Conjunto denso

En topología y áreas relacionadas de las matemáticas , se dice que un subconjunto A de un espacio topológico X es denso en X si cada punto de X pertenece a A o bien está arbitrariamente "cerca" de los miembros de A ; por ejemplo, los números racionales son un subconjunto denso de los números reales porque cada número real es un número racional o tiene un número racional arbitrariamente cerca de él (véase aproximación diofántica ). Formalmente,${\displaystyle A}$es denso en${\displaystyle X}$si el subconjunto cerrado más pequeño de${\displaystyle X}$que contiene${\displaystyle A}$es${\displaystyle X}$mismo. ^{[ 1 ]}

Eldensidad de un espacio topológico${\displaystyle X}$es la cardinalidad más baja de un subconjunto denso de${\displaystyle X.}$

Un subconjunto${\displaystyle A}$de un espacio topológico${\displaystyle X}$Se dice que es unsubconjunto denso de${\displaystyle X}$si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

1. El subconjunto cerrado más pequeño de${\displaystyle X}$que contiene${\displaystyle A}$es${\displaystyle X}$sí mismo.
2. El cierre de${\displaystyle A}$en${\displaystyle X}$es igual a${\displaystyle X.}$Eso es,${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A=X.}$
3. El interior del complemento de${\displaystyle A}$está vacío. Es decir,${\displaystyle \operatorname {int} _{X}(X\setminus A)=\varnothing .}$
4. Cada punto en${\displaystyle X}$cualquiera pertenece a${\displaystyle A}$o es un punto límite de${\displaystyle A.}$
5. Por cada${\displaystyle x\in X,}$cada barrio${\displaystyle U}$de${\displaystyle x}$interseca${\displaystyle A;}$eso es,${\displaystyle U\cap A\neq \varnothing .}$
6. ${\displaystyle A}$interseca cada subconjunto abierto no vacío de${\displaystyle X.}$

y si${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es una base de conjuntos abiertos para la topología en${\displaystyle X}$Entonces esta lista puede ampliarse para incluir:

7. Por cada${\displaystyle x\in X,}$cada barrio básico${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$de${\displaystyle x}$interseca${\displaystyle A.}$
8. ${\displaystyle A}$interseca cada no vacío${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}.}$

Los números reales con la topología usual tienen a los números racionales como un subconjunto denso numerable , lo que muestra que la cardinalidad de un subconjunto denso de un espacio topológico puede ser estrictamente menor que la cardinalidad del espacio mismo. Los números irracionales son otro subconjunto denso, lo que muestra que un espacio topológico puede tener varios subconjuntos densos disjuntos (en particular, dos subconjuntos densos pueden ser complementos entre sí), y ni siquiera tienen por qué tener la misma cardinalidad. Quizás aún más sorprendente, tanto los racionales como los irracionales tienen interiores vacíos, lo que muestra que los conjuntos densos no tienen por qué contener ningún conjunto abierto no vacío. La intersección de dos subconjuntos abiertos densos de un espacio topológico es de nuevo densa y abierta. ^{[ prueba 1 ]} El conjunto vacío es un subconjunto denso de sí mismo. Pero todo subconjunto denso de un espacio no vacío también debe ser no vacío.

Según el teorema de aproximación de Weierstrass , cualquier función continua de valores complejos definida en un intervalo cerrado${\displaystyle [a,b]}$puede aproximarse uniformemente con la precisión deseada mediante una función polinómica . En otras palabras, las funciones polinómicas son densas en el espacio.${\displaystyle C[a,b]}$de funciones continuas de valor complejo en el intervalo${\displaystyle [a,b],}$equipado con la norma suprema .

Todo espacio métrico es denso en su completitud .

Todo espacio topológico es un subconjunto denso de sí mismo. Para un conjunto${\displaystyle X}$equipado con la topología discreta , todo el espacio es el único subconjunto denso. Cada subconjunto no vacío de un conjunto${\displaystyle X}$equipada con la topología trivial es densa, y toda topología para la cual cada subconjunto no vacío es denso debe ser trivial.

La densidad es transitiva : dados tres subconjuntos${\displaystyle A,B}$y${\displaystyle C}$de un espacio topológico${\displaystyle X}$con${\displaystyle A\subseteq B\subseteq C\subseteq X}$de tal manera que${\displaystyle A}$es denso en${\displaystyle B}$y${\displaystyle B}$es denso en${\displaystyle C}$(en la topología del subespacio respectivo ) entonces${\displaystyle A}$también es denso en${\displaystyle C.}$

La imagen de un subconjunto denso bajo una función continua sobreyectiva es también densa. La densidad de un espacio topológico (la menor de las cardinalidades de sus subconjuntos densos) es un invariante topológico .

Un espacio topológico con un subconjunto denso conexo es necesariamente conexo en sí mismo.

Las funciones continuas en espacios de Hausdorff están determinadas por sus valores en subconjuntos densos: si dos funciones continuas${\displaystyle f,g:X\to Y}$en un espacio Hausdorff${\displaystyle Y}$estar de acuerdo en un subconjunto denso de${\displaystyle X}$entonces se ponen de acuerdo en todo${\displaystyle X.}$

Para los espacios métricos existen espacios universales, en los que se pueden incrustar todos los espacios de densidad dada : un espacio métrico de densidad${\displaystyle \alpha }$es isométrico a un subespacio de${\displaystyle C\left([0,1]^{\alpha },\mathbb {R} \right),}$el espacio de funciones continuas reales en el producto de${\displaystyle \alpha }$copias del intervalo unitario . ^{[ 2 ]}

Un punto${\displaystyle x}$de un subconjunto${\displaystyle A}$de un espacio topológico${\displaystyle X}$se denomina punto límite de${\displaystyle A}$(en${\displaystyle X}$) si cada vecindario de${\displaystyle x}$también contiene un punto de${\displaystyle A}$otro que${\displaystyle x}$en sí mismo, y un punto aislado de${\displaystyle A}$De lo contrario, se dice que un subconjunto sin puntos aislados es denso en sí mismo .

Un subconjunto${\displaystyle A}$de un espacio topológico${\displaystyle X}$se llama denso en ninguna parte (en${\displaystyle X}$) si no hay ningún vecindario en${\displaystyle X}$en el cual${\displaystyle A}$es denso. De forma equivalente, un subconjunto de un espacio topológico no es denso en ningún lugar si y solo si el interior de su clausura es vacío. El interior del complemento de un conjunto no denso en ningún lugar es siempre denso. El complemento de un conjunto cerrado no denso en ningún lugar es un conjunto abierto denso. Dado un espacio topológico${\displaystyle X,}$un subconjunto${\displaystyle A}$de${\displaystyle X}$que se puede expresar como la unión de una cantidad numerable de subconjuntos no densos en ninguna parte de${\displaystyle X}$Se denomina escaso . Los números racionales, si bien son densos en los números reales, son escasos como subconjunto de los reales.

Un espacio topológico con un subconjunto denso numerable se denomina separable . Un espacio topológico es un espacio de Baire si y solo si la intersección de un número numerable de conjuntos abiertos densos es siempre densa. Un espacio topológico se denomina resoluble si es la unión de dos subconjuntos densos disjuntos. De forma más general, un espacio topológico se denomina κ-resoluble para un cardinal κ si contiene κ conjuntos densos disjuntos dos a dos.

Una incrustación de un espacio topológico${\displaystyle X}$como un subconjunto denso de un espacio compacto se llama compactificación de${\displaystyle X.}$

Un operador lineal entre espacios vectoriales topológicos${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$Se dice que está densamente definido si su dominio es un subconjunto denso de${\displaystyle X}$y si su rango está contenido dentro${\displaystyle Y.}$Véase también Extensión lineal continua .

Un espacio topológico${\displaystyle X}$es hiperconectado si y solo si todo conjunto abierto no vacío es denso en${\displaystyle X.}$Un espacio topológico es submaximal si y solo si todo subconjunto denso es abierto.

Si${\displaystyle \left(X,d_{X}\right)}$es un espacio métrico, entonces un subconjunto no vacío${\displaystyle Y}$Se dice que${\displaystyle \varepsilon }$-denso si $${\displaystyle \forall x\in X,\;\exists y\in Y{\text{ such that }}d_{X}(x,y)\leq \varepsilon .}$$

Entonces se puede demostrar que${\displaystyle D}$es denso en${\displaystyle \left(X,d_{X}\right)}$si y solo si es ε-denso para cada${\displaystyle \varepsilon >0.}$

• Teorema de Blumberg : Cualquier función real en R admite una restricción continua en un subconjunto denso de R. 
• Orden denso : tipo de ordenación de un conjunto. 
• Denso (teoría reticular)

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