Transformación de Weierstrass

En matemáticas , la transformada de Weierstrass ^{[ 1 ]} de una función${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, que lleva el nombre de Karl Weierstrass , es una versión "suavizada" de${\displaystyle f(x)}$obtenido promediando los valores de${\displaystyle f}$, ponderado con una gaussiana centrada en${\displaystyle x}$.

Específicamente, es la función${\displaystyle F}$definido por

${\displaystyle F(x)={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(y)\;e^{-{\frac {(xy)^{2}}{4}}}\;dy={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(xy)\;e^{-{\frac {y^{2}}{4}}}\;dy~,}$

la convolución de${\displaystyle f}$con la función gaussiana

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}e^{-x^{2}/4}~.}$

El factor${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}}$se elige de manera que la gaussiana tenga una integral total de 1, con la consecuencia de que las funciones constantes no se modifican por la transformada de Weierstrass.

En lugar de${\displaystyle F(x)}$ uno también escribe${\displaystyle W[f](x)}$. Tenga en cuenta que${\displaystyle F(x)}$No es necesario que exista para cada número real.${\displaystyle x}$, cuando la integral definitoria no converge.

La transformada de Weierstrass está íntimamente relacionada con la ecuación del calor (o, equivalentemente, con la ecuación de difusión con coeficiente de difusión constante). Si la función${\displaystyle f}$describe la temperatura inicial en cada punto de una varilla infinitamente larga que tiene una conductividad térmica constante igual a 1, y luego la distribución de temperatura de la varilla.${\displaystyle t=1}$Las unidades de tiempo posteriores serán dadas por la función${\displaystyle F}$. Utilizando valores de${\displaystyle t}$A diferencia de 1, podemos definir la transformada de Weierstrass generalizada de${\displaystyle f}$.

La transformada generalizada de Weierstrass proporciona un medio para aproximar una función integrable dada.${\displaystyle f}$arbitrariamente bien con funciones analíticas .

Weierstrass utilizó esta transformación en su demostración original del teorema de aproximación de Weierstrass . También se la conoce como la transformación de Gauss o la transformación de Gauss-Weierstrass en honor a Carl Friedrich Gauss y como la transformación de Hille en honor a Einar Carl Hille , quien la estudió extensamente. La generalización${\displaystyle W_{t}}$Lo que se menciona a continuación se conoce en el análisis de señales como un filtro gaussiano y en el procesamiento de imágenes (cuando se implementa en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$) como un desenfoque gaussiano .

La transformación de Weierstrass asigna a cada función${\displaystyle f}$una nueva función${\displaystyle F}$; esta asignación es lineal . También es invariante a la traslación, lo que significa que la transformación de la función${\displaystyle f(x+a)}$es${\displaystyle F(x+a)}$Ambos hechos son, en general, ciertos para cualquier transformada integral definida mediante convolución.

Si la transformación${\displaystyle F(x)}$existe para los números reales${\displaystyle x=a}$y${\displaystyle x=b}$, entonces también existe para todos los valores reales intermedios y forma una función analítica allí; además,${\displaystyle F(x)}$existirá para todos los valores complejos de${\displaystyle x}$con${\displaystyle a\leq \Re (x)\leq b}$y forma una función holomorfa en esa franja del plano complejo . Esta es la declaración formal de la "suavidad" de${\displaystyle F}$mencionado anteriormente.

Si${\displaystyle f}$es integrable sobre todo el eje real (es decir,${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}$), entonces también lo es su transformación de Weierstrass${\displaystyle F}$y si además${\displaystyle f(x)\geq 0}$a pesar de${\displaystyle x}$, entonces también${\displaystyle F(x)\geq 0}$a pesar de${\displaystyle x}$y las integrales de${\displaystyle f}$y${\displaystyle F}$son iguales. Esto expresa el hecho físico de que la energía térmica total o calor se conserva según la ecuación del calor, o que la cantidad total de material que se difunde se conserva según la ecuación de difusión.

Utilizando lo anterior, se puede demostrar que para${\displaystyle 1\leq p\leq +\infty }$y${\displaystyle f\in L^{p}(\mathbb {R} )}$, tenemos${\displaystyle F\in L^{p}(\mathbb {R} )}$y${\displaystyle \left\|F\right\|_{p}\leq \left\|f\right\|_{p}}$La transformada de Weierstrass produce, por consiguiente, un operador acotado .${\displaystyle W:L^{p}(\mathbb {R} )\to L^{p}(\mathbb {R} )}$.

Si${\displaystyle f}$es suficientemente suave, entonces la transformada de Weierstrass de la${\displaystyle k}$-ésima derivada de${\displaystyle f}$es igual a la${\displaystyle k}$-ésima derivada de la transformada de Weierstrass de${\displaystyle f}$.

Existe una fórmula que relaciona la transformada de Weierstrass W con la transformada de Laplace bilateral.${\displaystyle L}$. Si definimos

${\displaystyle g(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{4}}}f(x)}$

entonces

${\displaystyle W[f](x)={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}e^{-x^{2}/4}L[g]\left(-{\frac {x}{2}}\right).}$

La siguiente fórmula, estrechamente relacionada con la transformada de Laplace de una función gaussiana y un análogo real de la transformación de Hubbard-Strattonovich , es relativamente fácil de establecer:

${\displaystyle e^{u^{2}}={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-uy}e^{-y^{2}/4}\;dy.}$

Ahora sustituya u por el operador de diferenciación formal D  = d / dx y utilice el operador de desplazamiento de Lagrange. 

${\displaystyle e^{-yD}f(x)=f(xy)}$,

(una consecuencia de la fórmula de la serie de Taylor y la definición de la función exponencial ), para obtener

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{D^{2}}f(x)&={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-yD}f(x)e^{-y^{2}/4}\;dy\\&={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x-y)e^{-y^{2}/4}\;dy=W[f](x)\end{aligned}}}$

para obtener así la siguiente expresión formal para la transformada de Weierstrass${\displaystyle W}$,

donde el operador de la derecha debe entenderse como actuando sobre la función f ( x ) como

${\displaystyle e^{D^{2}}f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {D^{2k}f(x)}{k!}}~.}$

La derivación formal anterior pasa por alto los detalles de convergencia y la fórmula.${\displaystyle W=e^{D^{2}}}$Por lo tanto, no es universalmente válido; existen varias funciones.${\displaystyle f}$que tienen una transformación de Weierstrass bien definida, pero para la cual${\displaystyle e^{D^{2}}(f)}$no puede definirse de manera significativa.

No obstante, la regla sigue siendo bastante útil y puede utilizarse, por ejemplo, para derivar las transformadas de Weierstrass de los polinomios, las funciones exponenciales y trigonométricas mencionadas anteriormente.

La inversa formal de la transformada de Weierstrass viene dada por

${\displaystyle W^{-1}=e^{-D^{2}}~.}$

Nuevamente, esta fórmula no es universalmente válida, pero puede servir como guía. Se puede demostrar que es correcta para ciertas clases de funciones si el operador del lado derecho está definido correctamente. ^{[ 2 ]}

Como alternativa, se puede intentar invertir la transformada de Weierstrass de una manera ligeramente diferente: dada la función analítica

${\displaystyle F(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}~,}$

aplicar${\displaystyle W^{-1}}$para obtener

${\displaystyle f(x)=W^{-1}[F(x)]=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}W^{-1}[x^{n}]=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}H_{n}(x/2)}$

una vez más, utilizando una propiedad fundamental de los polinomios de Hermite (de los físicos)${\displaystyle H_{n}}$.

Nuevamente, esta fórmula para${\displaystyle f(x)}$es, en el mejor de los casos, formal, ya que no se comprobó si la serie final converge. Pero si, por ejemplo,${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} )}$, entonces conocimiento de todos los derivados de${\displaystyle F}$en${\displaystyle x=0}$basta para obtener los coeficientes${\displaystyle a_{n}}$; y así reconstruir${\displaystyle f}$como una serie de polinomios de Hermite .

Un tercer método para invertir la transformada de Weierstrass aprovecha su conexión con la transformada de Laplace mencionada anteriormente, así como la conocida fórmula de inversión para dicha transformada. El resultado se presenta a continuación para las distribuciones.

Podemos utilizar la convolución con el núcleo gaussiano.$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi t}}}e^{-{\frac {x^{2}}{4t}}},\quad t>0,}$$en lugar de$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{4}}},}$$definiendo así un operador W _t , la transformada de Weierstrass generalizada.

Para valores pequeños de${\displaystyle t}$,${\displaystyle W_{t}[f]}$está muy cerca de${\displaystyle f}$pero suave. El más grande${\displaystyle t}$, cuanto más promedia y cambia este operador${\displaystyle f}$Físicamente,${\displaystyle W_{t}}$corresponde a seguir la ecuación de calor (o difusión) para${\displaystyle t}$unidades de tiempo, y esto es aditivo, $${\displaystyle W_{s}\circ W_{t}=W_{s+t},}$$ correspondiente a "difundiendo para${\displaystyle t}$unidades de tiempo, entonces${\displaystyle s}$unidades de tiempo, es equivalente a difundir para${\displaystyle s+t}$unidades de tiempo". Esto se puede extender a${\displaystyle t=0}$al establecer${\displaystyle W_{0}}$ser el operador identidad (es decir, convolución con la función delta de Dirac ), y estos luego forman un semigrupo de operadores de un parámetro .

El núcleo$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi t}}}e^{-{\frac {x^{2}}{4t}}},}$$La función utilizada para la transformada generalizada de Weierstrass a veces se denomina núcleo de Gauss-Weierstrass y es la función de Green para la ecuación de difusión.$${\displaystyle (\partial _{t}-D^{2})(e^{tD^{2}}f(x))=0,}$$en${\displaystyle \mathbb {R} }$. ${\displaystyle W_{t}}$se puede calcular a partir de${\displaystyle W}$: dada una función${\displaystyle f(x)}$, definir una nueva función$${\displaystyle f_{t}(x):=f(x{\sqrt {t}}),}$$entonces$${\displaystyle W_{t}[f](x)=W[f_{t}](x{\sqrt {t}}),}$$una consecuencia de la regla de sustitución .

La transformada de Weierstrass también puede definirse para ciertas clases de distribuciones o "funciones generalizadas". ^{[ 3 ]} Por ejemplo, la transformada de Weierstrass de la delta de Dirac es la gaussiana.$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}e^{-x^{2}/4}.}$$ En este contexto, se pueden demostrar fórmulas de inversión rigurosas, por ejemplo: $${\displaystyle f(x)=\lim _{r\to \infty }{\frac {1}{i{\sqrt {4\pi }}}}\int _{x_{0}-ir}^{x_{0}+ir}F(z)e^{\frac {(x-z)^{2}}{4}}\;dz,}$$ dónde${\displaystyle x_{0}}$es cualquier número real fijo para el cual${\displaystyle F(x_{0})}$Existe, la integral se extiende sobre la línea vertical en el plano complejo con parte real${\displaystyle x_{0}}$y el límite debe tomarse en el sentido de las distribuciones.

Además, la transformada de Weierstrass se puede definir para funciones (o distribuciones) de valor real (o complejo) definidas en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Usamos la misma fórmula de convolución que arriba, pero interpretamos la integral como extendiéndose sobre todo${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$y la expresión${\displaystyle (x-y)^{2}}$como el cuadrado de la longitud euclidiana del vector${\displaystyle x-y}$; el factor que precede a la integral debe ajustarse para que la gaussiana tenga una integral total de 1.

De forma más general, la transformada de Weierstrass se puede definir en cualquier variedad riemanniana : la ecuación del calor se puede formular allí (usando el operador de Laplace-Beltrami de la variedad ), y la transformada de Weierstrass${\displaystyle W[f]}$se obtiene siguiendo la solución de la ecuación del calor para una unidad de tiempo, comenzando con la "distribución de temperatura" inicial.${\displaystyle f}$.

Si se considera la convolución con el núcleo ${\displaystyle {\frac {1}{(1+x^{2})\pi }}}$En lugar de utilizar una función gaussiana, se obtiene la transformada de Poisson , que suaviza y promedia una función dada de manera similar a la transformada de Weierstrass.

• desenfoque gaussiano
• Filtro gaussiano
• Representación de Husimi Q
• Ecuación del calor#Soluciones fundamentales