Grupo de clase ideal

En matemáticas , el grupo de clases ideal (o grupo de clases ) de un cuerpo de números algebraicos.${\displaystyle K}$es el grupo cociente${\displaystyle J_{K}/P_{K}}$dónde${\displaystyle J_{K}}$es el grupo de ideales fraccionarios del anillo de enteros de${\displaystyle K}$, y${\displaystyle P_{K}}$es su subgrupo de ideales principales . El grupo de clases es una medida del grado en que falla la factorización única en el anillo de enteros de${\displaystyle K}$. El orden del grupo, que es finito , se llama número de clase de${\displaystyle K}$.

La teoría se extiende a los dominios de Dedekind y sus cuerpos de fracciones , para los cuales las propiedades multiplicativas están íntimamente ligadas a la estructura del grupo de clases. Por ejemplo, el grupo de clases de un dominio de Dedekind es trivial si y solo si el anillo es un dominio de factorización única .

Los grupos de clases ideales (o, mejor dicho, lo que en la práctica eran grupos de clases ideales) se estudiaron mucho antes de que se formulara la idea de ideal . Estos grupos aparecieron en la teoría de las formas cuadráticas : en el caso de las formas cuadráticas binarias integrales, tal como las formuló Carl Friedrich Gauss , se definió una ley de composición en ciertas clases de equivalencia de formas. Esto dio lugar a un grupo abeliano finito , como se reconoció en aquel entonces.

Más tarde, Ernst Kummer trabajó en una teoría de campos ciclotómicos . Se había comprendido (probablemente por varias personas) que la imposibilidad de completar las demostraciones en el caso general del Último Teorema de Fermat mediante la factorización utilizando las raíces de la unidad se debía a una razón muy importante: la imposibilidad de que la factorización única —es decir, el teorema fundamental de la aritmética— se cumpliera en los anillos generados por esas raíces de la unidad era un obstáculo importante. Del trabajo de Kummer surgió por primera vez un estudio de la obstrucción a la factorización. Ahora reconocemos esto como parte del grupo de clases ideal: de hecho, Kummer había aislado el${\displaystyle p}$- torsión en ese grupo para el campo de${\displaystyle p}$-raíces de la unidad, para cualquier número primo${\displaystyle p}$, como la razón del fracaso del método estándar de ataque al problema de Fermat (véase primo regular ).

Un poco más tarde, Richard Dedekind formuló el concepto de ideal, aunque Kummer había trabajado de una manera diferente. En este punto, los ejemplos existentes pudieron unificarse. Se demostró que, si bien los anillos de enteros algebraicos no siempre tienen una factorización única en números primos (porque no necesariamente son dominios de ideales principales ), sí poseen la propiedad de que todo ideal propio admite una factorización única como producto de ideales primos (es decir, todo anillo de enteros algebraicos es un dominio de Dedekind ). El tamaño del grupo de clases de ideales puede considerarse una medida de la desviación de un anillo respecto a ser un dominio de ideales principales; un anillo es un dominio de ideales principales si y solo si tiene un grupo de clases de ideales trivial.

Si${\displaystyle R}$es un dominio integral , define una relación${\displaystyle \sim }$sobre ideales fraccionarios no nulos de${\displaystyle R}$por${\displaystyle I\sim J}$siempre que existan elementos distintos de cero${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$de${\displaystyle R}$de tal manera que${\displaystyle (a)I=(b)J}$. Se demuestra fácilmente que esta es una relación de equivalencia . Las clases de equivalencia se denominan clases ideales de${\displaystyle R}$. Las clases ideales se pueden multiplicar: si${\displaystyle [I]}$denota la clase de equivalencia del ideal${\displaystyle I}$, luego la multiplicación${\displaystyle [I][J]=[IJ]}$está bien definido y es conmutativo . Los ideales principales forman la clase de ideales.${\displaystyle [R]}$que sirve como elemento identidad para esta multiplicación. Por lo tanto, una clase${\displaystyle [I]}$tiene un inverso${\displaystyle [J]}$si y solo si existe un ideal${\displaystyle J}$de tal manera que${\displaystyle IJ}$es un ideal principal. En general, tal es${\displaystyle J}$puede que no exista y, en consecuencia, el conjunto de clases ideales de${\displaystyle R}$puede ser solo un monoide .

Sin embargo, si${\displaystyle R}$es el anillo de enteros algebraicos en un cuerpo de números algebraicos , o más generalmente un dominio de Dedekind , la multiplicación definida anteriormente convierte el conjunto de clases de ideales fraccionarios en un grupo abeliano , el grupo de clases de ideales de${\displaystyle R}$. La propiedad de grupo de existencia de elementos inversos se deduce fácilmente del hecho de que, en un dominio de Dedekind, todo ideal no nulo (excepto${\displaystyle R}$) es un producto de ideales primos .

El grupo de clases ideal es trivial (es decir, tiene solo un elemento) si y solo si todos los ideales de${\displaystyle R}$son principales. En este sentido, el grupo de clase ideal mide hasta qué punto${\displaystyle R}$es por ser un dominio ideal principal y, por lo tanto, por satisfacer la factorización prima única (los dominios de Dedekind son dominios de factorización única si y solo si son dominios ideales principales).

El número de clases ideales—elnúmero de clase de${\displaystyle R}$—puede ser infinito en general. De hecho, todo grupo abeliano es isomorfo al grupo de clases ideales de algún dominio de Dedekind. ^{[ 1 ]} Pero si${\displaystyle R}$Si es un anillo de enteros algebraicos, entonces el número de clase siempre es finito . Este es uno de los principales resultados de la teoría clásica de números algebraicos .

El cálculo del grupo de clases es difícil en general; puede realizarse manualmente para el anillo de enteros en un cuerpo numérico algebraico de discriminante pequeño , utilizando la cota de Minkowski . Este resultado proporciona una cota, que depende del anillo, tal que toda clase ideal contiene una norma ideal menor que dicha cota. En general, la cota no es lo suficientemente precisa como para que el cálculo sea práctico para cuerpos con discriminante grande, pero las computadoras son idóneas para esta tarea.

El mapeo de anillos de números enteros${\displaystyle R}$a sus grupos de clases correspondientes es funtorial , y el grupo de clases puede subsumirse bajo el encabezado de K-teoría algebraica , con${\displaystyle K_{0}(R)}$siendo el functor que asigna a${\displaystyle R}$su grupo de clase ideal; más precisamente,${\displaystyle K_{0}(R)=\mathbb {Z} \times C(R)}$, dónde${\displaystyle C(R)}$es el grupo de clase. Superior${\displaystyle K}$Los grupos también pueden emplearse e interpretarse aritméticamente en relación con anillos de números enteros.

Como se mencionó anteriormente, el grupo de clases ideales proporciona parte de la respuesta a la pregunta de hasta qué punto los ideales en un dominio de Dedekind se comportan como elementos. La otra parte de la respuesta la proporciona el grupo de unidades del dominio de Dedekind, ya que el paso de los ideales principales a sus generadores requiere el uso de unidades (y esta es también la razón para introducir el concepto de ideal fraccionario).

Defina un mapa desde${\displaystyle K^{\times }}$al conjunto de todos los ideales fraccionarios no nulos de${\displaystyle R}$enviando cada elemento al ideal fraccionario que genera. Este es un homomorfismo de grupo ; su núcleo es el grupo de unidades de${\displaystyle R}$y su conúcleo es el grupo de clases ideal de${\displaystyle R}$El hecho de que estos grupos no sean triviales es una medida del fracaso del mapa para ser un isomorfismo: es decir, el fracaso de los ideales para comportarse como elementos de un anillo, es decir, como números.

• Los anillos${\displaystyle \mathbb {Z} ,\mathbb {Z} [i]}$, y${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$, respectivamente los enteros , los enteros gaussianos y los enteros de Eisenstein , son todos dominios ideales principales (y de hecho son todos dominios euclidianos ), y por lo tanto tienen clase número 1: es decir, tienen grupos de clases ideales triviales.

• Si${\displaystyle K}$es un campo, entonces el anillo de polinomios${\displaystyle K[x_{1},x_{2},x_{3},\dots ]}$es un dominio integral. Tiene un conjunto infinito numerable de clases ideales.

La teoría de cuerpos de clases es una rama de la teoría algebraica de números que busca clasificar todas las extensiones abelianas de un cuerpo numérico algebraico dado, es decir, extensiones de Galois con grupo de Galois abeliano . Un ejemplo particularmente bello se encuentra en el cuerpo de clases de Hilbert de un cuerpo numérico, que puede definirse como la extensión abeliana máxima no ramificada de dicho cuerpo. El cuerpo de clases de Hilbert L de un cuerpo numérico K es único y tiene las siguientes propiedades:

• Todo ideal del anillo de enteros de K se convierte en principal en L , es decir, si I es un ideal entero de K , entonces la imagen de I es un ideal principal en L.
• L es una extensión de Galois de K con grupo de Galois isomorfo al grupo de clases ideales de K.

Ninguna de las dos propiedades es particularmente fácil de probar.

• Fórmula del número de clase
• Problema del número de clases
• Teorema de Brauer-Siegel : una fórmula asintótica para el número de clases
• Lista de campos numéricos con clase número uno
• dominio ideal principal
• Teoría K algebraica
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• Grupo de Picard : una generalización del grupo de clases que aparece en geometría algebraica.
• grupo de clase Arakelov

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