esto se puede comprobar utilizando el teorema de Kronecker-Weber para incorporar el cuerpo abeliano en un cuerpo ciclotómico. ^[1]

Muchos objetos que surgen en la teoría de números son naturalmente representaciones de Galois. Por ejemplo, si L es una extensión de Galois de un cuerpo de números K , el anillo de enteros O _L de L es un módulo de Galois sobre O _K para el grupo de Galois de L / K (véase el teorema de Hilbert-Speiser). Si K es un cuerpo local, el grupo multiplicativo de su clausura separable es un módulo para el grupo de Galois absoluto de K y su estudio conduce a la teoría de cuerpos de clase local . Para la teoría de cuerpos de clase global , se utiliza en su lugar la unión de los grupos de clases ideales de todas las extensiones separables finitas de K .

También existen representaciones de Galois que surgen de objetos auxiliares y que pueden utilizarse para estudiar grupos de Galois. Una familia importante de ejemplos son los módulos de Tate ℓ-ádicos de variedades abelianas .

Sea K un cuerpo de números. Emil Artin introdujo una clase de representaciones de Galois del grupo de Galois absoluto G _K de K , ahora llamadas representaciones de Artin . Estas son las representaciones lineales finito-dimensionales continuas de G _K en espacios vectoriales complejos . El estudio de Artin de estas representaciones lo llevó a formular la ley de reciprocidad de Artin y a conjeturar lo que ahora se llama la conjetura de Artin sobre la holomorfía de las L -funciones de Artin .

Debido a la incompatibilidad de la topología profinita en G _K y la topología (euclidiana) habitual en espacios vectoriales complejos, la imagen de una representación de Artin es siempre finita.

Sea ℓ un número primo . Una representación ℓ-ádica de G _K es un homomorfismo de grupo continuo ρ : G _K → Aut( M ) donde M es un espacio vectorial de dimensión finita sobre Q _ℓ (la clausura algebraica de los números ℓ-ádicos Q _ℓ ) o un Z _ℓ -módulo finitamente generado (donde Z _ℓ ​​es la clausura integral de Z _ℓ ​​en Q _ℓ ). Los primeros ejemplos que surgieron fueron el carácter ciclotómico ℓ-ádico y los módulos de Tate ℓ-ádicos de variedades abelianas sobre K . Otros ejemplos provienen de las representaciones de Galois de formas modulares y formas automórficas, y las representaciones de Galois sobre grupos de cohomología ℓ-ádicos de variedades algebraicas.

A diferencia de las representaciones de Artin, las representaciones ℓ-ádicas pueden tener una imagen infinita. Por ejemplo, la imagen de G _Q bajo el carácter ciclotómico ℓ-ádico es . Las representaciones ℓ-ádicas con imagen finita se denominan a menudo representaciones de Artin. A través de un isomorfismo de Q _ℓ con C se pueden identificar con representaciones de Artin auténticas . ${\displaystyle \mathbf {Z} _{\ell }^{\times }}$

Se trata de representaciones sobre un cuerpo finito de característica ℓ. Suelen surgir como la reducción módulo ℓ de una representación ℓ-ádica.

Existen numerosas condiciones para las representaciones dadas por alguna propiedad de la representación restringida a un grupo de descomposición de algún primo. La terminología para estas condiciones es algo caótica, ya que diferentes autores inventan nombres diferentes para la misma condición y usan el mismo nombre con diferentes significados. Algunas de estas condiciones incluyen:

• Representaciones abelianas. Esto significa que la imagen del grupo de Galois en las representaciones es abeliana .
• Representaciones absolutamente irreducibles. Permanecen irreducibles en un clausura algebraica del cuerpo.
• Representaciones de Barsotti-Tate. Son similares a las representaciones planas finitas.
• Representaciones cristalinas
• Representaciones cristalinas.
• Representaciones de Rham.
• Representaciones planas finitas. (Este nombre es un poco engañoso, ya que en realidad son profinitas en lugar de finitas). Estas pueden construirse como un límite proyectivo de representaciones del grupo de Galois en un esquema de grupo plano finito .
• Buenas representaciones. Se relacionan con las representaciones de curvas elípticas con buena reducción.
• Representaciones de Hodge-Tate.
• Representaciones irreducibles . Son irreducibles en el sentido de que la única subrepresentación es el espacio completo o el cero.
• Representaciones mínimamente ramificadas.
• Representaciones modulares. Son representaciones que proceden de una forma modular , pero también pueden referirse a representaciones sobre campos de característica positiva .
• Representaciones ordinarias. Están relacionadas con las representaciones de curvas elípticas con reducción ordinaria (no supersingular). Más precisamente, son representaciones bidimensionales que son reducibles con una subrepresentación unidimensional, de modo que el grupo de inercia actúa de una determinada manera sobre el submódulo y el cociente. La condición exacta depende del autor; por ejemplo, podría actuar de forma trivial sobre el cociente y mediante el carácter ε sobre el submódulo.
• Representaciones potencialmente algo . Esto significa que las representaciones restringidas a un subgrupo abierto de índice finito tienen alguna propiedad específica.
• Representaciones reducibles. Tienen una subrepresentación propia distinta de cero.
• Representaciones semiestables. Son representaciones bidimensionales relacionadas con las representaciones provenientes de curvas elípticas semiestables .
• Representaciones ramificadas de forma dócil. Son triviales en el (primer) grupo de ramificación .
• Representaciones triangulares.
• Representaciones no ramificadas. Son triviales en el grupo de inercia.
• Representaciones muy ramificadas. No son triviales en el (primer) grupo de ramificación.

Si K es un cuerpo local o global, la teoría de formaciones de clases atribuye a K su grupo de Weil W _K , un homomorfismo de grupo continuo φ : W _K → G _K , y un isomorfismo de grupos topológicos

${\displaystyle r_{K}:C_{K}{\tilde {\rightarrow }}W_{K}^{\text{ab}}}$

donde C _K es K ^× o el grupo de clases ideal I _K / K ^× (dependiendo de si K es local o global) y W desde
K es la abelianización del grupo de Weil de K . A través de φ, cualquier representación de G _K puede considerarse como una representación de W _K . Sin embargo, W _K puede tener estrictamente más representaciones que G _K . Por ejemplo, a través de r _K los caracteres complejos continuos de W _K están en biyección con los de C _K . Por lo tanto, el carácter de valor absoluto en C _K produce un carácter de W _K cuya imagen es infinita y, por lo tanto, no es un carácter de G _K (ya que todos ellos tienen imagen finita).

Una representación ℓ-ádica de W _K se define de la misma manera que para G _K . Estas surgen naturalmente de la geometría: si X es una variedad proyectiva suave sobre K , entonces la cohomología ℓ-ádica de la fibra geométrica de X es una representación ℓ-ádica de G _K que, a través de φ, induce una representación ℓ-ádica de W _K . Si K es un cuerpo local de característica de residuo p  ≠ ℓ, entonces es más simple estudiar las llamadas representaciones de Weil–Deligne de W _K .

Sea K un cuerpo local. Sea E un cuerpo de característica cero. Una representación de Weil–Deligne sobre E de W _K (o simplemente de K ) es un par ( r ,  N ) que consta de

• un homomorfismo de grupo continuo r  : W _K → Aut _E ( V ) , donde V es un espacio vectorial de dimensión finita sobre E equipado con la topología discreta ,
• un endomorfismo nilpotente N  : V → V tal que r ( w )N r ( w ) ⁻¹ = || w || N para todo w  ∈  W _K . ^[2]

Estas representaciones son las mismas que las representaciones sobre E del grupo Weil–Deligne de K.

Si la característica residual de K es diferente de ℓ, el teorema de monodromía ℓ-ádica de Grothendieck establece una biyección entre representaciones ℓ-ádicas de W _K (sobre Q _ℓ ) y representaciones de Weil–Deligne de W _K sobre Q _ℓ (o equivalentemente sobre C ). Estas últimas tienen la característica agradable de que la continuidad de r es solo con respecto a la topología discreta en V , lo que hace que la situación tenga un sabor más algebraico.

• Sistema compatible de representaciones ℓ-ádicas
• Representación arbórea de Galois

• Kudla, Stephen S. (1994), "La correspondencia local de Langlands: el caso no arquimediano", Motives, Parte 2 , Proc. Sympos. Pure Math., vol. 55, Providence, RI: Amer. Math. Soc., págs. 365–392, ISBN 978-0-8218-1635-6
• Neukirch, Jürgen ; Schmidt, Alejandro; Wingberg, Kay (2000), Cohomología de campos numéricos , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , vol. 323, Berlín: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, MR  1737196, Zbl  0948.11001
• Tate, John (1979), "Antecedentes de la teoría de números", Formas automórficas, representaciones y funciones L, Parte 2, Proc. Sympos. Pure Math., vol. 33, Providence, RI: Amer. Math. Soc., págs. 3–26, ISBN 978-0-8218-1437-6

• Snaith, Victor P. (1994), Estructura del módulo de Galois , monografías del Fields Institute, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 0-8218-0264-X, Zbl0830.11042 ​
• Fröhlich, Albrecht (1983), Estructura del módulo de Galois de enteros algebraicos , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge, vol. 1, Berlín-Heidelberg-Nueva York-Tokio: Springer-Verlag , ISBN 3-540-11920-5, Zbl  0501.12012