Teorema de Stone-Weierstrass

En análisis matemático , el teorema de aproximación de Weierstrass establece que toda función continua definida en un intervalo cerrado $[a, b]$ puede aproximarse uniformemente con la precisión deseada mediante una función polinómica . Dado que los polinomios se encuentran entre las funciones más simples y que las computadoras pueden evaluarlos directamente, este teorema tiene relevancia tanto práctica como teórica, especialmente en la interpolación polinómica . La versión original de este resultado fue establecida por Karl Weierstrass en 1885 utilizando la transformada de Weierstrass .

Marshall H. Stone generalizó considerablemente el teorema ^{[ 1 ]} y simplificó la demostración. ^{[ 2 ]} Su resultado se conoce como el teorema de Stone-Weierstrass . El teorema de Stone-Weierstrass generaliza el teorema de aproximación de Weierstrass en dos direcciones: en lugar del intervalo real $[a, b]$ , se considera un espacio de Hausdorff compacto arbitrario $X$ , y en lugar del álgebra de funciones polinómicas, una variedad de otras familias de funciones continuas en $X$ Se demuestra que son suficientes, como se detalla a continuación . El teorema de Stone-Weierstrass es un resultado vital en el estudio del álgebra de funciones continuas en un espacio compacto de Hausdorff .

Además, existe una generalización del teorema de Stone-Weierstrass a espacios de Tychonoff no compactos , a saber, cualquier función continua en un espacio de Tychonoff se aproxima uniformemente en conjuntos compactos mediante álgebras del tipo que aparece en el teorema de Stone-Weierstrass y que se describe a continuación.

Otra generalización del teorema original de Weierstrass es el teorema de Mergelyan , que lo generaliza a funciones definidas en ciertos subconjuntos del plano complejo .

Teorema de aproximación de Weierstrass

El enunciado del teorema de aproximación, tal como lo descubrió originalmente Weierstrass, es el siguiente:

Teorema de aproximación de Weierstrass : Supongamos que $f$ es una función continua de valores reales definida en el intervalo real $[a, b]$ . Para cada $ε > 0$ , existe un polinomio $p$ tal que para todo $x$ en $[a, b]$ , tenemos $| f (x) - p (x)| < ε$ , o equivalentemente, la norma del supremo $‖ f - p ‖ < ε$ .

La página sobre polinomios de Bernstein describe una demostración constructiva del teorema anterior.

Grado de aproximación

Para funciones diferenciables, la desigualdad de Jackson limita el error de las aproximaciones mediante polinomios de un grado dado: si $f$ tiene una derivada k-ésima continua, entonces para cada $n\in \mathbb {N}$ existe un polinomio $p_{n}$ de grado como máximo $n$ de tal manera que $\lVert f-p_{n}\rVert \leq {\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{(n+1)^{k}}}\lVert f^{(k)}\rVert$ . ^{[ 3 ]}

Sin embargo, si $f$ es simplemente continua, la convergencia de las aproximaciones puede ser arbitrariamente lenta en el siguiente sentido: para cualquier secuencia de números reales positivos $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ disminuyendo a 0 existe una función $f$ de tal manera que $\lVert fp\rVert >a_{n}$ para cada polinomio $p$ de grado como máximo $n$ . ^{[ 4 ]}

Aplicaciones

Como consecuencia del teorema de aproximación de Weierstrass, se puede demostrar que el espacio $C[a, b]$ es separable : las funciones polinómicas son densas y cada función polinómica puede aproximarse uniformemente mediante una con coeficientes racionales ; solo existen unos pocos polinomios con coeficientes racionales. Dado que $C[$ $a$ $,$ $b$ $]$ $es$ metrizable y separable $,$ se deduce que $su$ cardinalidad es $como$ máximo $2ℵ₀$ $.$ $(Nota: Este resultado de$ $cardinalidad también se deduce del hecho de que una función continua en los reales queda determinada$ unívocamente por su restricción a los racionales).

Teorema de Stone-Weierstrass, versión real

El conjunto $C[a, b]$ de funciones continuas de valor real en $[a, b]$ , junto con la norma del supremo $‖ f ‖ = sup a \leq x \leq b | f (x) |$ es un álgebra de Banach , (es decir, un álgebra asociativa y un espacio de Banach tal que $‖ fg ‖ \leq ‖ f ‖ \cdot ‖ g ‖$ para todo $f$ $,$ $g$ ). El conjunto de todas las funciones polinómicas forma una subálgebra de $C[$ $a$ $,$ $b$ $]$ (es decir, un subespacio vectorial de $C[$ $a$ $,$ $b$ $]$ que es cerrado bajo la multiplicación de funciones), y el contenido del teorema de aproximación de Weierstrass es que esta subálgebra es densa en $C[$ $a$ $,$ $b$ $]$ .

Stone parte de un espacio de Hausdorff compacto arbitrario $X$ y considera el álgebra $C(X, R)$ de funciones continuas de valores reales en $X$ , con la topología inducida por la norma del supremo. Desea encontrar subálgebras de $C(X, R)$ que sean densas. Resulta que la propiedad crucial que debe satisfacer una subálgebra es que separa puntos : se dice que un conjunto $A$ de funciones definidas en $X$ separa puntos si, para cada par de puntos distintos $x$ e $y$ en $X,$ existe una función $p$ en $A$ tal que $p (x) \neq p (y)$ . Ahora podemos afirmar:

Teorema de Stone-Weierstrass (números reales) : Supongamos que $X$ es un espacio compacto de Hausdorff y $A$ es una subálgebra de $C(X, R)$ que contiene una función constante no nula. Entonces $A$ es densa en $C(X, R)$ si y solo si separa puntos.

Esto implica la afirmación original de Weierstrass ya que los polinomios en $[a, b]$ forman una subálgebra de $C[a, b]$ que contiene las constantes y separa los puntos.

Versión compacta local

Una versión del teorema de Stone-Weierstrass también es válida cuando $X$ es solo localmente compacto . Sea $C 0 (X, R)$ el espacio de funciones continuas de valor real en $X$ que se anulan en el infinito ; es decir, una función continua $f$ está en $C$ $0$ $($ $X$ $,$ $R$ $)$ si, para todo $ε$ $> 0$ , existe un conjunto compacto $K$ $\subset$ $X$ tal que $|$ $f$ $|$ $<$ $ε$ en $X$ $\$ $K$ . Nuevamente, $C$ $0$ $($ $X$ $,$ $R$ $)$ es un álgebra de Banach con la norma del supremo . Se dice que una subálgebra $A$ de $C$ $0$ $($ $X$ $,$ $R$ $)$ no se anula en ningún lugar si no todos los elementos de $A$ se anulan simultáneamente en un punto; es decir, para todo $x$ en $X$ , existe alguna $f$ en $A$ tal que $f$ $($ $x$ $) \neq 0$ . El teorema se generaliza de la siguiente manera:

Teorema de Stone-Weierstrass (espacios localmente compactos) : Supongamos que $X$ es un espacio de Hausdorff localmente compacto y $A$ es una subálgebra de $C 0 (X, R)$ . Entonces $A$ es denso en $C 0 (X, R)$ (dada la topología de convergencia uniforme ) si y solo si separa puntos y no se anula en ningún lugar.

Esta versión implica claramente la versión anterior en el caso de que $X$ sea compacto, puesto que en ese caso $C 0 (X, R) = C(X, R)$ . También existen versiones más generales del teorema de Stone-Weierstrass que debilitan la suposición de compacidad local. ^{[ 5 ]}

Aplicaciones

El teorema de Stone-Weierstrass puede utilizarse para demostrar las dos afirmaciones siguientes, que van más allá del resultado de Weierstrass.

Si $f$ es una función continua de valor real definida en el conjunto $[$ $a$ $,$ $b$ $] \times [$ $c$ $,$ $d$ $]$ y $ε$ $> 0$ , entonces existe una función polinómica $p$ en dos variables tal que $|$ $f$ $($ $x$ $,$ $y$ $) -$ $p$ $($ $x$ $,$ $y$ $) | <$ $ε$ para todo $x$ en $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ $e$ y en $[$ $c$ $,$ $d$ $]$ .
Si $X$ e $Y$ son dos espacios compactos de Hausdorff y $f : X \times Y \to R$ es una función continua, entonces para cada $ε > 0$ existen $n > 0$ y funciones continuas $f$ $1$ $, ...,$ $f$ $n$ en $X$ y funciones continuas $g$ $1$ $, ...,$ $g$ $n$ en $Y$ tales que $‖$ $f$ $- Σ$ $f$ $i$ $g$ $i$ $‖$ $<$ $ε$ .

Teorema de Stone-Weierstrass, versión compleja

Un poco más general es el siguiente teorema, donde consideramos el álgebra $C(X,\mathbb {C} )$ de funciones continuas de valor complejo en el espacio compacto $X$ , nuevamente con la topología de convergencia uniforme. Esta es un C*-álgebra con la *-operación dada por la conjugación compleja puntual .

Teorema de Stone-Weierstrass (números complejos) — Sea $X$ ser un espacio Hausdorff compacto y dejar $S$ ser un subconjunto separador de $C(X,\mathbb {C} )$ . Entonces, el álgebra *-unitaria compleja generada por $S$ es denso en $C(X,\mathbb {C} )$ .

El álgebra *-unitaria compleja generada por $S$ consta de todas aquellas funciones que se pueden obtener de los elementos de $S$ introduciendo la función constante $1$ y sumándolas, multiplicándolas, conjugándolas o multiplicándolas por escalares complejos, y repitiendo esto un número finito de veces.

Este teorema implica la versión real, porque si una red de funciones de valor complejo se aproxima uniformemente a una función dada, $f_{n}\to f$ , entonces las partes reales de esas funciones se aproximan uniformemente a la parte real de esa función, $\operatorname {Re} f_{n}\to \operatorname {Re} f$ y porque para subconjuntos reales, $S\subset C(X,\mathbb {R} )\subset C(X,\mathbb {C} ),$ tomar las partes reales del álgebra unitaria compleja (autoadjunta) generada coincide con el álgebra unitaria real generada.

Al igual que en el caso real, un análogo de este teorema es válido para espacios de Hausdorff localmente compactos.

A continuación se muestra una aplicación de esta versión compleja.

Series de Fourier : El conjunto de combinaciones lineales de funciones $e n (x) = e 2 πinx, n \in Z$ es denso en $C([0, 1]/{0, 1})$ , donde identificamos los extremos del intervalo $[0, 1]$ para obtener un círculo. Una consecuencia importante de esto es que las $e n$ son una base ortonormal del espacio $L 2 ([0, 1])$ de funciones de cuadrado integrable en $[0, 1]$ .

Teorema de Stone-Weierstrass, versión de cuaterniones

Siguiendo a Holladay (1957) , consideremos el álgebra $C(X, H)$ de funciones continuas con valores cuaternionales en el espacio compacto $X$ , nuevamente con la topología de convergencia uniforme.

Si un cuaternión $q$ se escribe en la forma ${\textstyle q=a+ib+jc+kd}$

Su parte escalar $a$ es el número real. ${\frac {q-iqi-jqj-kqk}{4}}$ .

Asimismo

La parte escalar de $- qi$ es $b$ , que es el número real. ${\frac {-qi-iq+jqk-kqj}{4}}$ .
La parte escalar de $- qj$ es $c,$ que es el número real. ${\frac {-qj-iqk-jq+kqi}{4}}$ .
La parte escalar de $- qk$ es $d,$ que es el número real. ${\frac {-qk+iqj-jqk-kq}{4}}$ .

Entonces podemos afirmar:

Teorema de Stone-Weierstrass (números cuaterniones) : Supongamos que $X$ es un espacio compacto de Hausdorff y $A$ es una subálgebra de $C(X, H)$ que contiene una función constante no nula. Entonces $A$ es denso en $C(X, H)$ si y solo si separa puntos .

Teorema de Stone-Weierstrass, versión en álgebra C*.

El espacio de funciones continuas de valores complejos en un espacio de Hausdorff compacto $X$ es decir $C(X,\mathbb {C} )$ es el ejemplo canónico de un álgebra C* conmutativa unitaria ${\mathfrak {A}}$ . El espacio X puede considerarse como el espacio de estados puros en ${\mathfrak {A}}$ , con la topología débil-* . Siguiendo la pista anterior, una extensión no conmutativa del teorema de Stone-Weierstrass, que aún no se ha resuelto, es la siguiente:

Conjetura : si un álgebra C* unitaria ${\mathfrak {A}}$ tiene una subálgebra C* ${\mathfrak {B}}$ que separa los estados puros de ${\mathfrak {A}}$ , entonces ${\mathfrak {A}}={\mathfrak {B}}$ .

En 1960, Jim Glimm demostró una versión más débil de la conjetura anterior.

Teorema de Stone-Weierstrass (álgebras C*) ^{[ 6 ]} — Si un álgebra C* unitaria ${\mathfrak {A}}$ tiene una subálgebra C* ${\mathfrak {B}}$ que separa el espacio de estados puros (es decir, el cierre débil-* de los estados puros) de ${\mathfrak {A}}$ , entonces ${\mathfrak {A}}={\mathfrak {B}}$ .

Versiones reticulares

Sea $X$ un espacio compacto de Hausdorff. La demostración original del teorema de Stone utilizó la idea de retículos en $C(X, R)$ . Un subconjunto $L$ de $C(X, R)$ se denomina retículo si para cualesquiera dos elementos $f$ $,$ $g$ $\in$ $L$ , las funciones $max{$ $f$ $,$ $g$ $} y min{$ $f$ $,$ $g$ $}$ también pertenecen a $L.$ La versión reticular del teorema de Stone-Weierstrass establece:

Teorema de Stone-Weierstrass (retículos) : Supongamos que $X$ es un espacio compacto de Hausdorff con al menos dos puntos y $L$ es un retículo en $C(X, R)$ con la propiedad de que para cualesquiera dos elementos distintos $x$ e $y$ de $X$ y cualesquiera dos números reales $a$ y $b$ existe un elemento $f$ $\in$ $L$ tal que $f$ $($ $x$ $) =$ $a$ y $f$ $($ $y$ $) =$ $b$ . Entonces $L$ es denso en $C($ $X$ $,$ $R$ $)$ .

Las versiones anteriores de Stone–Weierstrass se pueden demostrar a partir de esta versión una vez que se comprende que la propiedad reticular también se puede formular utilizando el valor absoluto $| f |$ que a su vez se puede aproximar mediante polinomios en $f$ . Una variante del teorema se aplica a subespacios lineales de $C($ $X$ $,$ $R$ $)$ cerrados bajo max: ^[⁷^]

Teorema de Stone-Weierstrass (max-cerrado) — Supongamos que $X$ es un espacio compacto de Hausdorff y $B$ es una familia de funciones en $C(X, R)$ tales que

$B$ separa los puntos.
$B$ contiene la función constante 1.
Si $f$ $\in$ $B,$ entonces af $\in$ $B$ $para$ todas las constantes $a$ $\in$ $R.$
Si $f$ $,$ $g$ $\in$ $B$ , entonces $f$ $+$ $g$ $, max{$ $f$ $,$ $g$ $} \in$ $B$ .

Entonces $B$ es denso en $C(X, R)$ .

Hay información más precisa disponible:

Supongamos que

X

es un espacio compacto de Hausdorff con al menos dos puntos y

L

es una red en

C(X, R)

. La función

φ \in C(X, R)

pertenece a la clausura de

L

si y solo si para cada par de puntos distintos x e y en

X

y para cada

ε > 0

existe alguna

f

\in

L

para la cual

|

f

(

x

) -

φ

(

x

)| <

ε

y

|

f

(

y

) -

φ

(

y

)| <

ε

.

Teorema de Bishop

Otra generalización del teorema de Stone-Weierstrass se debe a Errett Bishop . El teorema de Bishop es el siguiente: ^{[ 8 ]}

Teorema de Bishop : Sea $A$ una subálgebra cerrada del álgebra de Banach compleja $C(X, C)$ de funciones continuas con valores complejos en un espacio compacto de Hausdorff $X$ , utilizando la norma del supremo. Para $S \subset X$ escribimos $A S = {g| S : g \in A}$ . Supongamos que $f \in C(X, C)$ tiene la siguiente propiedad:

f | S \in A S

para todo conjunto maximal

S \subset X

tal que todas las funciones reales de

A S

son constantes.

Entonces $f$ $\in$ $A$ .

Glicksberg (1962) ofrece una breve demostración del teorema de Bishop utilizando de manera esencial el teorema de Krein-Milman , así como el teorema de Hahn-Banach : el proceso de Louis de Branges (1959) . Véase también Rudin (1973 , §5.7) .

Teorema de Nachbin

El teorema de Nachbin proporciona un análogo del teorema de Stone-Weierstrass para álgebras de funciones suaves con valores complejos en una variedad suave. ^{[ 9 ]} El teorema de Nachbin es el siguiente: ^{[ 10 ]}

Teorema de Nachbin : Sea $A$ una subálgebra del álgebra $C \infty (M)$ de funciones suaves en una variedad suave de dimensión finita $M$ . Supongamos que $A$ separa los puntos de $M$ y también separa los vectores tangentes de $M$ : para cada punto m ∈ M y vector tangente v en el espacio tangente en m , existe una f ∈ $A$ tal que d f ( x )( v ) ≠ 0. Entonces $A$ es densa en $C \infty (M)$ .

Historia editorial

En 1885 también se publicó una versión en inglés del artículo cuyo título era Sobre la posibilidad de dar una representación analítica a una función arbitraria de variable real . ^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}^{[ 13 ]}^{[ 14 ]}^{[ 15 ]} Según el matemático Yamilet Quintana, Weierstrass "sospechaba que cualquier función analítica podía representarse mediante series de potencias ". ^{[ 15 ]}^{[ 14 ]}

Véase también

Teorema de Müntz-Szász
polinomio de Bernstein
El fenómeno de Runge demuestra que encontrar un polinomio $P$ tal que $f$ $($ $x$ $) =$ $P$ $($ $x$ $)$ para algunos $x$ $=$ $x$ $n$ finamente espaciados es una mala manera de intentar encontrar un polinomio que aproxime $f$ uniformemente. Un enfoque mejor, explicado, por ejemplo, en Rudin (1976) , pág. 160, ec. (51) y siguientes, consiste en construir polinomios $P$ que aproximen uniformemente $f$ tomando la convolución de $f$ con una familia de núcleos polinómicos elegidos adecuadamente.
El teorema de Mergelyan , relativo a las aproximaciones polinómicas de funciones complejas.

Notas

↑ Stone, MH (1937), "Aplicaciones de la teoría de anillos booleanos a la topología general", Transactions of the American Mathematical Society , 41 (3): 375– 481, doi : 10.2307/1989788 , JSTOR 1989788
↑ Stone, MH (1948), "El teorema generalizado de aproximación de Weierstrass", Mathematics Magazine , 21 (4): 167– 184, doi : 10.2307/3029750 , JSTOR 3029750 , MR 0027121 ; 21 (5), 237–254.
↑ Cheney, Elliott W. (2000). Introducción a la teoría de la aproximación (2.ª ed., reimpresión ). Providence, RI: AMS Chelsea Publ. ISBN 978-0-8218-1374-4.
↑ de la Cerda, Sofia (2023-08-09). "Aproximaciones polinómicas a funciones continuas" . The American Mathematical Monthly . 130 (7): 655. doi : 10.1080/00029890.2023.2206324 . ISSN 0002-9890 .
↑ Willard, Stephen (1970). Topología general . Addison-Wesley. pág . 293. ISBN 0-486-43479-6.
↑ Glimm, James (1960). "Un teorema de Stone-Weierstrass para álgebras C*". Annals of Mathematics . Segunda serie. 72 (2): 216–244 [Teorema 1]. doi : 10.2307/1970133 . JSTOR 1970133 .
↑ Hewitt, E .; Stromberg, K. (1965), Análisis real y abstracto , Springer-Verlag, Capítulo II, Teorema 7.29
↑ Bishop, Errett (1961), "Una generalización del teorema de Stone-Weierstrass" , Pacific Journal of Mathematics , 11 (3): 777–783 , doi : 10.2140/pjm.1961.11.777
^ Nachbin, L. (1949), "Sur les algèbres densas de funciones diferenciables sur une variété", CR Acad. Ciencia. París , 228 : 1549-1551
↑ Llavona, José G. (1986), Aproximación de funciones continuamente diferenciables , Ámsterdam: North-Holland, ISBN 9780080872414
↑ Pinkus, Allan. "Weierstrass y la teoría de la aproximación" ( PDF) . Journal of Approximation Theory . 107 (1): 8. ISSN 0021-9045 . OCLC 4638498762. Archivado (PDF) del original el 19 de octubre de 2013. Recuperado el 3 de julio de 2021 .
↑ Pinkus, Allan (2004). " Métodos de densidad y resultados en teoría de la aproximación" . Volumen del Centenario de Orlicz . Publicaciones del Centro Banach. 64. Instituto de Matemáticas, Academia Polaca de Ciencias : 3. CiteSeerX 10.1.1.62.520 . ISSN 0137-6934 . OCLC 200133324. Archivado del original el 3 de julio de 2021.
↑ Ciesielski, Zbigniew ; Pełczyński, Aleksander ; Skrzypczak, Leszek (2004). Volumen del centenario de Orlicz : actas de las conferencias "The Wladyslaw Orlicz Centenary Conference" y Function Spaces VII : Poznan, 20-25 de julio de 2003. Vol. I, Conferencias plenarias . Publicaciones del Centro Banach. Vol. 64. Instituto de Matemáticas. Academia Polaca de Ciencias. pág. 175. OCLC 912348549 .
1 2 Quintana, Yamilet; Pérez D. (2008). "Una revisión del teorema de aproximación de Weierstrass" . Divulgaciones Matemáticas . 16 (1): 232. OCLC 810468303. Recuperado el 3 de julio de 2021. La percepción de Weierstrass sobre las funciones analíticas era la de funciones que podían representarse mediante series de potencias . (arXiv 0611038v2).
1 2 Quintana, Yamilet (2010). "Sobre extensiones de Hilbert del teorema de Weierstrass con pesos" . Journal of Function Spaces . 8 (2). Scientific Horizon: 202. arXiv : math/0611034 . doi : 10.1155/2010/645369 . ISSN 0972-6802 . OCLC 7180746563 . (arXiv 0611034v3). Citando: DS Lubinsky, El teorema de Weierstrass en el siglo XX: una selección , en Quaestiones Mathematicae 18 (1995), 91–130.

Referencias

Holladay, John C. (1957), "El teorema de Stone-Weierstrass para cuaterniones" (PDF) , Proc. Amer. Math. Soc. , 8 : 656, doi : 10.1090/S0002-9939-1957-0087047-7.
Louis de Branges (1959), "El teorema de Stone-Weierstrass", Proc. América. Matemáticas. Soc. , 10 (5): 822– 824, doi : 10.1090/s0002-9939-1959-0113131-7.
Jan Brinkhuis y Vladimir Tikhomirov (2005) Optimización: Perspectivas y aplicaciones , Princeton University Press ISBN 978-0-691-10287-0MR 2168305 .
Glimm, James (1960), "Un teorema de Stone-Weierstrass para álgebras C*", Annals of Mathematics , Segunda serie, 72 (2): 216–244 , doi : 10.2307/1970133 , JSTOR 1970133
Glicksberg, Irving (1962), "Medidas ortogonales a álgebras y conjuntos de antisimetría", Transactions of the American Mathematical Society , 105 (3): 415– 435, doi : 10.2307/1993729 , JSTOR 1993729 .
Rudin, Walter (1976), Principios de análisis matemático (3.ª ed.), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-054235-8
Rudin, Walter (1973), Análisis funcional , McGraw-Hill, ISBN 0-07-054236-8.
JG Burkill, Lecciones sobre aproximación mediante polinomios (PDF).

Obras históricas

La publicación histórica de Weierstrass (en alemán ) está disponible gratuitamente en el archivo digital en línea de la Academia de Ciencias de Brandeburgo de Berlín :

K. Weierstrass (1885). Über die analytische Darstellbarkeit sogenannter willkürlicher Functionen einer reellen Veränderlichen. Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin , 1885 (II).
Erste Mitteilung (parte 1) págs. 633–639, Zweite Mitteilung (parte 2) págs.

Enlaces externos

"Teorema de Stone-Weierstrass" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]

[1] Stone, MH (1937), "Aplicaciones de la teoría de anillos booleanos a la topología general", Transactions of the American Mathematical Society , 41 (3): 375– 481, doi : 10.2307/1989788 , JSTOR 1989788

[2] Stone, MH (1948), "El teorema generalizado de aproximación de Weierstrass", Mathematics Magazine , 21 (4): 167– 184, doi : 10.2307/3029750 , JSTOR 3029750 , MR 0027121 ; 21 (5), 237–254.

[3] Cheney, Elliott W. (2000). Introducción a la teoría de la aproximación (2.ª ed., reimpresión ). Providence, RI: AMS Chelsea Publ. ISBN 978-0-8218-1374-4.

[4] Cerda, Sofia (2023-08-09). "Aproximaciones polinómicas a funciones continuas" . The American Mathematical Monthly . 130 (7): 655. doi : 10.1080/00029890.2023.2206324 . ISSN 0002-9890 .

[Willard-5] Willard, Stephen (1970). Topología general . Addison-Wesley. pág . 293. ISBN 0-486-43479-6.

[6] Glimm, James (1960). "Un teorema de Stone-Weierstrass para álgebras C*". Annals of Mathematics . Segunda serie. 72 (2): 216–244 [Teorema 1]. doi : 10.2307/1970133 . JSTOR 1970133 .

[7] Hewitt, E .; Stromberg, K. (1965), Análisis real y abstracto , Springer-Verlag, Capítulo II, Teorema 7.29

[8] Bishop, Errett (1961), "Una generalización del teorema de Stone-Weierstrass" , Pacific Journal of Mathematics , 11 (3): 777–783 , doi : 10.2140/pjm.1961.11.777

[9] Nachbin, L. (1949), "Sur les algèbres densas de funciones diferenciables sur une variété", CR Acad. Ciencia. París , 228 : 1549-1551

[10] Llavona, José G. (1986), Aproximación de funciones continuamente diferenciables , Ámsterdam: North-Holland, ISBN 9780080872414

[11] Pinkus, Allan. "Weierstrass y la teoría de la aproximación" ( PDF) . Journal of Approximation Theory . 107 (1): 8. ISSN 0021-9045 . OCLC 4638498762. Archivado (PDF) del original el 19 de octubre de 2013. Recuperado el 3 de julio de 2021 .

[12] Pinkus, Allan (2004). " Métodos de densidad y resultados en teoría de la aproximación" . Volumen del Centenario de Orlicz . Publicaciones del Centro Banach. 64. Instituto de Matemáticas, Academia Polaca de Ciencias : 3. CiteSeerX 10.1.1.62.520 . ISSN 0137-6934 . OCLC 200133324. Archivado del original el 3 de julio de 2021.

[13] Ciesielski, Zbigniew ; Pełczyński, Aleksander ; Skrzypczak, Leszek (2004). Volumen del centenario de Orlicz : actas de las conferencias "The Wladyslaw Orlicz Centenary Conference" y Function Spaces VII : Poznan, 20-25 de julio de 2003. Vol. I, Conferencias plenarias . Publicaciones del Centro Banach. Vol. 64. Instituto de Matemáticas. Academia Polaca de Ciencias. pág. 175. OCLC 912348549 .

[arxiv_0611038v2-14] 1 2 Quintana, Yamilet; Pérez D. (2008). "Una revisión del teorema de aproximación de Weierstrass" . Divulgaciones Matemáticas . 16 (1): 232. OCLC 810468303. Recuperado el 3 de julio de 2021. La percepción de Weierstrass sobre las funciones analíticas era la de funciones que podían representarse mediante series de potencias . (arXiv 0611038v2).

[arxiv_0611034v3-15] 1 2 Quintana, Yamilet (2010). "Sobre extensiones de Hilbert del teorema de Weierstrass con pesos" . Journal of Function Spaces . 8 (2). Scientific Horizon: 202. arXiv : math/0611034 . doi : 10.1155/2010/645369 . ISSN 0972-6802 . OCLC 7180746563 . (arXiv 0611034v3). Citando: DS Lubinsky, El teorema de Weierstrass en el siglo XX: una selección , en Quaestiones Mathematicae 18 (1995), 91–130.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]