grupo algebraico adélico

En teoría de números y geometría aritmética , los puntos adélicos de un grupo algebraico.${\displaystyle G}$en un campo global${\displaystyle K}$forman un grupo topológico denotado${\displaystyle G(\mathbb {A} _{K})}$, dónde${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$es el anillo de Adele de${\displaystyle K}$. Para un grupo algebraico lineal ,${\displaystyle G(\mathbb {A} _{K})}$puede describirse como el producto restringido de los grupos locales${\displaystyle G(K_{v})}$en todos los lugares${\displaystyle v}$de${\displaystyle K}$, con respecto a subgrupos abiertos compactos${\displaystyle G({\mathcal {O}}_{v})}$en casi todos los lugares no arquimedianos.

Los grupos adélicos proporcionan el entorno natural para las formas automórficas y las representaciones automórficas. Sus cocientes básicos, como${\displaystyle G(K)\backslash G(\mathbb {A} _{K})}$, codificar información aritmética de todas las completaciones de${\displaystyle K}$de inmediato. Ejemplos importantes incluyen el grupo idele.${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }=\mathbb {G} _{m}(\mathbb {A} _{K})}$, grupos lineales generales adélicos${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {A} _{K})}$, toros adélicos y puntos adélicos de grupos reductivos . Las medidas de Tamagawa y los números de Tamagawa se definen utilizando medidas de Haar en dichos grupos.

Históricamente, los idèles ( / ɪ ˈ d ɛ l z / ) fueron introducidos por Chevalley ( 1936 ) con el nombre de "élément idéal", que significa "elemento ideal" en francés, que Chevalley (1940) abrevió posteriormente a "idèle" siguiendo una sugerencia de Hasse . (En estos trabajos también les dio a los idèles una topología no Hausdorff ). Esto tenía como objetivo formular la teoría de cuerpos de clases para extensiones infinitas en términos de grupos topológicos. Weil (1938) definió (pero no nombró) el anillo de adeles en el caso de cuerpos de funciones y señaló que el grupo de Idealelemente de Chevalley era el grupo de elementos invertibles de este anillo. Tate (1950) definió el anillo de adeles como un producto directo restringido, aunque denominó a sus elementos "vectores de valuación" en lugar de adeles. 

Chevalley (1951) definió el anillo de adeles en el caso del cuerpo de funciones, bajo el nombre de "reparticiones"; el término contemporáneo adèle significa "idèles aditivos" y también puede ser un nombre de mujer francés. El término adèle se empezó a usar poco después ( Jaffard 1953 ) y puede haber sido introducido por André Weil . La construcción general de grupos algebraicos adélicos de Ono (1957) siguió la teoría de grupos algebraicos fundada por Armand Borel y Harish-Chandra .

Dejar${\displaystyle K}$ser un campo global y dejar${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$sea ​​su anillo Adele . Si${\displaystyle G}$es un grupo algebraico sobre${\displaystyle K}$, la notación ${\displaystyle G(\mathbb {A} _{K})}$denota el grupo de puntos adélicos de${\displaystyle G}$. De manera informal, un elemento de${\displaystyle G(\mathbb {A} _{K})}$es una colección compatible de puntos locales de${\displaystyle G}$, uno sobre cada finalización${\displaystyle K_{v}}$de${\displaystyle K}$. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Para un grupo algebraico lineal , el grupo adélico puede describirse como un producto restringido.$${\displaystyle G(\mathbb {A} _{K})=\prod _{v}'G(K_{v}),}$$ dónde${\displaystyle v}$corre por los lugares de${\displaystyle K}$En casi todos los lugares no arquimedianos${\displaystyle v}$, el producto restringido se toma con respecto al subgrupo abierto compacto.${\displaystyle G({\mathcal {O}}_{v})}$, dónde${\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}}$es el anillo de valoración de${\displaystyle K_{v}}$, después de elegir un modelo integral de${\displaystyle G}$fuera de un conjunto finito de lugares. ^{[ 2 ]} Por lo tanto, un elemento de${\displaystyle G(\mathbb {A} _{K})}$es una tupla $${\displaystyle (g_{v})_{v}\in \prod _{v}G(K_{v})}$$ de tal manera que${\displaystyle g_{v}\in G({\mathcal {O}}_{v})}$para todos los lugares no arquimedianos, salvo un número finito de ellos.${\displaystyle v}$.

La topología de producto restringida hace que${\displaystyle G(\mathbb {A} _{K})}$un grupo topológico localmente compacto en los casos algebraicos lineales usuales. Por ejemplo, si${\displaystyle G=\operatorname {GL} _{n}}$, entonces $${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {A} _{K})=\prod _{v}'\operatorname {GL} _{n}(K_{v}),}$$ con respecto a los subgrupos abiertos compactos${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}({\mathcal {O}}_{v})}$en casi todos los lugares no arquimedianos.

Los puntos racionales${\displaystyle G(K)}$incrustar diagonalmente en${\displaystyle G(\mathbb {A} _{K})}$Para grupos algebraicos lineales, esta imagen diagonal es discreta bajo la topología adélica. ^{[ 1 ] [ 2 ]} El cociente resultante $${\displaystyle G(K)\backslash G(\mathbb {A} _{K})}$$ es uno de los espacios básicos sobre los que se definen las formas automórficas y las representaciones automórficas . ^{[ 3 ]}

Los ejemplos más sencillos son los grupos aditivo y multiplicativo. Para el grupo aditivo${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$, $${\displaystyle \mathbb {G} _{a}(\mathbb {A} _{K})=\mathbb {A} _{K}.}$$ Para el grupo multiplicativo${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$, $${\displaystyle \mathbb {G} _{m}(\mathbb {A} _{K})=\mathbb {A} _{K}^{\times },}$$ el grupo idele de${\displaystyle K}$. La topología en${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }}$es la topología de producto restringida con respecto a${\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}^{\times }}$en casi todos los lugares no arquimedianos; equivalentemente, es la topología inducida por la incrustación. $${\displaystyle x\longmapsto (x,x^{-1})}$$ de${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }}$en${\displaystyle \mathbb {A} _{K}\times \mathbb {A} _{K}}$Generalmente es más fino que la topología de subespacio heredada de${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$. ^{[ 1 ]}

Dejar${\displaystyle G}$Sea un grupo algebraico lineal conexo sobre un cuerpo global.${\displaystyle K}$y dejar${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$sea ​​el anillo de Adele de${\displaystyle K}$Una medida de Tamagawa es una medida de Haar normalizada canónicamente en el grupo adélico .${\displaystyle G(\mathbb {A} _{K})}$, construido a partir de formas diferenciales algebraicas en${\displaystyle G}$. ^{[ 1 ] [ 4 ]}

Supongamos primero que${\displaystyle G}$es suave de dimensión${\displaystyle d}$y dejar${\displaystyle \omega }$sea ​​una forma diferencial racional invariante por la izquierda no nula de grado máximo en${\displaystyle G}$, definido sobre${\displaystyle K}$. Aquí "racional" significa que${\displaystyle \omega }$es una sección racional del haz canónico${\displaystyle \Omega _{G/K}^{d}}$, o equivalentemente una forma diferencial de grado superior definida en el punto genérico de${\displaystyle G}$, con coeficientes en el campo de la función${\displaystyle K(G)}$. Para cada lugar${\displaystyle v}$de${\displaystyle K}$, la forma${\displaystyle \omega }$define una medida de Haar local${\displaystyle |\omega |_{v}}$en el grupo localmente compacto${\displaystyle G(K_{v})}$Con las normalizaciones de convergencia habituales en casi todos los puntos, estas medidas locales definen una medida en el producto restringido.${\displaystyle G(\mathbb {A} _{K})}$. ^{[ 1 ]}

La construcción es independiente de la multiplicación${\displaystyle \omega }$por un elemento de${\displaystyle K^{\times }}$. De hecho, si${\displaystyle \omega }$es reemplazado por${\displaystyle a\omega }$, con${\displaystyle a\in K^{\times }}$, entonces la medida local en${\displaystyle v}$se multiplica por${\displaystyle |a|_{v}}$. La fórmula del producto para valoraciones, $${\displaystyle \prod _{v}|a|_{v}=1,}$$ Esto implica que la medida adélica resultante no cambia. Esta observación fue una de las motivaciones básicas para definir las medidas de Tamagawa de forma adélica. ^{[ 1 ]}

Cuando el cociente tiene medida finita, el número de Tamagawa de${\displaystyle G}$se define como $${\displaystyle \tau (G)=\operatorname {vol} {\bigl (}G(K)\backslash G(\mathbb {A} _{K}){\bigr )},}$$ donde el volumen se toma con respecto a la medida de Tamagawa. Algunos autores utilizan la notación de cociente opuesta.${\displaystyle G(\mathbb {A} _{K})/G(K)}$; las dos notaciones se refieren al mismo espacio cociente después de elegir las convenciones izquierda o derecha, pero${\displaystyle G(K)\backslash G(\mathbb {A} _{K})}$es estándar en la teoría de las formas automórficas. ^{[ 1 ] [ 3 ]}

Para muchos grupos reductivos, los números de Tamagawa codifican información aritmética. En el caso de los toros, están relacionados con los grupos de clases y la cohomología de Galois , mientras que para los grupos semisimples están conectados con la aritmética de las formas cuadráticas y el volumen de los cocientes aritméticos. ^{[ 5 ] [ 1 ]} Weil conjeturó que si${\displaystyle G}$es un grupo algebraico semisimple simplemente conexo sobre un cuerpo numérico, entonces $${\displaystyle \tau (G)=1.}$$ Esta conjetura fue demostrada sobre cuerpos numéricos mediante un trabajo que culminó en la demostración de Robert Kottwitz , basándose en trabajos anteriores de Robert Langlands . ^{[ 6 ]}

• Chevalley, Claude (1936), "Généralisation de la théorie du corps de Classes pour les extensions infinies", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (en francés), 15 : 359– 371, JFM 62.1153.02 
• Chevalley, Claude (1940), "La théorie du corps de Classes", Annals of Mathematics , segunda serie, 41 (2): 394– 418, doi : 10.2307/1969013 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1969013 , MR 0002357   
• Chevalley, Claude (1951), Introducción a la teoría de las funciones algebraicas de una variable , Mathematical Surveys, n.º VI, Providence, RI: American Mathematical Society , MR 0042164 
• Jaffard, Paul (1953), Anneaux d'adèles (d'après Iwasawa) , Séminaire Bourbaki, Secrétariat mathématique, París, MR 0157859 
• Ono, Takashi (1957), "Sur une propriété arithmétique des groupes algébriques commutatifs" , Bulletin de la Société Mathématique de France , 85 : 307– 323, doi : 10.24033/bsmf.1491 , ISSN 0037-9484 , MR 0094362  
• Tate, John T. (1950), "Análisis de Fourier en cuerpos numéricos y funciones zeta de Hecke", Teoría algebraica de números (Actas de la conferencia didáctica, Brighton, 1965) , Thompson, Washington, DC, pp. 305–347 , ISBN  978-0-9502734-2-6, MR 0217026 {{citation}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
• Weil, André (1938), "Zur algebraischen Theorie der algebraischen Funktionen". , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (en alemán), 179 : 129– 133, doi : 10.1515/crll.1938.179.129 , ISSN 0075-4102 , S2CID 116472982  

• Rapinchuk, AS (2001) [1994], "Número de Tamagawa" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press