Anillo de Adele

En matemáticas , el anillo de Adele de un cuerpo global (también anillo adélico , anillo de Adele o anillo de Adèles ^[1] ) es un objeto central de la teoría de cuerpos de clase , una rama de la teoría algebraica de números . Es el producto restringido de todas las compleciones del cuerpo global y es un ejemplo de un anillo topológico autodual .

Adele deriva de un tipo particular de idele . "Idele" deriva del francés "idèle" y fue acuñado por el matemático francés Claude Chevalley . La palabra significa 'elemento ideal' (abreviado: id.el.). Adele (en francés: "adèle") significa 'idele aditivo' (es decir, elemento ideal aditivo).

El anillo de adeles permite describir la ley de reciprocidad de Artin , que es una generalización de la reciprocidad cuadrática , y otras leyes de reciprocidad sobre cuerpos finitos . Además, es un teorema clásico de Weil que los fibrados de una curva algebraica sobre un cuerpo finito pueden describirse en términos de adeles para un grupo reductivo . Los adeles también están conectados con los grupos algebraicos adélicos y las curvas adélicas. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

El estudio de la geometría de los números sobre el anillo de Adeles de un cuerpo numérico se denomina geometría adélica .

Sea un cuerpo global (una extensión finita de o el cuerpo funcional de una curva sobre un cuerpo finito). El anillo de Adele de es el subanillo${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbf {Q} }$${\displaystyle X/\mathbf {F_{\mathit {q}}} }$${\displaystyle K}$

${\displaystyle \mathbf {A} _{K}\ =\ \prod (K_{\nu },{\mathcal {O}}_{\nu })\ \subseteq \ \prod K_{\nu }}$

que consiste en las tuplas donde se encuentra en el subanillo para todos los lugares excepto un número finito . Aquí el índice abarca todas las valoraciones del campo global , es la terminación en esa valoración y el anillo de valoración correspondiente . ^[2]${\displaystyle (a_{\nu })}$${\displaystyle a_{\nu }}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\nu }\subset K_{\nu }}$ ${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle K}$${\displaystyle K_{\nu }}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\nu }}$

El anillo de Adeles resuelve el problema técnico de "hacer análisis sobre los números racionales ". La solución clásica era pasar a la completitud métrica estándar y utilizar allí técnicas analíticas. ^{[ aclaración necesaria ]} Pero, como se supo más tarde, hay muchos más valores absolutos además de la distancia euclidiana , uno para cada número primo , tal como lo clasificó Ostrowski . El valor absoluto euclidiano, denotado , es solo uno entre muchos otros, , pero el anillo de Adeles hace posible comprender y utilizar todas las valoraciones a la vez . Esto tiene la ventaja de permitir técnicas analíticas al mismo tiempo que se retiene información sobre los primos, ya que su estructura está incorporada por el producto infinito restringido. ${\displaystyle \mathbf {Q} }$${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle p\in \mathbf {Z} }$${\displaystyle |\cdot |_{\infty }}$${\displaystyle |\cdot |_{p}}$

El propósito del anillo de Adele es observar todas las terminaciones de a la vez. El anillo de Adele se define con el producto restringido, en lugar del producto cartesiano . Hay dos razones para esto: ${\displaystyle K}$

• Para cada elemento, las valoraciones son cero para casi todos los lugares, es decir, para todos los lugares excepto un número finito. Por lo tanto, el campo global puede ser incorporado en el producto restringido.${\displaystyle K}$
• El producto restringido es un espacio localmente compacto , mientras que el producto cartesiano no lo es. Por lo tanto, no puede haber ninguna aplicación del análisis armónico al producto cartesiano. Esto se debe a que la compacidad local asegura la existencia (y unicidad) de la medida de Haar , una herramienta crucial en el análisis de grupos en general.

El producto infinito restringido es una condición técnica requerida para dar al cuerpo numérico una estructura reticular dentro de , lo que hace posible construir una teoría de análisis de Fourier (cf. Análisis armónico ) en el contexto adélico. Esto es análogo a la situación en la teoría de números algebraicos donde el anillo de números enteros de un cuerpo numérico algebraico incrusta${\displaystyle \mathbf {Q} }$${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbf {Q} }}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}\hookrightarrow K}$

como una red. Con el poder de una nueva teoría del análisis de Fourier, Tate pudo demostrar una clase especial de funciones L y que las funciones zeta de Dedekind eran meromórficas en el plano complejo. Otra razón natural de por qué se cumple esta condición técnica se puede ver al construir el anillo de Adeles como un producto tensorial de anillos. Si se define el anillo de Adeles integral como el anillo${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbf {Z} }}$

${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbf {Z} }=\mathbf {R} \times {\hat {\mathbf {Z} }}=\mathbf {R} \times \prod _{p}\mathbf {Z} _{p},}$

Entonces el anillo de adeles se puede definir de manera equivalente como

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} _{\mathbf {Q} }&=\mathbf {Q} \otimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {A} _{\mathbf {Z} }\\&=\mathbf {Q} \otimes _{\mathbf {Z} }\left(\mathbf {R} \times \prod _{p}\mathbf {Z} _{p}\right).\end{aligned}}}$

La estructura del producto restringido se vuelve transparente después de observar los elementos explícitos en este anillo. La imagen de un elemento dentro del producto no restringido es el elemento${\displaystyle b/c\otimes (r,(a_{p}))\in \mathbf {A} _{\mathbf {Q} }}$${\textstyle \mathbf {R} \times \prod _{p}\mathbf {Q} _{p}}$

${\displaystyle \left({\frac {br}{c}},\left({\frac {ba_{p}}{c}}\right)\right).}$

El factor se encuentra en siempre que no sea un factor primo de , lo que es el caso para todos los primos excepto un número finito de . ^[3]${\displaystyle ba_{p}/c}$${\displaystyle \mathbf {Z} _{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle c}$${\displaystyle p}$

El término "idele" ( en francés : idèle ) es una invención del matemático francés Claude Chevalley (1909-1984) y significa "elemento ideal" (abreviado: id.el.). El término "adele" (en francés: adèle ) significa idele aditivo. Por lo tanto, un adele es un elemento ideal aditivo.

Los racionales tienen una valoración para cada número primo , con , y una valoración infinita ∞ con . Por lo tanto, un elemento de ${\displaystyle K={\mathbf {Q}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle (K_{\nu },{\mathcal {O}}_{\nu })=(\mathbf {Q} _{p},\mathbf {Z} _{p})}$${\displaystyle \mathbf {Q} _{\infty }=\mathbf {R} }$

${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbf {Q} }\ =\ \mathbf {R} \times \prod _{p}(\mathbf {Q} _{p},\mathbf {Z} _{p})}$

es un número real junto con un racional p -ádico , cada uno de los cuales, salvo un número finito, son números enteros p -ádicos. ${\displaystyle p}$

En segundo lugar, tomemos el campo de funciones de la línea proyectiva sobre un campo finito. Sus valores corresponden a puntos de , es decir, aplicaciones sobre${\displaystyle K=\mathbf {F} _{q}(\mathbf {P} ^{1})=\mathbf {F} _{q}(t)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X=\mathbf {P} ^{1}}$${\displaystyle {\text{Spec}}\mathbf {F} _{q}}$

${\displaystyle x\ :\ {\text{Spec}}\mathbf {F} _{q^{n}}\ \longrightarrow \ \mathbf {P} ^{1}.}$

Por ejemplo, hay puntos de la forma . En este caso es el tallo completo del haz de estructura en (es decir, funciona en un entorno formal de ) y es su cuerpo de fracciones. Por lo tanto ${\displaystyle q+1}$${\displaystyle {\text{Spec}}\mathbf {F} _{q}\ \longrightarrow \ \mathbf {P} ^{1}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\nu }={\widehat {\mathcal {O}}}_{X,x}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle K_{\nu }=K_{X,x}}$

${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbf {F} _{q}(\mathbf {P} ^{1})}\ =\ \prod _{x\in X}({\mathcal {K}}_{X,x},{\widehat {\mathcal {O}}}_{X,x}).}$

Lo mismo se aplica a cualquier curva propia suave sobre un campo finito, siendo el producto restringido sobre todos los puntos de . ${\displaystyle X/\mathbf {F_{\mathit {q}}} }$${\displaystyle x\in X}$

El grupo de unidades en el anillo de Adele se llama grupo idele.

${\displaystyle I_{K}=\mathbf {A} _{K}^{\times }}$.

El cociente de los ideles por el subgrupo se llama grupo de clase idele.${\displaystyle K^{\times }\subseteq I_{K}}$

${\displaystyle C_{K}\ =\ I_{K}/K^{\times }.}$

Las adeles integrales son el subanillo

${\displaystyle \mathbf {O} _{K}\ =\ \prod O_{\nu }\ \subseteq \ \mathbf {A} _{K}.}$

La ley de reciprocidad de Artin dice que para un campo global , ${\displaystyle K}$

${\displaystyle {\widehat {C_{K}}}={\widehat {\mathbf {A} _{K}^{\times }/K^{\times }}}\ \simeq \ {\text{Gal}}(K^{\text{ab}}/K)}$

donde es la extensión algebraica abeliana máxima de y significa la completitud profinita del grupo. ${\displaystyle K^{ab}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\widehat {(\dots )}}}$

Si es una curva propia suave entonces su grupo de Picard es ^[4]${\displaystyle X/\mathbf {F_{\mathit {q}}} }$

${\displaystyle {\text{Pic}}(X)\ =\ K^{\times }\backslash \mathbf {A} _{X}^{\times }/\mathbf {O} _{X}^{\times }}$

y su grupo divisor es . De manera similar, si es un grupo algebraico semisimple (por ejemplo , también se cumple para ), entonces la uniformización de Weil dice que ^[5]${\displaystyle {\text{Div}}(X)=\mathbf {A} _{X}^{\times }/\mathbf {O} _{X}^{\times }}$${\displaystyle G}$${\textstyle SL_{n}}$${\displaystyle GL_{n}}$

${\displaystyle {\text{Bun}}_{G}(X)\ =\ G(K)\backslash G(\mathbf {A} _{X})/G(\mathbf {O} _{X}).}$

Aplicando esto obtenemos el resultado en el grupo Picard. ${\displaystyle G=\mathbf {G} _{m}}$

Existe una topología en la que el cociente es compacto, lo que permite realizar un análisis armónico sobre ella. John Tate en su tesis "Análisis de Fourier en cuerpos numéricos y funciones zeta de Hecke" ^[6] demostró resultados sobre las funciones L de Dirichlet utilizando el análisis de Fourier sobre el anillo de Adele y el grupo de idele. Por lo tanto, el anillo de Adele y el grupo de idele se han aplicado para estudiar la función zeta de Riemann y funciones zeta más generales y las funciones L. ${\displaystyle \mathbf {A} _{K}}$${\displaystyle \mathbf {A} _{K}/K}$

Si es una curva propia suave sobre los números complejos , se pueden definir las adeles de su campo de funciones exactamente como en el caso de los campos finitos. John Tate demostró ^[7] que la dualidad de Serre en${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbf {C} (X)}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {L}})\ \simeq \ H^{0}(X,\Omega _{X}\otimes {\mathcal {L}}^{-1})^{*}}$

Se puede deducir trabajando con este anillo de Adele . Aquí L es un fibrado lineal en . ${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbf {C} (X)}}$${\displaystyle X}$

En este artículo, es un cuerpo global , lo que significa que es un cuerpo numérico (una extensión finita de ) o un cuerpo de función global (una extensión finita de para primos y ). Por definición, una extensión finita de un cuerpo global es en sí misma un cuerpo global. ${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{r}}(t)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle r\in \mathbb {N} }$

Para una valoración de se puede escribir para la completitud de con respecto a Si es discreto se puede escribir para el anillo de valoración de y para el ideal máximo de Si este es un ideal principal que denota el elemento uniformizador por Una valoración no arquimediana se escribe como o y una valoración arquimediana como Entonces suponga que todas las valoraciones no son triviales. ${\displaystyle v}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K_{v}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle v.}$${\displaystyle v}$${\displaystyle O_{v}}$${\displaystyle K_{v}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{v}}$${\displaystyle O_{v}.}$${\displaystyle \pi _{v}.}$${\displaystyle v<\infty }$${\displaystyle v\nmid \infty }$${\displaystyle v|\infty .}$

Existe una identificación uno a uno de las valoraciones y los valores absolutos. Fijando una constante , se le asigna el valor absoluto definido como: ${\displaystyle C>1,}$${\displaystyle v}$${\displaystyle |\cdot |_{v},}$

${\displaystyle \forall x\in K:\quad |x|_{v}:={\begin{cases}C^{-v(x)}&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}}}$

Por el contrario, al valor absoluto se le asigna la valoración definida como: ${\displaystyle |\cdot |}$${\displaystyle v_{|\cdot |},}$

${\displaystyle \forall x\in K^{\times }:\quad v_{|\cdot |}(x):=-\log _{C}(|x|).}$

Un lugar de es un representante de una clase de equivalencia de valoraciones (o valores absolutos) de Los lugares correspondientes a valoraciones no arquimedianas se denominan finitos , mientras que los lugares correspondientes a valoraciones arquimedianas se denominan infinitos . Los lugares infinitos de un cuerpo global forman un conjunto finito, que se denota por${\displaystyle K}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle P_{\infty }.}$

Defina y sea su grupo de unidades. Entonces${\displaystyle \textstyle {\widehat {O}}:=\prod _{v<\infty }O_{v}}$${\displaystyle {\widehat {O}}^{\times }}$${\displaystyle \textstyle {\widehat {O}}^{\times }=\prod _{v<\infty }O_{v}^{\times }.}$

Sea una extensión finita del campo global Sea un lugar de y un lugar de Si el valor absoluto restringido a está en la clase de equivalencia de , entonces se encuentra por encima de lo cual se denota por y se define como: ${\displaystyle L/K}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle w}$${\displaystyle L}$${\displaystyle v}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle |\cdot |_{w}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle v}$${\displaystyle w}$${\displaystyle v,}$${\displaystyle w|v,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{v}&:=\prod _{w|v}L_{w},\\{\widetilde {O_{v}}}&:=\prod _{w|v}O_{w}.\end{aligned}}}$

(Tenga en cuenta que ambos productos son finitos).

Si , se puede incrustar en Por lo tanto, se incrusta diagonalmente en Con esta incrustación es un álgebra conmutativa sobre con grado ${\displaystyle w|v}$${\displaystyle K_{v}}$${\displaystyle L_{w}.}$${\displaystyle K_{v}}$${\displaystyle L_{v}.}$${\displaystyle L_{v}}$${\displaystyle K_{v}}$

${\displaystyle \sum _{w|v}[L_{w}:K_{v}]=[L:K].}$

El conjunto de adeles finitos de un cuerpo global${\displaystyle K,}$ denotado se define como el producto restringido de con respecto a${\displaystyle \mathbb {A} _{K,{\text{fin}}},}$${\displaystyle K_{v}}$${\displaystyle O_{v}:}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{K,{\text{fin}}}:={\prod _{v<\infty }}^{'}K_{v}=\left\{\left.(x_{v})_{v}\in \prod _{v<\infty }K_{v}\right|x_{v}\in O_{v}{\text{ for almost all }}v\right\}.}$

Está equipado con la topología de producto restringida, la topología generada por rectángulos abiertos restringidos, que tienen la siguiente forma:

${\displaystyle U=\prod _{v\in E}U_{v}\times \prod _{v\notin E}O_{v}\subset {\prod _{v<\infty }}^{'}K_{v},}$

donde es un conjunto finito de lugares (finitos) y son abiertos. Con la adición y multiplicación de componentes también es un anillo. ${\displaystyle E}$${\displaystyle U_{v}\subset K_{v}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K,{\text{fin}}}}$

El anillo de Adele de un cuerpo global se define como el producto de por el producto de las terminaciones de en sus lugares infinitos. El número de lugares infinitos es finito y las terminaciones son o En resumen: ${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K,{\text{fin}}}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} .}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}:=\mathbb {A} _{K,{\text{fin}}}\times \prod _{v|\infty }K_{v}={\prod _{v<\infty }}^{'}K_{v}\times \prod _{v|\infty }K_{v}.}$

Con la suma y la multiplicación definidas por componentes, el anillo de Adele es un anillo. Los elementos del anillo de Adele se denominan adeles de.${\displaystyle K.}$ A continuación, se escribe como

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}={\prod _{v}}^{'}K_{v},}$

Aunque por lo general no se trata de un producto restringido.

Observación. Los campos de funciones globales no tienen lugares infinitos y, por lo tanto, el anillo de Adele finito es igual al anillo de Adele.

Lema. Existe una incrustación natural de en dada por la función diagonal:${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$${\displaystyle a\mapsto (a,a,\ldots ).}$

Demostración. Si entonces para casi todos Esto muestra que el mapa está bien definido. También es inyectivo porque la incrustación de en es inyectiva para todos${\displaystyle a\in K,}$${\displaystyle a\in O_{v}^{\times }}$${\displaystyle v.}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K_{v}}$${\displaystyle v.}$

Observación. Al identificarse con su imagen bajo el mapa diagonal se considera un subanillo de Los elementos de se denominan adeles principales de${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}.}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}.}$

Definición. Sea un conjunto de lugares de Defina el conjunto de los -adeles de como ${\displaystyle S}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{K,S}:={\prod _{v\in S}}^{'}K_{v}.}$

Además, si

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{S}:={\prod _{v\notin S}}^{'}K_{v}}$

El resultado es:${\displaystyle \mathbb {A} _{K}=\mathbb {A} _{K,S}\times \mathbb {A} _{K}^{S}.}$

Por el teorema de Ostrowski los lugares de son es posible identificar un primo con la clase de equivalencia del valor absoluto -ádico y con la clase de equivalencia del valor absoluto definido como: ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \{p\in \mathbb {N} :p{\text{ prime}}\}\cup \{\infty \},}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle |\cdot |_{\infty }}$

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {Q} :\quad |x|_{\infty }:={\begin{cases}x&x\geq 0\\-x&x<0\end{cases}}}$

La terminación con respecto al lugar es con anillo de valoración Para el lugar la terminación es Así: ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle \mathbb {R} .}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}&={\prod _{p<\infty }}^{'}\mathbb {Q} _{p}\\\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }&=\left({\prod _{p<\infty }}^{'}\mathbb {Q} _{p}\right)\times \mathbb {R} \end{aligned}}}$

O para abreviar

${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }={\prod _{p\leq \infty }}^{'}\mathbb {Q} _{p},\qquad \mathbb {Q} _{\infty }:=\mathbb {R} .}$

La diferencia entre la topología de producto restringida y no restringida se puede ilustrar utilizando una secuencia en : ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$

Lema. Considérese la siguiente secuencia en : ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=\left({\frac {1}{2}},1,1,\ldots \right)\\x_{2}&=\left(1,{\frac {1}{3}},1,\ldots \right)\\x_{3}&=\left(1,1,{\frac {1}{5}},1,\ldots \right)\\x_{4}&=\left(1,1,1,{\frac {1}{7}},1,\ldots \right)\\&\vdots \end{aligned}}}$

En la topología del producto esto converge a , pero no converge en absoluto en la topología del producto restringida.${\displaystyle (1,1,\ldots )}$

Demostración. En la topología de producto la convergencia corresponde a la convergencia en cada coordenada, lo cual es trivial porque las sucesiones se vuelven estacionarias. La sucesión no converge en la topología de producto restringida. Para cada adele y para cada rectángulo abierto restringido tiene: para y por lo tanto para todos Como resultado para casi todos En esta consideración, y son subconjuntos finitos del conjunto de todos los lugares. ${\displaystyle a=(a_{p})_{p}\in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$${\displaystyle \textstyle U=\prod _{p\in E}U_{p}\times \prod _{p\notin E}\mathbb {Z} _{p},}$${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}-a_{p}\notin \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle a_{p}\in \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}-a_{p}\notin \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle p\notin F.}$${\displaystyle x_{n}-a\notin U}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$

Definición ( enteros profinitos ). Los enteros profinitos se definen como la completitud profinita de los anillos con el orden parcial , es decir, ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$${\displaystyle n\geq m\Leftrightarrow m|n,}$

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}:=\varprojlim _{n}\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,}$

Lema. ${\displaystyle \textstyle {\widehat {\mathbb {Z} }}\cong \prod _{p}\mathbb {Z} _{p}.}$

Demostración. Esto se deduce del teorema del resto chino .

Lema. ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}={\widehat {\mathbb {Z} }}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} .}$

Demostración. Utilice la propiedad universal del producto tensorial. Defina una función bilineal. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle {\begin{cases}\Psi :{\widehat {\mathbb {Z} }}\times \mathbb {Q} \to \mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}\\\left((a_{p})_{p},q\right)\mapsto (a_{p}q)_{p}\end{cases}}}$

Esto está bien definido porque para un dado con coprimo solo hay un número finito de primos que dividen Sea otro -módulo con una función -bilineal Debe darse el caso de que se factorice de manera única, es decir, existe una función -lineal única tal que se puede definir de la siguiente manera: para un dado existen y tales que para todo Definir Se puede demostrar que está bien definido, es -lineal, satisface y es único con estas propiedades. ${\displaystyle q={\tfrac {m}{n}}\in \mathbb {Q} }$${\displaystyle m,n}$${\displaystyle n.}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \Phi :{\widehat {\mathbb {Z} }}\times \mathbb {Q} \to M.}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle {\tilde {\Phi }}:\mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}\to M}$${\displaystyle \Phi ={\tilde {\Phi }}\circ \Psi .}$ ${\displaystyle {\tilde {\Phi }}}$${\displaystyle (u_{p})_{p}}$${\displaystyle u\in \mathbb {N} }$${\displaystyle (v_{p})_{p}\in {\widehat {\mathbb {Z} }}}$${\displaystyle u_{p}={\tfrac {1}{u}}\cdot v_{p}}$${\displaystyle p.}$${\displaystyle {\tilde {\Phi }}((u_{p})_{p}):=\Phi ((v_{p})_{p},{\tfrac {1}{u}}).}$${\displaystyle {\tilde {\Phi }}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \Phi ={\tilde {\Phi }}\circ \Psi }$

Corolario. Definir Esto da como resultado un isomorfismo algebraico.${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }:={\widehat {\mathbb {Z} }}\times \mathbb {R} .}$${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\cong \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} .}$

Prueba. ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} =\left({\widehat {\mathbb {Z} }}\times \mathbb {R} \right)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \cong \left({\widehat {\mathbb {Z} }}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \right)\times (\mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )\cong \left({\widehat {\mathbb {Z} }}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \right)\times \mathbb {R} =\mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}\times \mathbb {R} =\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }.}$

Lema. Para un cuerpo de números${\displaystyle K,\mathbb {A} _{K}=\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\otimes _{\mathbb {Q} }K.}$

Observación. Utilizando donde hay sumandos, se obtiene el lado derecho de la topología del producto y se transporta esta topología a través del isomorfismo.${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\otimes _{\mathbb {Q} }K\cong \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\oplus \dots \oplus \mathbb {A} _{\mathbb {Q} },}$${\displaystyle [K:\mathbb {Q} ]}$${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\otimes _{\mathbb {Q} }K.}$

Si es una extensión finita, entonces es un cuerpo global. Por lo tanto , se define y se puede identificar con un subgrupo de Mapa a donde para Entonces está en el subgrupo si para y para todos los que se encuentran por encima del mismo lugar de${\displaystyle L/K}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \mathbb {A} _{L}}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {A} _{L}={\prod _{v}}^{'}L_{v}.}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{L}.}$${\displaystyle a=(a_{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}}$${\displaystyle a'=(a'_{w})_{w}\in \mathbb {A} _{L}}$${\displaystyle a'_{w}=a_{v}\in K_{v}\subset L_{w}}$${\displaystyle w|v.}$${\displaystyle a=(a_{w})_{w}\in \mathbb {A} _{L}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K},}$${\displaystyle a_{w}\in K_{v}}$${\displaystyle w|v}$${\displaystyle a_{w}=a_{w'}}$${\displaystyle w,w'}$${\displaystyle v}$${\displaystyle K.}$

Lema. Si es una extensión finita, entonces tanto algebraica como topológicamente.${\displaystyle L/K}$${\displaystyle \mathbb {A} _{L}\cong \mathbb {A} _{K}\otimes _{K}L}$

Con la ayuda de este isomorfismo, la inclusión viene dada por ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}\subset \mathbb {A} _{L}}$

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {A} _{K}\to \mathbb {A} _{L}\\\alpha \mapsto \alpha \otimes _{K}1\end{cases}}}$

Además, los principales adeles en se pueden identificar con un subgrupo de principales adeles en a través del mapa ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{L}}$

${\displaystyle {\begin{cases}K\to (K\otimes _{K}L)\cong L\\\alpha \mapsto 1\otimes _{K}\alpha \end{cases}}}$

Demostración. ^[8] Sea una base de sobre Entonces para casi todos${\displaystyle \omega _{1},\ldots ,\omega _{n}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle v,}$

${\displaystyle {\widetilde {O_{v}}}\cong O_{v}\omega _{1}\oplus \cdots \oplus O_{v}\omega _{n}.}$

Además, existen los siguientes isomorfismos:

${\displaystyle K_{v}\omega _{1}\oplus \cdots \oplus K_{v}\omega _{n}\cong K_{v}\otimes _{K}L\cong L_{v}=\prod \nolimits _{w|v}L_{w}}$

Para el segundo uso del mapa:

${\displaystyle {\begin{cases}K_{v}\otimes _{K}L\to L_{v}\\\alpha _{v}\otimes a\mapsto (\alpha _{v}\cdot (\tau _{w}(a)))_{w}\end{cases}}}$

en el que está la incrustación canónica y El producto restringido se toma en ambos lados con respecto a${\displaystyle \tau _{w}:L\to L_{w}}$${\displaystyle w|v.}$${\displaystyle {\widetilde {O_{v}}}:}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {A} _{K}\otimes _{K}L&=\left({\prod _{v}}^{'}K_{v}\right)\otimes _{K}L\\&\cong {\prod _{v}}^{'}(K_{v}\omega _{1}\oplus \cdots \oplus K_{v}\omega _{n})\\&\cong {\prod _{v}}^{'}(K_{v}\otimes _{K}L)\\&\cong {\prod _{v}}^{'}L_{v}\\&=\mathbb {A} _{L}\end{aligned}}}$

Corolario. Como grupos aditivos donde el lado derecho tiene sumandos.${\displaystyle \mathbb {A} _{L}\cong \mathbb {A} _{K}\oplus \cdots \oplus \mathbb {A} _{K},}$${\displaystyle [L:K]}$

El conjunto de adeles principales en se identifica con el conjunto donde el lado izquierdo tiene sumandos y se considera como un subconjunto de${\displaystyle \mathbb {A} _{L}}$${\displaystyle K\oplus \cdots \oplus K,}$${\displaystyle [L:K]}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}.}$

Lema. Supongamos que hay un conjunto finito de lugares de y define ${\displaystyle P\supset P_{\infty }}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P):=\prod _{v\in P}K_{v}\times \prod _{v\notin P}O_{v}.}$

Equipar con la topología del producto y definir la adición y la multiplicación por componentes. Entonces se obtiene un anillo topológico localmente compacto.${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P)}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P)}$

Observación. Si es otro conjunto finito de lugares que contienen entonces es un subanillo abierto de${\displaystyle P'}$${\displaystyle K}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P)}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P').}$

Ahora se puede presentar una caracterización alternativa del anillo de Adele. El anillo de Adele es la unión de todos los conjuntos : ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P)}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}=\bigcup _{P\supset P_{\infty },|P|<\infty }\mathbb {A} _{K}(P).}$

Equivalentemente es el conjunto de todos de modo que para casi todos La topología de se induce por el requisito de que todos sean subanillos abiertos de Por lo tanto, es un anillo topológico localmente compacto. ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$${\displaystyle x=(x_{v})_{v}}$${\displaystyle |x_{v}|_{v}\leq 1}$${\displaystyle v<\infty .}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P)}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}.}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$

Fijar un lugar de Sea un conjunto finito de lugares de que contienen y Definir ${\displaystyle v}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle P}$${\displaystyle K,}$${\displaystyle v}$${\displaystyle P_{\infty }.}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}'(P,v):=\prod _{w\in P\setminus \{v\}}K_{w}\times \prod _{w\notin P}O_{w}.}$

Entonces:

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P)\cong K_{v}\times \mathbb {A} _{K}'(P,v).}$

Además, definir

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}'(v):=\bigcup _{P\supset P_{\infty }\cup \{v\}}\mathbb {A} _{K}'(P,v),}$

donde recorre todos los conjuntos finitos que contienen Entonces: ${\displaystyle P}$${\displaystyle P_{\infty }\cup \{v\}.}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}\cong K_{v}\times \mathbb {A} _{K}'(v),}$

a través del mapa Todo el procedimiento anterior se cumple con un subconjunto finito en lugar de${\displaystyle (a_{w})_{w}\mapsto (a_{v},(a_{w})_{w\neq v}).}$${\displaystyle {\widetilde {P}}}$${\displaystyle \{v\}.}$

Por construcción hay una incrustación natural: Además, existe una proyección natural${\displaystyle \mathbb {A} _{K}'(v),}$${\displaystyle K_{v}\hookrightarrow \mathbb {A} _{K}.}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}\twoheadrightarrow K_{v}.}$

Sea un espacio vectorial de dimensión finita sobre y una base para sobre Para cada lugar de : ${\displaystyle E}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \{\omega _{1},\ldots ,\omega _{n}\}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle v}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{v}&:=E\otimes _{K}K_{v}\cong K_{v}\omega _{1}\oplus \cdots \oplus K_{v}\omega _{n}\\{\widetilde {O_{v}}}&:=O_{v}\omega _{1}\oplus \cdots \oplus O_{v}\omega _{n}\end{aligned}}}$

El anillo de adele se define como ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{E}:={\prod _{v}}^{'}E_{v}.}$

Esta definición se basa en la descripción alternativa del anillo de Adele como un producto tensorial equipado con la misma topología que se definió al dar una definición alternativa de anillo de Adele para cuerpos numéricos. A continuación, está equipado con la topología de producto restringida. Luego , y se incorpora de forma natural a través del mapa${\displaystyle \mathbb {A} _{E}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{E}=E\otimes _{K}\mathbb {A} _{K}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbb {A} _{E}}$${\displaystyle e\mapsto e\otimes 1.}$

Se puede proporcionar una definición alternativa de la topología en . Considere todos los mapas lineales: Utilizando las incrustaciones naturales y extendiendo estos mapas lineales a: La topología en es la topología más burda para la cual todas estas extensiones son continuas. ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}}$${\displaystyle E\to K.}$${\displaystyle E\to \mathbb {A} _{E}}$${\displaystyle K\to \mathbb {A} _{K},}$${\displaystyle \mathbb {A} _{E}\to \mathbb {A} _{K}.}$${\displaystyle \mathbb {A} _{E}}$

La topología se puede definir de otra manera. Fijar una base para sobre da como resultado un isomorfismo Por lo tanto, fijar una base induce un isomorfismo El lado izquierdo se suministra con la topología del producto y transporta esta topología con el isomorfismo al lado derecho. La topología no depende de la elección de la base, porque otra base define un segundo isomorfismo. Al componer ambos isomorfismos, se obtiene un homeomorfismo lineal que transfiere las dos topologías entre sí. Más formalmente ${\displaystyle E}$${\displaystyle K}$${\displaystyle E\cong K^{n}.}$${\displaystyle (\mathbb {A} _{K})^{n}\cong \mathbb {A} _{E}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {A} _{E}&=E\otimes _{K}\mathbb {A} _{K}\\&\cong (K\otimes _{K}\mathbb {A} _{K})\oplus \cdots \oplus (K\otimes _{K}\mathbb {A} _{K})\\&\cong \mathbb {A} _{K}\oplus \cdots \oplus \mathbb {A} _{K}\end{aligned}}}$

donde las sumas tienen sumandos. En el caso de que la definición anterior sea consistente con los resultados sobre el anillo de Adele de una extensión finita${\displaystyle n}$${\displaystyle E=L,}$${\displaystyle L/K.}$

^[9]

Sea un álgebra de dimensión finita sobre En particular, es un espacio vectorial de dimensión finita sobre Como consecuencia, se define y Dado que hay una multiplicación sobre y una multiplicación sobre se puede definir mediante: ${\displaystyle A}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle \mathbb {A} _{A}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{A}\cong \mathbb {A} _{K}\otimes _{K}A.}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle \mathbb {A} _{A}}$

${\displaystyle \forall \alpha ,\beta \in \mathbb {A} _{K}{\text{ and }}\forall a,b\in A:\qquad (\alpha \otimes _{K}a)\cdot (\beta \otimes _{K}b):=(\alpha \beta )\otimes _{K}(ab).}$

En consecuencia, es un álgebra con una unidad sobre Sea un subconjunto finito de que contiene una base para sobre Para cualquier lugar finito , se define como el -módulo generado por en Para cada conjunto finito de lugares, defina ${\displaystyle \mathbb {A} _{A}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle v}$${\displaystyle M_{v}}$${\displaystyle O_{v}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle A_{v}.}$${\displaystyle P\supset P_{\infty },}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{A}(P,\alpha )=\prod _{v\in P}A_{v}\times \prod _{v\notin P}M_{v}.}$

Se puede demostrar que hay un conjunto finito tal que es un subanillo abierto de si Además es la unión de todos estos subanillos y para la definición anterior es consistente con la definición del anillo de Adele. ${\displaystyle P_{0},}$${\displaystyle \mathbb {A} _{A}(P,\alpha )}$${\displaystyle \mathbb {A} _{A},}$${\displaystyle P\supset P_{0}.}$${\displaystyle \mathbb {A} _{A}}$${\displaystyle A=K,}$

Sea una extensión finita. Como y del Lema anterior, se puede interpretar como un subanillo cerrado de Para esta incrustación, escriba . Explícitamente para todos los lugares de arriba y para cualquier${\displaystyle L/K}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}=\mathbb {A} _{K}\otimes _{K}K}$${\displaystyle \mathbb {A} _{L}=\mathbb {A} _{K}\otimes _{K}L}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{L}.}$${\displaystyle \operatorname {con} _{L/K}}$${\displaystyle w}$${\displaystyle L}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \alpha \in \mathbb {A} _{K},(\operatorname {con} _{L/K}(\alpha ))_{w}=\alpha _{v}\in K_{v}.}$

Sea una torre de campos globales. Entonces: ${\displaystyle M/L/K}$

${\displaystyle \operatorname {con} _{M/K}(\alpha )=\operatorname {con} _{M/L}(\operatorname {con} _{L/K}(\alpha ))\qquad \forall \alpha \in \mathbb {A} _{K}.}$

Además, restringida a los principales adeles está la inyección natural.${\displaystyle \operatorname {con} }$${\displaystyle K\to L.}$

Sea una base de la extensión del campo . Entonces cada uno puede escribirse como donde son únicos. La función es continua. Defina en función de mediante las ecuaciones: ${\displaystyle \{\omega _{1},\ldots ,\omega _{n}\}}$${\displaystyle L/K.}$${\displaystyle \alpha \in \mathbb {A} _{L}}$${\displaystyle \textstyle \sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}\omega _{j},}$${\displaystyle \alpha _{j}\in \mathbb {A} _{K}}$${\displaystyle \alpha \mapsto \alpha _{j}}$${\displaystyle \alpha _{ij}}$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha \omega _{1}&=\sum _{j=1}^{n}\alpha _{1j}\omega _{j}\\&\vdots \\\alpha \omega _{n}&=\sum _{j=1}^{n}\alpha _{nj}\omega _{j}\end{aligned}}}$

Ahora, defina la traza y la norma de como: ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )&:=\operatorname {Tr} ((\alpha _{ij})_{i,j})=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{ii}\\N_{L/K}(\alpha )&:=N((\alpha _{ij})_{i,j})=\det((\alpha _{ij})_{i,j})\end{aligned}}}$

Estos son la traza y el determinante del mapa lineal.

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {A} _{L}\to \mathbb {A} _{L}\\x\mapsto \alpha x\end{cases}}}$

Son mapas continuos sobre el anillo de Adele, y cumplen las ecuaciones habituales:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha +\beta )&=\operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )+\operatorname {Tr} _{L/K}(\beta )&&\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {A} _{L}\\\operatorname {Tr} _{L/K}(\operatorname {con} (\alpha ))&=n\alpha &&\forall \alpha \in \mathbb {A} _{K}\\N_{L/K}(\alpha \beta )&=N_{L/K}(\alpha )N_{L/K}(\beta )&&\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {A} _{L}\\N_{L/K}(\operatorname {con} (\alpha ))&=\alpha ^{n}&&\forall \alpha \in \mathbb {A} _{K}\end{aligned}}}$

Además, para y son idénticos a la traza y la norma de la extensión del campo. Para una torre de campos el resultado es: ${\displaystyle \alpha \in L,}$${\displaystyle \operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )}$${\displaystyle N_{L/K}(\alpha )}$${\displaystyle L/K.}$${\displaystyle M/L/K,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Tr} _{L/K}(\operatorname {Tr} _{M/L}(\alpha ))&=\operatorname {Tr} _{M/K}(\alpha )&&\forall \alpha \in \mathbb {A} _{M}\\N_{L/K}(N_{M/L}(\alpha ))&=N_{M/K}(\alpha )&&\forall \alpha \in \mathbb {A} _{M}\end{aligned}}}$

Además, se puede demostrar que: ^[10]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )&=\left(\sum _{w|v}\operatorname {Tr} _{L_{w}/K_{v}}(\alpha _{w})\right)_{v}&&\forall \alpha \in \mathbb {A} _{L}\\N_{L/K}(\alpha )&=\left(\prod _{w|v}N_{L_{w}/K_{v}}(\alpha _{w})\right)_{v}&&\forall \alpha \in \mathbb {A} _{L}\end{aligned}}}$

Teorema. ^[11] Para cada conjunto de lugares existe un anillo topológico localmente compacto.${\displaystyle S,\mathbb {A} _{K,S}}$

Observación. El resultado anterior también es válido para el anillo de Adele de espacios vectoriales y álgebras sobre${\displaystyle K.}$

Teorema. ^[12] es discreto y cocompacto en En particular, es cerrado en${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}.}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}.}$

Demostración. Demuestre el caso. Para demostrar que es discreto, basta con demostrar la existencia de un entorno que no contenga ningún otro número racional. El caso general se deduce por traducción. Defina ${\displaystyle K=\mathbb {Q} .}$${\displaystyle \mathbb {Q} \subset \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$${\displaystyle 0}$

${\displaystyle U:=\left\{(\alpha _{p})_{p}\left|\forall p<\infty :|\alpha _{p}|_{p}\leq 1\quad {\text{and}}\quad |\alpha _{\infty }|_{\infty }<1\right.\right\}={\widehat {\mathbb {Z} }}\times (-1,1).}$

${\displaystyle U}$es un vecindario abierto de Se afirma que Sea entonces y para todos y por lo tanto Adicionalmente, y por lo tanto A continuación, para mostrar compacidad, defina: ${\displaystyle 0\in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }.}$${\displaystyle U\cap \mathbb {Q} =\{0\}.}$${\displaystyle \beta \in U\cap \mathbb {Q} ,}$${\displaystyle \beta \in \mathbb {Q} }$${\displaystyle |\beta |_{p}\leq 1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \beta \in \mathbb {Z} .}$${\displaystyle \beta \in (-1,1)}$${\displaystyle \beta =0.}$

${\displaystyle W:=\left\{(\alpha _{p})_{p}\left|\forall p<\infty :|\alpha _{p}|_{p}\leq 1\quad {\text{and}}\quad |\alpha _{\infty }|_{\infty }\leq {\frac {1}{2}}\right.\right\}={\widehat {\mathbb {Z} }}\times \left[-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right].}$

Cada elemento en tiene un representante en que es para cada existe tal que Sea arbitrario y sea un primo para el cual Entonces existe con y Reemplazar con y sea otro primo. Entonces: ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Q} }$${\displaystyle W,}$${\displaystyle \alpha \in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} },}$${\displaystyle \beta \in \mathbb {Q} }$${\displaystyle \alpha -\beta \in W.}$${\displaystyle \alpha =(\alpha _{p})_{p}\in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} },}$${\displaystyle p}$${\displaystyle |\alpha _{p}|>1.}$${\displaystyle r_{p}=z_{p}/p^{x_{p}}}$${\displaystyle z_{p}\in \mathbb {Z} ,x_{p}\in \mathbb {N} }$${\displaystyle |\alpha _{p}-r_{p}|\leq 1.}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha -r_{p}}$${\displaystyle q\neq p}$

${\displaystyle \left|\alpha _{q}-r_{p}\right|_{q}\leq \max \left\{|a_{q}|_{q},|r_{p}|_{q}\right\}\leq \max \left\{|a_{q}|_{q},1\right\}\leq 1.}$

A continuación, se puede afirmar que:

${\displaystyle |\alpha _{q}-r_{p}|_{q}\leq 1\Longleftrightarrow |\alpha _{q}|_{q}\leq 1.}$

La implicación inversa es trivialmente verdadera. La implicación es verdadera, porque los dos términos de la desigualdad triangular fuerte son iguales si los valores absolutos de ambos enteros son diferentes. Como consecuencia, el conjunto (finito) de primos para los cuales los componentes de no están en se reduce en 1. Con la iteración, se puede deducir que existe tal que Ahora seleccione tal que Entonces La proyección continua es sobreyectiva, por lo tanto, como imagen continua de un conjunto compacto, es compacto. ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle r\in \mathbb {Q} }$${\displaystyle \alpha -r\in {\widehat {\mathbb {Z} }}\times \mathbb {R} .}$${\displaystyle s\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle \alpha _{\infty }-r-s\in \left[-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right].}$${\displaystyle \alpha -(r+s)\in W.}$${\displaystyle \pi :W\to \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Q} ,}$

Corolario. Sea un espacio vectorial de dimensión finita sobre Entonces es discreto y cocompacto en${\displaystyle E}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbb {A} _{E}.}$

Teorema. Se supone lo siguiente:

• ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }=\mathbb {Q} +\mathbb {A} _{\mathbb {Z} }.}$
• ${\displaystyle \mathbb {Z} =\mathbb {Q} \cap \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }.}$
• ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Z} }$es un grupo divisible . ^[13]
• ${\displaystyle \mathbb {Q} \subset \mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}}$Es denso.

Demostración. Las dos primeras ecuaciones se pueden demostrar de forma elemental.

Por definición es divisible si para cualquier y la ecuación tiene solución. Basta con mostrar que es divisible pero esto es cierto ya que es un campo con característica positiva en cada coordenada. ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Z} }$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle y\in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Z} }$${\displaystyle nx=y}$${\displaystyle x\in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Z} .}$${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$

Para la última afirmación, tenga en cuenta que debido a que el número finito de denominadores en las coordenadas de los elementos de se puede alcanzar a través de un elemento , en consecuencia, es suficiente mostrar que es denso, es decir, cada subconjunto abierto contiene un elemento de Sin pérdida de generalidad, se puede suponer que ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}=\mathbb {Q} {\widehat {\mathbb {Z} }},}$${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}}$${\displaystyle q\in \mathbb {Q} .}$${\displaystyle \mathbb {Z} \subset {\widehat {\mathbb {Z} }}}$${\displaystyle V\subset {\widehat {\mathbb {Z} }}}$${\displaystyle \mathbb {Z} .}$

${\displaystyle V=\prod _{p\in E}\left(a_{p}+p^{l_{p}}\mathbb {Z} _{p}\right)\times \prod _{p\notin E}\mathbb {Z} _{p},}$

porque es un sistema de vecindad de en Por el Teorema del Resto Chino existe tal que Dado que las potencias de primos distintos son coprimos, se deduce. ${\displaystyle (p^{m}\mathbb {Z} _{p})_{m\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}$${\displaystyle l\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle l\equiv a_{p}{\bmod {p}}^{l_{p}}.}$${\displaystyle l\in V}$

Observación. no es unívocamente divisible. Sea y dado. Entonces ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Z} }$${\displaystyle y=(0,0,\ldots )+\mathbb {Z} \in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Z} }$${\displaystyle n\geq 2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=(0,0,\ldots )+\mathbb {Z} \\x_{2}&=\left({\tfrac {1}{n}},{\tfrac {1}{n}},\ldots \right)+\mathbb {Z} \end{aligned}}}$

Ambos satisfacen la ecuación y claramente ( está bien definido, porque sólo un número finito de primos dividen a ). En este caso, ser únicamente divisible es equivalente a estar libre de torsión, lo que no es cierto para ya que pero y${\displaystyle nx=y}$${\displaystyle x_{1}\neq x_{2}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Z} }$${\displaystyle nx_{2}=0,}$${\displaystyle x_{2}\neq 0}$${\displaystyle n\neq 0.}$

Observación. El cuarto enunciado es un caso especial del teorema de aproximación fuerte.

Definición. Una función se llama simple si donde son medibles y para casi todos${\displaystyle f:\mathbb {A} _{K}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle \textstyle f=\prod _{v}f_{v},}$${\displaystyle f_{v}:K_{v}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle f_{v}=\mathbf {1} _{O_{v}}}$${\displaystyle v.}$

Teorema. ^[14] Como es un grupo localmente compacto con adición, existe una medida de Haar aditiva en Esta medida se puede normalizar de modo que toda función simple integrable satisfaga: ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$${\displaystyle dx}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}.}$${\displaystyle \textstyle f=\prod _{v}f_{v}}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {A} _{K}}f\,dx=\prod _{v}\int _{K_{v}}f_{v}\,dx_{v},}$

donde para es la medida de tal que tiene medida unitaria y es la medida de Lebesgue. El producto es finito, es decir, casi todos los factores son iguales a uno.${\displaystyle v<\infty ,dx_{v}}$${\displaystyle K_{v}}$${\displaystyle O_{v}}$${\displaystyle dx_{\infty }}$

Definición. Defina el grupo ideal de${\displaystyle K}$ como el grupo de unidades del anillo ideal de que es Los elementos del grupo ideal se denominan ideal de${\displaystyle K,}$${\displaystyle I_{K}:=\mathbb {A} _{K}^{\times }.}$${\displaystyle K.}$

Observación. está equipado con una topología de modo que se convierte en un grupo topológico. La topología de subconjunto heredada de no es un candidato adecuado ya que el grupo de unidades de un anillo topológico equipado con topología de subconjunto puede no ser un grupo topológico. Por ejemplo, la función inversa en no es continua. La secuencia ${\displaystyle I_{K}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=(2,1,\ldots )\\x_{2}&=(1,3,1,\ldots )\\x_{3}&=(1,1,5,1,\ldots )\\&\vdots \end{aligned}}}$

converge a Para ver esto, sea vecindad de sin pérdida de generalidad, se puede suponer: ${\displaystyle 1\in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }.}$${\displaystyle U}$${\displaystyle 0,}$

${\displaystyle U=\prod _{p\leq N}U_{p}\times \prod _{p>N}\mathbb {Z} _{p}}$

Dado que para todos es suficientemente grande. Sin embargo, como se vio anteriormente, la inversa de esta secuencia no converge en${\displaystyle (x_{n})_{p}-1\in \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle x_{n}-1\in U}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }.}$

Lema. Sea un anillo topológico. Definir: ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\begin{cases}\iota :R^{\times }\to R\times R\\x\mapsto (x,x^{-1})\end{cases}}}$

Equipado con la topología inducida a partir del producto en topología en y es un grupo topológico y el mapa de inclusión es continuo. Es la topología más burda, que surge de la topología en que forma un grupo topológico.${\displaystyle R\times R}$${\displaystyle \iota ,R^{\times }}$${\displaystyle R^{\times }\subset R}$${\displaystyle R,}$${\displaystyle R^{\times }}$

Demostración. Como es un anillo topológico, basta con demostrar que la función inversa es continua. Sea abierto, entonces es abierto. Es necesario demostrar que es abierto o, equivalentemente, que es abierto. Pero esta es la condición anterior. ${\displaystyle R}$${\displaystyle U\subset R^{\times }}$${\displaystyle U\times U^{-1}\subset R\times R}$${\displaystyle U^{-1}\subset R^{\times }}$${\displaystyle U^{-1}\times (U^{-1})^{-1}=U^{-1}\times U\subset R\times R}$

El grupo ideal está equipado con la topología definida en el Lema, lo que lo convierte en un grupo topológico.

Definición. Para un subconjunto de lugares del conjunto:${\displaystyle S}$${\displaystyle K}$${\displaystyle I_{K,S}:=\mathbb {A} _{K,S}^{\times },I_{K}^{S}:=(\mathbb {A} _{K}^{S})^{\times }.}$

Lema. Se cumplen las siguientes identidades de grupos topológicos:

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{K,S}&={\prod _{v\in S}}^{'}K_{v}^{\times }\\I_{K}^{S}&={\prod _{v\notin S}}^{'}K_{v}^{\times }\\I_{K}&={\prod _{v}}^{'}K_{v}^{\times }\end{aligned}}}$

donde el producto restringido tiene la topología de producto restringido, que se genera mediante rectángulos abiertos restringidos de la forma

${\displaystyle \prod _{v\in E}U_{v}\times \prod _{v\notin E}O_{v}^{\times },}$

donde es un subconjunto finito del conjunto de todos los lugares y son conjuntos abiertos.${\displaystyle E}$${\displaystyle U_{v}\subset K_{v}^{\times }}$

Demostración. Demuestre la identidad de ; las otras dos se deducen de manera similar. Primero, demuestre que los dos conjuntos son iguales: ${\displaystyle I_{K}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{K}&=\{x=(x_{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}:\exists y=(y_{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}:xy=1\}\\&=\{x=(x_{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}:\exists y=(y_{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}:x_{v}\cdot y_{v}=1\quad \forall v\}\\&=\{x=(x_{v})_{v}:x_{v}\in K_{v}^{\times }\forall v{\text{ and }}x_{v}\in O_{v}^{\times }{\text{ for almost all }}v\}\\&={\prod _{v}}^{'}K_{v}^{\times }\end{aligned}}}$

Al pasar de la línea 2 a la 3, así como tienen que estar en sentido para casi todos y para casi todos Por lo tanto, para casi todos${\displaystyle x}$${\displaystyle x^{-1}=y}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K},}$${\displaystyle x_{v}\in O_{v}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle x_{v}^{-1}\in O_{v}}$${\displaystyle v.}$${\displaystyle x_{v}\in O_{v}^{\times }}$${\displaystyle v.}$

Ahora, es posible mostrar que la topología del lado izquierdo es igual a la topología del lado derecho. Obviamente, cada rectángulo abierto restringido es abierto en la topología del grupo ideal. Por otro lado, para un dado que es abierto en la topología del grupo ideal, es decir, es abierto, por lo que para cada existe un rectángulo abierto restringido, que es un subconjunto de y contiene Por lo tanto, es la unión de todos estos rectángulos abiertos restringidos y, por lo tanto, es abierto en la topología del producto restringido. ${\displaystyle U\subset I_{K},}$${\displaystyle U\times U^{-1}\subset \mathbb {A} _{K}\times \mathbb {A} _{K}}$${\displaystyle u\in U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle u.}$${\displaystyle U}$

Lema. Para cada conjunto de lugares, es un grupo topológico localmente compacto.${\displaystyle S,I_{K,S}}$

Demostración. La compacidad local se desprende de la descripción de como un producto restringido. El hecho de que sea un grupo topológico se desprende de la discusión anterior sobre el grupo de unidades de un anillo topológico. ${\displaystyle I_{K,S}}$

Un sistema de vecindad de es un sistema de vecindad de Alternativamente, tomemos todos los conjuntos de la forma: ${\displaystyle 1\in \mathbb {A} _{K}(P_{\infty })^{\times }}$${\displaystyle 1\in I_{K}.}$

${\displaystyle \prod _{v}U_{v},}$

¿Dónde está un barrio de y para casi todos?${\displaystyle U_{v}}$${\displaystyle 1\in K_{v}^{\times }}$${\displaystyle U_{v}=O_{v}^{\times }}$${\displaystyle v.}$

Dado que el grupo ideal es localmente compacto, existe una medida de Haar sobre él. Esta se puede normalizar, de modo que ${\displaystyle d^{\times }x}$

${\displaystyle \int _{I_{K,{\text{fin}}}}\mathbf {1} _{\widehat {O}}\,d^{\times }x=1.}$

Esta es la normalización utilizada para los lugares finitos. En esta ecuación, es el grupo de idele finito, es decir, el grupo de unidades del anillo de Adele finito. Para los lugares infinitos, utilice la medida de Lebesgue multiplicativa.${\displaystyle I_{K,{\text{fin}}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {dx}{|x|}}.}$

Lema. Sea una extensión finita. Entonces: ${\displaystyle L/K}$

${\displaystyle I_{L}={\prod _{v}}^{'}L_{v}^{\times }.}$

donde se encuentra el producto restringido con respecto a${\displaystyle {\widetilde {O_{v}}}^{\times }.}$

Lema. Hay una incrustación canónica de en${\displaystyle I_{K}}$${\displaystyle I_{L}.}$

Demostración. Mapa de con la propiedad para Por lo tanto, puede verse como un subgrupo de Un elemento está en este subgrupo si y solo si sus componentes satisfacen las siguientes propiedades: para y para y para el mismo lugar de${\displaystyle a=(a_{v})_{v}\in I_{K}}$${\displaystyle a'=(a'_{w})_{w}\in I_{L}}$${\displaystyle a'_{w}=a_{v}\in K_{v}^{\times }\subset L_{w}^{\times }}$${\displaystyle w|v.}$${\displaystyle I_{K}}$${\displaystyle I_{L}.}$${\displaystyle a=(a_{w})_{w}\in I_{L}}$${\displaystyle a_{w}\in K_{v}^{\times }}$${\displaystyle w|v}$${\displaystyle a_{w}=a_{w'}}$${\displaystyle w|v}$${\displaystyle w'|v}$${\displaystyle v}$${\displaystyle K.}$

^[15]

Sea un álgebra de dimensión finita sobre Dado que no es un grupo topológico con la topología de subconjuntos en general, equipe con la topología similar a la anterior y llámese grupo idele. Los elementos del grupo idele se llaman idele de${\displaystyle A}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle \mathbb {A} _{A}^{\times }}$${\displaystyle \mathbb {A} _{A}^{\times }}$${\displaystyle I_{K}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{A}^{\times }}$${\displaystyle A.}$

Proposición. Sea un subconjunto finito de que contiene una base de sobre Para cada lugar finito de sea el -módulo generado por en Existe un conjunto finito de lugares que contienen tales que para todo es un subanillo compacto de Además, contiene Para cada es un subconjunto abierto de y la función es continua en Como consecuencia se aplica homeomorfamente en su imagen en Para cada son los elementos de la función en con la función anterior. Por lo tanto, es un subgrupo abierto y compacto de ^[16]${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle A,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle v}$${\displaystyle K,}$${\displaystyle \alpha _{v}}$${\displaystyle O_{v}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle A_{v}.}$${\displaystyle P_{0}}$${\displaystyle P_{\infty }}$${\displaystyle v\notin P_{0},}$${\displaystyle \alpha _{v}}$${\displaystyle A_{v}.}$${\displaystyle \alpha _{v}}$${\displaystyle A_{v}^{\times }.}$${\displaystyle v,A_{v}^{\times }}$${\displaystyle A_{v}}$${\displaystyle x\mapsto x^{-1}}$${\displaystyle A_{v}^{\times }.}$${\displaystyle x\mapsto (x,x^{-1})}$${\displaystyle A_{v}^{\times }}$${\displaystyle A_{v}\times A_{v}.}$${\displaystyle v\notin P_{0},}$${\displaystyle \alpha _{v}^{\times }}$${\displaystyle A_{v}^{\times },}$${\displaystyle \alpha _{v}\times \alpha _{v}}$${\displaystyle \alpha _{v}^{\times }}$${\displaystyle A_{v}^{\times }.}$

Proposición. Sea un conjunto finito de lugares. Entonces ${\displaystyle P\supset P_{\infty }}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{A}(P,\alpha )^{\times }:=\prod _{v\in P}A_{v}^{\times }\times \prod _{v\notin P}\alpha _{v}^{\times }}$

es un subgrupo abierto de donde es la unión de todos ^[17]${\displaystyle \mathbb {A} _{A}^{\times },}$${\displaystyle \mathbb {A} _{A}^{\times }}$${\displaystyle \mathbb {A} _{A}(P,\alpha )^{\times }.}$

Corolario. En el caso especial de para cada conjunto finito de lugares${\displaystyle A=K}$${\displaystyle P\supset P_{\infty },}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P)^{\times }=\prod _{v\in P}K_{v}^{\times }\times \prod _{v\notin P}O_{v}^{\times }}$

es un subgrupo abierto de Además, es la unión de todos${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }=I_{K}.}$${\displaystyle I_{K}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P)^{\times }.}$

La traza y la norma deben transferirse del anillo de Adele al grupo idele. Resulta que la traza no se puede transferir tan fácilmente. Sin embargo, es posible transferir la norma del anillo de Adele al grupo idele. Sea Entonces y, por lo tanto, se puede decir que en el homomorfismo de grupo inyectivo ${\displaystyle \alpha \in I_{K}.}$${\displaystyle \operatorname {con} _{L/K}(\alpha )\in I_{L}}$

${\displaystyle \operatorname {con} _{L/K}:I_{K}\hookrightarrow I_{L}.}$

Como es invertible, también es invertible, porque Por lo tanto Como consecuencia, la restricción de la función norma introduce una función continua: ${\displaystyle \alpha \in I_{L},}$${\displaystyle N_{L/K}(\alpha )}$${\displaystyle (N_{L/K}(\alpha ))^{-1}=N_{L/K}(\alpha ^{-1}).}$${\displaystyle N_{L/K}(\alpha )\in I_{K}.}$

${\displaystyle N_{L/K}:I_{L}\to I_{K}.}$

Lema. Existe una incrustación natural de en dado por la función diagonal:${\displaystyle K^{\times }}$${\displaystyle I_{K,S}}$${\displaystyle a\mapsto (a,a,a,\ldots ).}$

Demostración. Dado que es un subconjunto de para todos, la incrustación está bien definida y es inyectiva. ${\displaystyle K^{\times }}$${\displaystyle K_{v}^{\times }}$${\displaystyle v,}$

Corolario. es un subgrupo discreto de${\displaystyle A^{\times }}$${\displaystyle \mathbb {A} _{A}^{\times }.}$

Definición. En analogía con el grupo de clases ideal , los elementos de en se llaman ideales principales de El grupo cociente se llama grupo de clases ideal de Este grupo está relacionado con el grupo de clases ideal y es un objeto central en la teoría de campos de clases. ${\displaystyle K^{\times }}$${\displaystyle I_{K}}$${\displaystyle I_{K}.}$${\displaystyle C_{K}:=I_{K}/K^{\times }}$${\displaystyle K.}$

Observación. está cerrado, por lo tanto es un grupo topológico localmente compacto y un espacio de Hausdorff. ${\displaystyle K^{\times }}$${\displaystyle I_{K},}$${\displaystyle C_{K}}$

Lema. ^[18] Sea una extensión finita. La incrustación induce una función inyectiva: ${\displaystyle L/K}$${\displaystyle I_{K}\to I_{L}}$

${\displaystyle {\begin{cases}C_{K}\to C_{L}\\\alpha K^{\times }\mapsto \alpha L^{\times }\end{cases}}}$

Definición. Para definir: Dado que es un ideal, este producto es finito y, por lo tanto, está bien definido. ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{v})_{v}\in I_{K}}$${\displaystyle \textstyle |\alpha |:=\prod _{v}|\alpha _{v}|_{v}.}$${\displaystyle \alpha }$

Observación. La definición se puede ampliar permitiendo productos infinitos. Sin embargo, estos productos infinitos se anulan y, por lo tanto, se utilizará anular en para denotar tanto la función en como${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$${\displaystyle |\cdot |}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}\setminus I_{K}.}$ ${\displaystyle |\cdot |}$${\displaystyle I_{K}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}.}$

El teorema es un homomorfismo de grupo continuo.${\displaystyle |\cdot |:I_{K}\to \mathbb {R} _{+}}$

Prueba. Sea${\displaystyle \alpha ,\beta \in I_{K}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|\alpha \cdot \beta |&=\prod _{v}|(\alpha \cdot \beta )_{v}|_{v}\\&=\prod _{v}|\alpha _{v}\cdot \beta _{v}|_{v}\\&=\prod _{v}(|\alpha _{v}|_{v}\cdot |\beta _{v}|_{v})\\&=\left(\prod _{v}|\alpha _{v}|_{v}\right)\cdot \left(\prod _{v}|\beta _{v}|_{v}\right)\\&=|\alpha |\cdot |\beta |\end{aligned}}}$

donde se utiliza que todos los productos son finitos. La función es continua, lo que se puede ver utilizando un argumento que trata con secuencias. Esto reduce el problema a si es continua en Sin embargo, esto es claro, debido a la desigualdad del triángulo inverso. ${\displaystyle |\cdot |}$${\displaystyle K_{v}.}$

Definición. El conjunto de -idele se puede definir como: ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle I_{K}^{1}:=\{x\in I_{K}:|x|=1\}=\ker(|\cdot |).}$

${\displaystyle I_{K}^{1}}$es un subgrupo de Dado que es un subconjunto cerrado de Finalmente, la -topología en es igual a la topología del subconjunto de en ^{[19] [20]}${\displaystyle I_{K}.}$${\displaystyle I_{K}^{1}=|\cdot |^{-1}(\{1\}),}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}.}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$${\displaystyle I_{K}^{1}}$${\displaystyle I_{K}}$${\displaystyle I_{K}^{1}.}$

Fórmula del producto Artin para todos${\displaystyle |k|=1}$${\displaystyle k\in K^{\times }.}$

Demostración. ^[21] Demostración de la fórmula para cuerpos numéricos. El caso de cuerpos de funciones globales se puede demostrar de manera similar. Sea un cuerpo numérico y Se debe demostrar que: ${\displaystyle K}$${\displaystyle a\in K^{\times }.}$

${\displaystyle \prod _{v}|a|_{v}=1.}$

Para un lugar finito para el cual el ideal primo correspondiente no divide , y por lo tanto Esto es válido para casi todos Hay: ${\displaystyle v}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{v}}$${\displaystyle (a)}$${\displaystyle v(a)=0}$${\displaystyle |a|_{v}=1.}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{v}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{v}|a|_{v}&=\prod _{p\leq \infty }\prod _{v|p}|a|_{v}\\&=\prod _{p\leq \infty }\prod _{v|p}|N_{K_{v}/\mathbb {Q} _{p}}(a)|_{p}\\&=\prod _{p\leq \infty }|N_{K/\mathbb {Q} }(a)|_{p}\end{aligned}}}$

Al pasar de la línea 1 a la línea 2, se utilizó la identidad donde es un lugar de y es un lugar de que se encuentra por encima. Al pasar de la línea 2 a la línea 3, se utiliza una propiedad de la norma. La norma está en por lo que sin pérdida de generalidad se puede suponer que Then posee una factorización entera única : ${\displaystyle |a|_{w}=|N_{L_{w}/K_{v}}(a)|_{v},}$${\displaystyle v}$${\displaystyle K}$${\displaystyle w}$${\displaystyle L,}$${\displaystyle v.}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle a\in \mathbb {Q} .}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle a=\pm \prod _{p<\infty }p^{v_{p}},}$

donde es para casi todos Por el teorema de Ostrowski todos los valores absolutos de son equivalentes al valor absoluto real o un valor absoluto -ádico. Por lo tanto: ${\displaystyle v_{p}\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle p.}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle |\cdot |_{\infty }}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|a|&=\left(\prod _{p<\infty }|a|_{p}\right)\cdot |a|_{\infty }\\&=\left(\prod _{p<\infty }p^{-v_{p}}\right)\cdot \left(\prod _{p<\infty }p^{v_{p}}\right)\\&=1\end{aligned}}}$

Lema. ^[22] Existe una constante que depende solamente de tal que para cada satisfacción existe tal que para todo${\displaystyle C,}$${\displaystyle K,}$${\displaystyle \alpha =(\alpha _{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}}$${\displaystyle \textstyle \prod _{v}|\alpha _{v}|_{v}>C,}$${\displaystyle \beta \in K^{\times }}$${\displaystyle |\beta _{v}|_{v}\leq |\alpha _{v}|_{v}}$${\displaystyle v.}$

Corolario. Sea un lugar de y sea dado para todos con la propiedad para casi todos. Entonces existe tal que para todos${\displaystyle v_{0}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \delta _{v}>0}$${\displaystyle v\neq v_{0}}$${\displaystyle \delta _{v}=1}$${\displaystyle v.}$${\displaystyle \beta \in K^{\times },}$${\displaystyle |\beta |\leq \delta _{v}}$${\displaystyle v\neq v_{0}.}$

Demostración. Sea la constante del lema. Sea un elemento uniformizador de Definir la vía de adele con minimal, de modo que para todos Entonces para casi todos Definir con de modo que Esto funciona, porque para casi todos Por el Lema existe de modo que para todos${\displaystyle C}$${\displaystyle \pi _{v}}$${\displaystyle O_{v}.}$${\displaystyle \alpha =(\alpha _{v})_{v}}$${\displaystyle \alpha _{v}:=\pi _{v}^{k_{v}}}$${\displaystyle k_{v}\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle |\alpha _{v}|_{v}\leq \delta _{v}}$${\displaystyle v\neq v_{0}.}$${\displaystyle k_{v}=0}$${\displaystyle v.}$${\displaystyle \alpha _{v_{0}}:=\pi _{v_{0}}^{k_{v_{0}}}}$${\displaystyle k_{v_{0}}\in \mathbb {Z} ,}$${\displaystyle \textstyle \prod _{v}|\alpha _{v}|_{v}>C.}$${\displaystyle k_{v}=0}$${\displaystyle v.}$${\displaystyle \beta \in K^{\times },}$${\displaystyle |\beta |_{v}\leq |\alpha _{v}|_{v}\leq \delta _{v}}$${\displaystyle v\neq v_{0}.}$

Teorema. es discreto y compacto en${\displaystyle K^{\times }}$${\displaystyle I_{K}^{1}.}$

Demostración. ^[23] Puesto que es discreto en también es discreto en Para demostrar la compacidad de sea la constante del Lema y supongamos que se da que satisface . Definir: ${\displaystyle K^{\times }}$${\displaystyle I_{K}}$${\displaystyle I_{K}^{1}.}$${\displaystyle I_{K}^{1}/K^{\times }}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \alpha \in \mathbb {A} _{K}}$${\displaystyle \textstyle \prod _{v}|\alpha _{v}|_{v}>C}$

${\displaystyle W_{\alpha }:=\left\{\xi =(\xi _{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}||\xi _{v}|_{v}\leq |\alpha _{v}|_{v}{\text{ for all }}v\right\}.}$

Claramente es compacta. Se puede afirmar que la proyección natural es sobreyectiva. Sea arbitraria, entonces: ${\displaystyle W_{\alpha }}$${\displaystyle W_{\alpha }\cap I_{K}^{1}\to I_{K}^{1}/K^{\times }}$${\displaystyle \beta =(\beta _{v})_{v}\in I_{K}^{1}}$

${\displaystyle |\beta |=\prod _{v}|\beta _{v}|_{v}=1,}$

y por lo tanto

${\displaystyle \prod _{v}|\beta _{v}^{-1}|_{v}=1.}$

Resulta que

${\displaystyle \prod _{v}|\beta _{v}^{-1}\alpha _{v}|_{v}=\prod _{v}|\alpha _{v}|_{v}>C.}$

Por el Lema existe tal que para todo y por lo tanto se prueba la sobreyectividad de la proyección natural. Como también es continua se sigue la compacidad. ${\displaystyle \eta \in K^{\times }}$${\displaystyle |\eta |_{v}\leq |\beta _{v}^{-1}\alpha _{v}|_{v}}$${\displaystyle v,}$${\displaystyle \eta \beta \in W_{\alpha }}$

Teorema. ^[24] Existe un isomorfismo canónico Además, es un conjunto de representantes para y es un conjunto de representantes para${\displaystyle I_{\mathbb {Q} }^{1}/\mathbb {Q} ^{\times }\cong {\widehat {\mathbb {Z} }}^{\times }.}$${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}^{\times }\times \{1\}\subset I_{\mathbb {Q} }^{1}}$${\displaystyle I_{\mathbb {Q} }^{1}/\mathbb {Q} ^{\times }}$${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}^{\times }\times (0,\infty )\subset I_{\mathbb {Q} }}$${\displaystyle I_{\mathbb {Q} }/\mathbb {Q} ^{\times }.}$

Prueba. Consideremos el mapa.

${\displaystyle {\begin{cases}\phi :{\widehat {\mathbb {Z} }}^{\times }\to I_{\mathbb {Q} }^{1}/\mathbb {Q} ^{\times }\\(a_{p})_{p}\mapsto ((a_{p})_{p},1)\mathbb {Q} ^{\times }\end{cases}}}$

Esta función está bien definida, ya que para todos y por lo tanto Obviamente es un homomorfismo de grupo continuo. Ahora supongamos Entonces existe tal que Al considerar el lugar infinito se puede ver que demuestra la inyectividad. Para demostrar la sobreyectividad, sea El valor absoluto de este elemento es y por lo tanto ${\displaystyle |a_{p}|_{p}=1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \textstyle \left(\prod _{p<\infty }|a_{p}|_{p}\right)\cdot 1=1.}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle ((a_{p})_{p},1)\mathbb {Q} ^{\times }=((b_{p})_{p},1)\mathbb {Q} ^{\times }.}$${\displaystyle q\in \mathbb {Q} ^{\times }}$${\displaystyle ((a_{p})_{p},1)q=((b_{p})_{p},1).}$${\displaystyle q=1}$${\displaystyle ((\beta _{p})_{p},\beta _{\infty })\mathbb {Q} ^{\times }\in I_{\mathbb {Q} }^{1}/\mathbb {Q} ^{\times }.}$${\displaystyle 1}$

${\displaystyle |\beta _{\infty }|_{\infty }={\frac {1}{\prod _{p}|\beta _{p}|_{p}}}\in \mathbb {Q} .}$

Por lo tanto , y hay: ${\displaystyle \beta _{\infty }\in \mathbb {Q} }$

${\displaystyle ((\beta _{p})_{p},\beta _{\infty })\mathbb {Q} ^{\times }=\left(\left({\frac {\beta _{p}}{\beta _{\infty }}}\right)_{p},1\right)\mathbb {Q} ^{\times }.}$

Desde

${\displaystyle \forall p:\qquad \left|{\frac {\beta _{p}}{\beta _{\infty }}}\right|_{p}=1,}$

Se ha concluido que es sobreyectiva. ${\displaystyle \phi }$

Teorema. ^[24] La función de valor absoluto induce los siguientes isomorfismos de grupos topológicos:

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\mathbb {Q} }&\cong I_{\mathbb {Q} }^{1}\times (0,\infty )\\I_{\mathbb {Q} }^{1}&\cong I_{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}\times \{\pm 1\}.\end{aligned}}}$

Demostración. Los isomorfismos vienen dados por:

${\displaystyle {\begin{cases}\psi :I_{\mathbb {Q} }\to I_{\mathbb {Q} }^{1}\times (0,\infty )\\a=(a_{\text{fin}},a_{\infty })\mapsto \left(a_{\text{fin}},{\frac {a_{\infty }}{|a|}},|a|\right)\end{cases}}\qquad {\text{and}}\qquad {\begin{cases}{\widetilde {\psi }}:I_{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}\times \{\pm 1\}\to I_{\mathbb {Q} }^{1}\\(a_{\text{fin}},\varepsilon )\mapsto \left(a_{\text{fin}},{\frac {\varepsilon }{|a_{\text{fin}}|}}\right)\end{cases}}}$

Teorema. Sea un cuerpo de números con anillo de números enteros, grupo de ideales fraccionarios y grupo de clases ideales. Aquí están los siguientes isomorfismos. ${\displaystyle K}$${\displaystyle O,}$${\displaystyle J_{K},}$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{K}=J_{K}/K^{\times }.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{K}&\cong I_{K,{\text{fin}}}/{\widehat {O}}^{\times }\\\operatorname {Cl} _{K}&\cong C_{K,{\text{fin}}}/{\widehat {O}}^{\times }K^{\times }\\\operatorname {Cl} _{K}&\cong C_{K}/\left({\widehat {O}}^{\times }\times \prod _{v|\infty }K_{v}^{\times }\right)K^{\times }\end{aligned}}}$

donde se ha definido.${\displaystyle C_{K,{\text{fin}}}:=I_{K,{\text{fin}}}/K^{\times }}$

Demostración. Sea un lugar finito de y sea un representante de la clase de equivalencia. Definir ${\displaystyle v}$${\displaystyle K}$${\displaystyle |\cdot |_{v}}$${\displaystyle v.}$

${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{v}:=\{x\in O:|x|_{v}<1\}.}$

Entonces es un ideal primo en El mapa es una biyección entre lugares finitos de e ideales primos distintos de cero de La inversa se da de la siguiente manera: un ideal primo se asigna a la valoración dada por ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{v}}$${\displaystyle O.}$${\displaystyle v\mapsto {\mathfrak {p}}_{v}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle O.}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle v_{\mathfrak {p}},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{\mathfrak {p}}(x)&:=\max\{k\in \mathbb {N} _{0}:x\in {\mathfrak {p}}^{k}\}\quad \forall x\in O^{\times }\\v_{\mathfrak {p}}\left({\frac {x}{y}}\right)&:=v_{\mathfrak {p}}(x)-v_{\mathfrak {p}}(y)\quad \forall x,y\in O^{\times }\end{aligned}}}$

El siguiente mapa está bien definido:

${\displaystyle {\begin{cases}(\cdot ):I_{K,{\text{fin}}}\to J_{K}\\\alpha =(\alpha _{v})_{v}\mapsto \prod _{v<\infty }{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\alpha _{v})},\end{cases}}}$

La función es obviamente un homomorfismo sobreyectivo y el primer isomorfismo se deduce del teorema fundamental sobre el homomorfismo . Ahora, ambos lados están divididos por Esto es posible, porque ${\displaystyle (\cdot )}$${\displaystyle \ker((\cdot ))={\widehat {O}}^{\times }.}$${\displaystyle K^{\times }.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(\alpha )&=((\alpha ,\alpha ,\dotsc ))\\&=\prod _{v<\infty }{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\alpha )}\\&=(\alpha )&&{\text{ for all }}\alpha \in K^{\times }.\end{aligned}}}$

Por favor, tenga en cuenta el abuso de la notación: en el lado izquierdo de la línea 1 de esta cadena de ecuaciones, representa la función definida anteriormente. Más adelante, se utiliza la incrustación de into . En la línea 2, se utiliza la definición de la función. Finalmente, se utiliza que es un dominio de Dedekind y, por lo tanto, cada ideal puede escribirse como un producto de ideales primos. En otras palabras, la función es un homomorfismo de grupo -equivariante. Como consecuencia, la función anterior induce un homomorfismo sobreyectivo. ${\displaystyle (\cdot )}$${\displaystyle K^{\times }}$${\displaystyle I_{K,{\text{fin}}}}$${\displaystyle O}$${\displaystyle (\cdot )}$${\displaystyle K^{\times }}$

${\displaystyle {\begin{cases}\phi :C_{K,{\text{fin}}}\to \operatorname {Cl} _{K}\\\alpha K^{\times }\mapsto (\alpha )K^{\times }\end{cases}}}$

Para demostrar el segundo isomorfismo, se debe demostrar que Consideremos Entonces porque para todo Por otra parte, consideremos con lo cual permite escribir Como consecuencia, existe un representante, tal que: En consecuencia, y por lo tanto Se ha demostrado el segundo isomorfismo del teorema. ${\displaystyle \ker(\phi )={\widehat {O}}^{\times }K^{\times }.}$${\displaystyle \xi =(\xi _{v})_{v}\in {\widehat {O}}^{\times }.}$${\displaystyle \textstyle \phi (\xi K^{\times })=\prod _{v}{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\xi _{v})}K^{\times }=K^{\times },}$${\displaystyle v(\xi _{v})=0}$${\displaystyle v.}$${\displaystyle \xi K^{\times }\in C_{K,{\text{fin}}}}$${\displaystyle \phi (\xi K^{\times })=OK^{\times },}$${\displaystyle \textstyle \prod _{v}{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\xi _{v})}K^{\times }=OK^{\times }.}$${\displaystyle \textstyle \prod _{v}{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\xi '_{v})}=O.}$${\displaystyle \xi '\in {\widehat {O}}^{\times }}$${\displaystyle \xi K^{\times }=\xi 'K^{\times }\in {\widehat {O}}^{\times }K^{\times }.}$

Para el último isomorfismo tenga en cuenta que induce un homomorfismo de grupo sobreyectivo con ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle {\widetilde {\phi }}:C_{K}\to \operatorname {Cl} _{K}}$

${\displaystyle \ker({\widetilde {\phi }})=\left({\widehat {O}}^{\times }\times \prod _{v|\infty }K_{v}^{\times }\right)K^{\times }.}$

Observación. Consideremos la topología ideal y equipémonos con la topología discreta. Dado que es abierto para cada uno es continuo. Se sostiene que es abierto, donde de modo que${\displaystyle I_{K,{\text{fin}}}}$${\displaystyle J_{K},}$${\displaystyle (\{{\mathfrak {a}}\})^{-1}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}\in J_{K},(\cdot )}$${\displaystyle (\{{\mathfrak {a}}\})^{-1}=\alpha {\widehat {O}}^{\times }}$${\displaystyle \alpha =(\alpha _{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K,{\text{fin}}},}$${\displaystyle \textstyle {\mathfrak {a}}=\prod _{v}{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\alpha _{v})}.}$

Teorema.

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{K}&\cong I_{K}^{1}\times M:\quad {\begin{cases}M\subset I_{K}{\text{ discrete and }}M\cong \mathbb {Z} &\operatorname {char} (K)>0\\M\subset I_{K}{\text{ closed and }}M\cong \mathbb {R} _{+}&\operatorname {char} (K)=0\end{cases}}\\C_{K}&\cong I_{K}^{1}/K^{\times }\times N:\quad {\begin{cases}N=\mathbb {Z} &\operatorname {char} (K)>0\\N=\mathbb {R} _{+}&\operatorname {char} (K)=0\end{cases}}\end{aligned}}}$

Demostración. Para cada lugar de de modo que para todos pertenece al subgrupo de generado por Por lo tanto para cada está en el subgrupo de generado por Por lo tanto la imagen del homomorfismo es un subgrupo discreto de generado por Como este grupo no es trivial, es generado por para algunos Elija de modo que entonces sea el producto directo de y el subgrupo generado por Este subgrupo es discreto e isomorfo a${\displaystyle \operatorname {char} (K)=p>0.}$${\displaystyle v}$${\displaystyle K,\operatorname {char} (K_{v})=p,}$${\displaystyle x\in K_{v}^{\times },}$ ${\displaystyle |x|_{v}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{+},}$${\displaystyle p.}$${\displaystyle z\in I_{K},}$ ${\displaystyle |z|}$${\displaystyle \mathbb {R} _{+},}$${\displaystyle p.}$${\displaystyle z\mapsto |z|}$${\displaystyle \mathbb {R} _{+},}$${\displaystyle p.}$${\displaystyle Q=p^{m}}$${\displaystyle m\in \mathbb {N} .}$${\displaystyle z_{1}\in I_{K},}$${\displaystyle |z_{1}|=Q,}$${\displaystyle I_{K}}$${\displaystyle I_{K}^{1}}$${\displaystyle z_{1}.}$${\displaystyle \mathbb {Z} .}$

${\displaystyle \operatorname {char} (K)=0.}$Para definir: ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} _{+}}$

${\displaystyle z(\lambda )=(z_{v})_{v},\quad z_{v}={\begin{cases}1&v\notin P_{\infty }\\\lambda &v\in P_{\infty }\end{cases}}}$

El mapa es un isomorfismo de en un subgrupo cerrado de y El isomorfismo se da por la multiplicación: ${\displaystyle \lambda \mapsto z(\lambda )}$${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle I_{K}}$${\displaystyle I_{K}\cong M\times I_{K}^{1}.}$

${\displaystyle {\begin{cases}\phi :M\times I_{K}^{1}\to I_{K},\\((\alpha _{v})_{v},(\beta _{v})_{v})\mapsto (\alpha _{v}\beta _{v})_{v}\end{cases}}}$

Obviamente, es un homomorfismo. Para mostrar que es inyectivo, sea Puesto que para significa que para Además, existe un de modo que para Por lo tanto, para Además implica donde es el número de lugares infinitos de Como consecuencia y por lo tanto es inyectivo. Para mostrar la sobreyectividad, sea Se define que y además, para y para Definir Significa que Por lo tanto, es sobreyectivo. ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle (\alpha _{v}\beta _{v})_{v}=1.}$${\displaystyle \alpha _{v}=1}$${\displaystyle v<\infty ,}$${\displaystyle \beta _{v}=1}$${\displaystyle v<\infty .}$${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} _{+},}$${\displaystyle \alpha _{v}=\lambda }$${\displaystyle v|\infty .}$${\displaystyle \beta _{v}=\lambda ^{-1}}$${\displaystyle v|\infty .}$${\displaystyle \textstyle \prod _{v}|\beta _{v}|_{v}=1,}$${\displaystyle \lambda ^{n}=1,}$${\displaystyle n}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle \lambda =1}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \gamma =(\gamma _{v})_{v}\in I_{K}.}$${\displaystyle \lambda :=|\gamma |^{\frac {1}{n}}}$${\displaystyle \alpha _{v}=1}$${\displaystyle v<\infty }$${\displaystyle \alpha _{v}=\lambda }$${\displaystyle v|\infty .}$${\displaystyle \textstyle \beta ={\frac {\gamma }{\alpha }}.}$${\displaystyle \textstyle |\beta |={\frac {|\gamma |}{|\alpha |}}={\frac {\lambda ^{n}}{\lambda ^{n}}}=1.}$${\displaystyle \phi }$

Las demás ecuaciones se siguen de forma similar.

Teorema. ^[25] Sea un cuerpo de números. Existe un conjunto finito de lugares tales que: ${\displaystyle K}$${\displaystyle S,}$

${\displaystyle I_{K}=\left(I_{K,S}\times \prod _{v\notin S}O_{v}^{\times }\right)K^{\times }=\left(\prod _{v\in S}K_{v}^{\times }\times \prod _{v\notin S}O_{v}^{\times }\right)K^{\times }.}$

Demostración. El número de clase de un cuerpo de números es finito, por lo que sean los ideales, que representan las clases en Estos ideales son generados por un número finito de ideales primos Sea un conjunto finito de lugares que contienen y los lugares finitos correspondientes a Considere el isomorfismo: ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {a}}_{h}}$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{K}.}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {p}}_{n}.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle P_{\infty }}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {p}}_{n}.}$

${\displaystyle I_{K}/\left(\prod _{v<\infty }O_{v}^{\times }\times \prod _{v|\infty }K_{v}^{\times }\right)\cong J_{K},}$

inducido por

${\displaystyle (\alpha _{v})_{v}\mapsto \prod _{v<\infty }{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\alpha _{v})}.}$

En lugares infinitos el enunciado es inmediato, por lo que el enunciado ha sido probado para lugares finitos. La inclusión ″ ″ es obvia. Sea El ideal correspondiente pertenece a una clase que significa para un ideal principal El ideal se aplica al ideal bajo el mapa Eso significa que Dado que los ideales primos en están en se deduce para todos que significa para todos Se deduce que, por lo tanto${\displaystyle \supset }$${\displaystyle \alpha \in I_{K,{\text{fin}}}.}$${\displaystyle \textstyle (\alpha )=\prod _{v<\infty }{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\alpha _{v})}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}K^{\times },}$${\displaystyle (\alpha )={\mathfrak {a}}_{i}(a)}$${\displaystyle (a).}$${\displaystyle \alpha '=\alpha a^{-1}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$${\displaystyle I_{K,{\text{fin}}}\to J_{K}.}$${\displaystyle \textstyle {\mathfrak {a}}_{i}=\prod _{v<\infty }{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\alpha '_{v})}.}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle v(\alpha '_{v})=0}$${\displaystyle v\notin S,}$${\displaystyle \alpha '_{v}\in O_{v}^{\times }}$${\displaystyle v\notin S.}$${\displaystyle \alpha '=\alpha a^{-1}\in I_{K,S},}$${\displaystyle \alpha \in I_{K,S}K^{\times }.}$

En la sección anterior se ha utilizado el hecho de que el número de clase de un cuerpo numérico es finito. Aquí se puede demostrar esta afirmación:

Teorema (finitud del número de clase de un cuerpo de números). Sea un cuerpo de números. Entonces${\displaystyle K}$${\displaystyle |\operatorname {Cl} _{K}|<\infty .}$

Prueba. El mapa

${\displaystyle {\begin{cases}I_{K}^{1}\to J_{K}\\\left((\alpha _{v})_{v<\infty },(\alpha _{v})_{v|\infty }\right)\mapsto \prod _{v<\infty }{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\alpha _{v})}\end{cases}}}$

es sobreyectiva y por lo tanto es la imagen continua del conjunto compacto Por lo tanto, es compacto. Además, es discreto y por lo tanto finito. ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{K}}$${\displaystyle I_{K}^{1}/K^{\times }.}$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{K}}$

Observación. Un resultado similar se obtiene en el caso de un cuerpo de funciones globales. En este caso, se define el llamado grupo divisor. Se puede demostrar que el cociente del conjunto de todos los divisores de grado por el conjunto de los divisores principales es un grupo finito. ^[26]${\displaystyle 0}$

Sea un conjunto finito de lugares. Definir ${\displaystyle P\supset P_{\infty }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega (P)&:=\prod _{v\in P}K_{v}^{\times }\times \prod _{v\notin P}O_{v}^{\times }=(\mathbb {A} _{K}(P))^{\times }\\E(P)&:=K^{\times }\cap \Omega (P)\end{aligned}}}$

Entonces es un subgrupo de que contiene todos los elementos que satisfacen para todos Dado que es discreto en es un subgrupo discreto de y con el mismo argumento, es discreto en${\displaystyle E(P)}$${\displaystyle K^{\times },}$${\displaystyle \xi \in K^{\times }}$${\displaystyle v(\xi )=0}$${\displaystyle v\notin P.}$${\displaystyle K^{\times }}$${\displaystyle I_{K},}$ ${\displaystyle E(P)}$${\displaystyle \Omega (P)}$${\displaystyle E(P)}$${\displaystyle \Omega _{1}(P):=\Omega (P)\cap I_{K}^{1}.}$

Una definición alternativa es: donde es un subanillo de definido por ${\displaystyle E(P)=K(P)^{\times },}$${\displaystyle K(P)}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle K(P):=K\cap \left(\prod _{v\in P}K_{v}\times \prod _{v\notin P}O_{v}\right).}$

En consecuencia, contiene todos los elementos que cumplen para todos${\displaystyle K(P)}$${\displaystyle \xi \in K,}$${\displaystyle v(\xi )\geq 0}$${\displaystyle v\notin P.}$

Lema 1. Sea el siguiente conjunto finito: ${\displaystyle 0<c\leq C<\infty .}$

${\displaystyle \left\{\eta \in E(P):\left.{\begin{cases}|\eta _{v}|_{v}=1&\forall v\notin P\\c\leq |\eta _{v}|_{v}\leq C&\forall v\in P\end{cases}}\right\}\right\}.}$

Prueba. Definir

${\displaystyle W:=\left\{(\alpha _{v})_{v}:\left.{\begin{cases}|\alpha _{v}|_{v}=1&\forall v\notin P\\c\leq |\alpha _{v}|_{v}\leq C&\forall v\in P\end{cases}}\right\}\right\}.}$

${\displaystyle W}$es compacto y el conjunto descrito anteriormente es la intersección de con el subgrupo discreto en y por lo tanto finito. ${\displaystyle W}$${\displaystyle K^{\times }}$${\displaystyle I_{K}}$

Lema 2. Sea un conjunto de todos tales que para todos Entonces el grupo de todas las raíces de la unidad de En particular es finito y cíclico.${\displaystyle E}$${\displaystyle \xi \in K}$${\displaystyle |\xi |_{v}=1}$${\displaystyle v.}$${\displaystyle E=\mu (K),}$${\displaystyle K.}$

Demostración. Todas las raíces de la unidad de tienen valor absoluto , por lo que Para el recíproco, nótese que el Lema 1 con y cualquier implica es finito. Además, para cada conjunto finito de lugares Finalmente, supongamos que existe que no es una raíz de la unidad de Entonces , para todos, contradiciendo la finitud de${\displaystyle K}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \mu (K)\subset E.}$${\displaystyle c=C=1}$${\displaystyle P}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E\subset E(P)}$${\displaystyle P\supset P_{\infty }.}$${\displaystyle \xi \in E,}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle \xi ^{n}\neq 1}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle E.}$

Unit Theorem. ${\displaystyle E(P)}$ is the direct product of ${\displaystyle E}$ and a group isomorphic to ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{s},}$ where ${\displaystyle s=0,}$ if ${\displaystyle P=\emptyset }$ and ${\displaystyle s=|P|-1,}$ if ${\displaystyle P\neq \emptyset .}$^[27]

Dirichlet's Unit Theorem. Let ${\displaystyle K}$ be a number field. Then ${\displaystyle O^{\times }\cong \mu (K)\times \mathbb {Z} ^{r+s-1},}$ where ${\displaystyle \mu (K)}$ is the finite cyclic group of all roots of unity of ${\displaystyle K,r}$ is the number of real embeddings of ${\displaystyle K}$ and ${\displaystyle s}$ is the number of conjugate pairs of complex embeddings of ${\displaystyle K.}$ It stands, that ${\displaystyle [K:\mathbb {Q} ]=r+2s.}$

Remark. The Unit Theorem generalises Dirichlet's Unit Theorem. To see this, let ${\displaystyle K}$ be a number field. It is already known that ${\displaystyle E=\mu (K),}$ set ${\displaystyle P=P_{\infty }}$ and note ${\displaystyle |P_{\infty }|=r+s.}$

Then there is:

${\displaystyle {\begin{aligned}E\times \mathbb {Z} ^{r+s-1}=E(P_{\infty })&=K^{\times }\cap \left(\prod _{v|\infty }K_{v}^{\times }\times \prod _{v<\infty }O_{v}^{\times }\right)\\&\cong K^{\times }\cap \left(\prod _{v<\infty }O_{v}^{\times }\right)\\&\cong O^{\times }\end{aligned}}}$

Weak Approximation Theorem.^[28] Let ${\displaystyle |\cdot |_{1},\ldots ,|\cdot |_{N},}$ be inequivalent valuations of ${\displaystyle K.}$ Let ${\displaystyle K_{n}}$ be the completion of ${\displaystyle K}$ with respect to ${\displaystyle |\cdot |_{n}.}$ Embed ${\displaystyle K}$ diagonally in ${\displaystyle K_{1}\times \cdots \times K_{N}.}$ Then ${\displaystyle K}$ is everywhere dense in ${\displaystyle K_{1}\times \cdots \times K_{N}.}$ In other words, for each ${\displaystyle \varepsilon >0}$ and for each ${\displaystyle (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{N})\in K_{1}\times \cdots \times K_{N},}$ there exists ${\displaystyle \xi \in K,}$ such that:

${\displaystyle \forall n\in \{1,\ldots ,N\}:\quad |\alpha _{n}-\xi |_{n}<\varepsilon .}$

Strong Approximation Theorem.^[29] Let ${\displaystyle v_{0}}$ be a place of ${\displaystyle K.}$ Define

${\displaystyle V:={\prod _{v\neq v_{0}}}^{'}K_{v}.}$

Then ${\displaystyle K}$ is dense in ${\displaystyle V.}$

Remark. The global field is discrete in its adele ring. The strong approximation theorem tells us that, if one place (or more) is omitted, the property of discreteness of ${\displaystyle K}$ is turned into a denseness of ${\displaystyle K.}$

Hasse-Minkowski Theorem. A quadratic form on ${\displaystyle K}$ is zero, if and only if, the quadratic form is zero in each completion ${\displaystyle K_{v}.}$

Remark. This is the Hasse principle for quadratic forms. For polynomials of degree larger than 2 the Hasse principle isn't valid in general. The idea of the Hasse principle (also known as local–global principle) is to solve a given problem of a number field ${\displaystyle K}$ by doing so in its completions ${\displaystyle K_{v}}$ and then concluding on a solution in ${\displaystyle K.}$

Definition. Let ${\displaystyle G}$ be a locally compact abelian group. The character group of ${\displaystyle G}$ is the set of all characters of ${\displaystyle G}$ and is denoted by ${\displaystyle {\widehat {G}}.}$ Equivalently ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ is the set of all continuous group homomorphisms from ${\displaystyle G}$ to ${\displaystyle \mathbb {T} :=\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}.}$ Equip ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ with the topology of uniform convergence on compact subsets of ${\displaystyle G.}$ One can show that ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ is also a locally compact abelian group.

Theorem. The adele ring is self-dual: ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}\cong {\widehat {\mathbb {A} _{K}}}.}$

Proof. By reduction to local coordinates, it is sufficient to show each ${\displaystyle K_{v}}$ is self-dual. This can be done by using a fixed character of ${\displaystyle K_{v}.}$ The idea has been illustrated by showing ${\displaystyle \mathbb {R} }$ is self-dual. Define:

${\displaystyle {\begin{cases}e_{\infty }:\mathbb {R} \to \mathbb {T} \\e_{\infty }(t):=\exp(2\pi it)\end{cases}}}$

Then the following map is an isomorphism which respects topologies:

${\displaystyle {\begin{cases}\phi :\mathbb {R} \to {\widehat {\mathbb {R} }}\\s\mapsto {\begin{cases}\phi _{s}:\mathbb {R} \to \mathbb {T} \\\phi _{s}(t):=e_{\infty }(ts)\end{cases}}\end{cases}}}$

Theorem (algebraic and continuous duals of the adele ring).^[30] Let ${\displaystyle \chi }$ be a non-trivial character of ${\displaystyle \mathbb {A} _{K},}$ which is trivial on ${\displaystyle K.}$ Let ${\displaystyle E}$ be a finite-dimensional vector-space over ${\displaystyle K.}$ Let ${\displaystyle E^{\star }}$ and ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}^{\star }}$ be the algebraic duals of ${\displaystyle E}$ and ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}.}$ Denote the topological dual of ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}}$ by ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}'}$ and use ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ and ${\displaystyle [{\cdot },{\cdot }]}$ to indicate the natural bilinear pairings on ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}\times \mathbb {A} _{E}'}$ and ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}\times \mathbb {A} _{E}^{\star }.}$ Then the formula ${\displaystyle \langle e,e'\rangle =\chi ([e,e^{\star }])}$ for all ${\displaystyle e\in \mathbb {A} _{E}}$ determines an isomorphism ${\displaystyle e^{\star }\mapsto e'}$ of ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}^{\star }}$ onto ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}',}$ where ${\displaystyle e'\in \mathbb {A} _{E}'}$ and ${\displaystyle e^{\star }\in \mathbb {A} _{E}^{\star }.}$ Moreover, if ${\displaystyle e^{\star }\in \mathbb {A} _{E}^{\star }}$ fulfils ${\displaystyle \chi ([e,e^{\star }])=1}$ for all ${\displaystyle e\in E,}$ then ${\displaystyle e^{\star }\in E^{\star }.}$

With the help of the characters of ${\displaystyle \mathbb {A} _{K},}$ Fourier analysis can be done on the adele ring.^[31] John Tate in his thesis "Fourier analysis in Number Fields and Hecke Zeta Functions"^[6] proved results about Dirichlet L-functions using Fourier analysis on the adele ring and the idele group. Therefore, the adele ring and the idele group have been applied to study the Riemann zeta function and more general zeta functions and the L-functions. Adelic forms of these functions can be defined and represented as integrals over the adele ring or the idele group, with respect to corresponding Haar measures. Functional equations and meromorphic continuations of these functions can be shown. For example, for all ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$ with ${\displaystyle \Re (s)>1,}$

${\displaystyle \int _{\widehat {\mathbb {Z} }}|x|^{s}d^{\times }x=\zeta (s),}$

where ${\displaystyle d^{\times }x}$ is the unique Haar measure on ${\displaystyle I_{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}}$ normalised such that ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}^{\times }}$ has volume one and is extended by zero to the finite adele ring. As a result, the Riemann zeta function can be written as an integral over (a subset of) the adele ring.^[32]

The theory of automorphic forms is a generalisation of Tate's thesis by replacing the idele group with analogous higher dimensional groups. To see this note:

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\mathbb {Q} }&=\operatorname {GL} (1,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} })\\I_{\mathbb {Q} }^{1}&=(\operatorname {GL} (1,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }))^{1}:=\{x\in \operatorname {GL} (1,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }):|x|=1\}\\\mathbb {Q} ^{\times }&=\operatorname {GL} (1,\mathbb {Q} )\end{aligned}}}$

Based on these identification a natural generalisation would be to replace the idele group and the 1-idele with:

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\mathbb {Q} }&\leftrightsquigarrow \operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} })\\I_{\mathbb {Q} }^{1}&\leftrightsquigarrow (\operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }))^{1}:=\{x\in \operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }):|\det(x)|=1\}\\\mathbb {Q} &\leftrightsquigarrow \operatorname {GL} (2,\mathbb {Q} )\end{aligned}}}$

And finally

${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\times }\backslash I_{\mathbb {Q} }^{1}\cong \mathbb {Q} ^{\times }\backslash I_{\mathbb {Q} }\leftrightsquigarrow (\operatorname {GL} (2,\mathbb {Q} )\backslash (\operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }))^{1}\cong (\operatorname {GL} (2,\mathbb {Q} )Z_{\mathbb {R} })\backslash \operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }),}$

where ${\displaystyle Z_{\mathbb {R} }}$ is the centre of ${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {R} ).}$ Then it define an automorphic form as an element of ${\displaystyle L^{2}((\operatorname {GL} (2,\mathbb {Q} )Z_{\mathbb {R} })\backslash \operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} })).}$ In other words an automorphic form is a function on ${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} })}$ satisfying certain algebraic and analytic conditions. For studying automorphic forms, it is important to know the representations of the group ${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }).}$ It is also possible to study automorphic L-functions, which can be described as integrals over ${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }).}$^[33]

Generalise even further is possible by replacing ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ with a number field and ${\displaystyle \operatorname {GL} (2)}$ with an arbitrary reductive algebraic group.

A generalisation of Artin reciprocity law leads to the connection of representations of ${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{K})}$ and of Galois representations of ${\displaystyle K}$ (Langlands program).

The idele class group is a key object of class field theory, which describes abelian extensions of the field. The product of the local reciprocity maps in local class field theory gives a homomorphism of the idele group to the Galois group of the maximal abelian extension of the global field. The Artin reciprocity law, which is a sweeping generalisation of the Gauss quadratic reciprocity law, states that the product vanishes on the multiplicative group of the number field. Thus, the global reciprocity map of the idele class group to the abelian part of the absolute Galois group of the field will be obtained.

The self-duality of the adele ring of the function field of a curve over a finite field easily implies the Riemann–Roch theorem and the duality theory for the curve.

• Cassels, John ; Fröhlich, Albrecht (1967). Teoría algebraica de números: actas de una conferencia instructiva, organizada por la London Mathematical Society (un instituto de estudios avanzados de la OTAN) . Vol. XVIII. Londres: Academic Press. ISBN. 978-0-12-163251-9.366 páginas.
• Neukirch, Jürgen (2007). Algebraische Zahlentheorie, unveränd. nachdruck der 1. aufl. edn (en alemán). vol. XIII. Berlín: Springer. ISBN 9783540375470.595 páginas.
• Weil, André (1967). Teoría básica de números . Vol. XVIII. Berlín; Heidelberg; Nueva York: Springer. ISBN 978-3-662-00048-9.294 páginas.
• Deitmar, Antón (2010). Automorphe Formen (en alemán). vol. VIII. Berlina; Heidelberg (ua): Springer. ISBN 978-3-642-12389-4.250 páginas.
• Lang, Serge (1994). Teoría algebraica de números, Textos de posgrado en matemáticas 110 (2.ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94225-4.

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