Grupo Idele

En teoría de números , el grupo idele es una forma de empaquetar la aritmética multiplicativa de un cuerpo global en todas sus completaciones a la vez, de modo que contenga la información de la factorización única, así como los datos relativos a las unidades . Formalmente, el grupo idele de un cuerpo global${\displaystyle K}$es el producto directo restringido${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }=\prod _{v}'K_{v}^{\times }}$ de los grupos multiplicativos de las completaciones de${\displaystyle K}$, tomado con respecto a los grupos de unidades${\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}^{\times }}$en los lugares no arquimedianos . De forma equivalente, es el grupo de elementos invertibles del anillo de Adele.${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$, equipado con una topología más fina que la topología de subespacio heredada de${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$.

El cociente${\displaystyle C_{K}=\mathbb {A} _{K}^{\times }/K^{\times }}$es el grupo de clases idele . Los ideles y los grupos de clases idele se utilizan en la teoría de campos de clases . Fueron explotados por John Tate en su tesis para formular zeta global y${\displaystyle L}$-funciones y caracteres de Hecke .

Dejar${\displaystyle K}$ser un campo global y dejar${\displaystyle v}$correr por los lugares de${\displaystyle K}$. Para cada lugar${\displaystyle v}$, dejar${\displaystyle K_{v}}$denotan la finalización de${\displaystyle K}$en${\displaystyle v}$. Si${\displaystyle v}$no es arquimediano, dejemos${\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}}$sea ​​el anillo de valoración correspondiente y deje que${\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}^{\times }}$ser su grupo de unidades.

El grupo idele de${\displaystyle K}$, generalmente denotado${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }}$o${\displaystyle I_{K}}$es el producto restringido

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }=\prod _{v}'K_{v}^{\times }}$

de los grupos${\displaystyle K_{v}^{\times }}$, tomado con respecto a los subgrupos${\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}^{\times }}$en los lugares no arquimedianos. Por lo tanto, un idele es una familia

${\displaystyle x=(x_{v})_{v},\qquad x_{v}\in K_{v}^{\times },}$

de tal manera que

${\displaystyle x_{v}\in {\mathcal {O}}_{v}^{\times }}$

para todos los lugares no arquimedianos, salvo un número finito de ellos.${\displaystyle v}$La multiplicación se define componente a componente. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

De forma equivalente, el grupo idele es el grupo de elementos invertibles del anillo adele.${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$Sin embargo, su topología no es la topología de subespacio heredada de${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$; es la topología de producto restringido, o equivalentemente la topología inducida por la incrustación

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }\longrightarrow \mathbb {A} _{K}\times \mathbb {A} _{K},\qquad x\mapsto (x,x^{-1}).}$

El grupo multiplicativo${\displaystyle K^{\times }}$se incrusta diagonalmente en${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }}$. El cociente

${\displaystyle C_{K}=\mathbb {A} _{K}^{\times }/K^{\times }}$

se llama el grupo de clases idéle de${\displaystyle K}$.

El grupo idele puede considerarse como un refinamiento topológico del grupo de ideales fraccionarios de un cuerpo numérico. Si${\displaystyle K}$es un campo numérico con un anillo de enteros${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$, todo ideal fraccionario no nulo tiene una factorización única

${\displaystyle {\mathfrak {a}}=\prod _{\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}^{n_{\mathfrak {p}}},}$

dónde${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$recorre los ideales primos distintos de cero de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$y todos los números enteros excepto un número finito${\displaystyle n_{\mathfrak {p}}}$son cero. Por lo tanto, el grupo de ideales fraccionarios registra, para cada lugar finito de${\displaystyle K}$, una valoración integral.

Un idele registra datos de valoración local similares, pero con información local adicional. Para un idele${\displaystyle x=(x_{v})_{v}}$, el componente${\displaystyle x_{\mathfrak {p}}\in K_{\mathfrak {p}}^{\times }}$en un lugar finito determina un número entero${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}(x_{\mathfrak {p}})}$. Desde${\displaystyle x_{\mathfrak {p}}}$es una unidad para todos excepto para un número finito de ellos.${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$Estos números enteros definen un ideal fraccional.

${\displaystyle (x)_{\mathrm {fin} }=\prod _{\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}^{v_{\mathfrak {p}}(x_{\mathfrak {p}})}.}$

Esto proporciona un homomorfismo sobreyectivo del grupo idele al grupo de ideales fraccionarios. La incrustación diagonal${\displaystyle K^{\times }\hookrightarrow \mathbb {A} _{K}^{\times }}$envía un elemento${\displaystyle a\in K^{\times }}$al ideal principal cuyo ideal fraccional asociado es el ideal principal.${\displaystyle (a)}$. En consecuencia, al pasar a cocientes se obtiene una sobreyección natural.

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }/K^{\times }\longrightarrow \operatorname {Cl} (K),}$

del grupo de clases idélicas al grupo de clases ideales ordinarias. ^{[ 3 ]}

De este modo, el grupo de clases idele amplía el grupo de clases ideal. Extiende los datos primos finitos medidos por ideales fraccionarios con los grupos unitarios en lugares finitos y los grupos multiplicativos en lugares arquimedianos. Esta información topológica adicional es importante en la teoría de cuerpos de clases y en la teoría de caracteres de Hecke, donde los caracteres del grupo de clases idele reemplazan a los caracteres definidos únicamente en grupos de clases ideal o grupos de clases de rayos.

Aunque el grupo idele${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }}$es el grupo de elementos invertibles del anillo de Adele${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$, por lo general no está equipado con la topología de subespacio heredada de${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$. Con la topología de subespacio, la inversión no tiene por qué ser continua. En cambio,${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }}$se le da la topología de producto restringida

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }=\prod _{v}'K_{v}^{\times },}$

donde el producto restringido se toma con respecto a los subgrupos abiertos compactos${\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}^{\times }}$en los lugares no arquimedianos. Una base de barrios abiertos de la identidad viene dada por los productos

${\displaystyle \prod _ {v}U_ {v},}$

dónde${\displaystyle U_{v}}$es un barrio abierto de${\displaystyle 1}$en${\displaystyle K_{v}^{\times }}$y${\displaystyle U_{v}={\mathcal {O}}_{v}^{\times }}$para todos los lugares no arquimedianos, salvo un número finito de ellos.${\displaystyle v}$. Equivalentemente, esta es la topología inducida por la incrustación

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }\longrightarrow \mathbb {A} _{K}\times \mathbb {A} _{K},\qquad x\mapsto (x,x^{-1}).}$

Con esta topología,${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }}$es un grupo topológico localmente compacto. ^{[ 2 ] [ 1 ]}

Dado que el grupo idele es localmente compacto, tiene una medida de Haar , usualmente denotada${\displaystyle d^{\times }x}$Esta medida se obtiene como producto de medidas de Haar multiplicativas locales sobre los grupos.${\displaystyle K_{v}^{\times }}$En un lugar no arquimediano${\displaystyle v}$, la medida local se normaliza comúnmente de modo que

${\displaystyle \operatorname {vol} ({\mathcal {O}}_{v}^{\times })=1.}$

En el lugar real, una medida Haar multiplicativa estándar en${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }}$es

${\displaystyle d^{\times }x={\frac {dx}{|x|}},}$

hasta la multiplicación por una constante positiva; se utilizan normalizaciones análogas en lugares complejos. Estas elecciones locales se combinan para dar una medida de Haar multiplicativa en${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }}$Estas medidas se utilizan en el análisis armónico de los ideles, especialmente en la tesis de Tate y en la teoría analítica de Hecke.${\displaystyle L}$-funciones. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

El grupo idele posee un homomorfismo, generalmente llamado norma idele o módulo, en los números reales positivos. Elija el valor absoluto normalizado estándar.${\displaystyle |\cdot |_{v}}$en cada finalización${\displaystyle K_{v}}$: para un lugar no arquimediano${\displaystyle v}$, se normaliza de modo que $${\displaystyle |\varpi _ {v}|_ {v}=q_ {v}^{-1},}$$ dónde${\displaystyle \varpi _{v}}$es un uniformizador y${\displaystyle q_{v}}$es el tamaño del campo residual. En los lugares arquimedianos se utilizan los valores absolutos normalizados habituales, con el valor absoluto complejo elevado al cuadrado. Para un idele${\displaystyle x=(x_{v})_{v}}$, definir $${\displaystyle |x|_{\mathbb {A} }=\prod _{v}|x_{v}|_{v}.}$$

Este producto es finito, ya que${\displaystyle x_{v}\in {\mathcal {O}}_{v}^{\times }}$para todos los lugares no arquimedianos, salvo un número finito de ellos, y por lo tanto${\displaystyle |x_{v}|_{v}=1}$para todos excepto para un número finito de personas${\displaystyle v}$. De este modo $${\displaystyle |\cdot |_{\mathbb {A} }:\mathbb {A} _{K}^{\times }\to \mathbb {R} _{>0}}$$ es un homomorfismo de grupo continuo. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Los ideles de norma uno son los elementos en el núcleo de este homomorfismo: $${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{1}=\{x\in \mathbb {A} _{K}^{\times }:|x|_{\mathbb {A} }=1\}.}$$

Según la fórmula del producto para campos globales, cada elemento de${\displaystyle K^{\times }}$, incrustado diagonalmente en${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }}$, tiene norma ideal uno. Por lo tanto

$${\displaystyle K^{\times }\subset \mathbb {A} _{K}^{1}.}$$

El cociente $${\displaystyle C_{K}^{1}=\mathbb {A} _{K}^{1}/K^{\times }}$$ Se denomina grupo de clases idélicas de norma uno . Es un grupo compacto. ^{[ 2 ] [ 6 ]}

La norma idele desciende a un homomorfismo en el grupo de clases idele, $${\displaystyle |\cdot |_{\mathbb {A} }:C_{K}=\mathbb {A} _{K}^{\times }/K^{\times }\to \mathbb {R} _{>0},}$$ cuyo núcleo es${\displaystyle C_{K}^{1}}$Para campos numéricos, esto proporciona una secuencia exacta. $${\displaystyle 1\longrightarrow C_{K}^{1}\longrightarrow C_{K}\xrightarrow {|\cdot |_{\mathbb {A} }} \mathbb {R} _{>0}\longrightarrow 1.}$$

Por lo tanto, el grupo de clases idele no es compacto en el caso del cuerpo numérico, pero su subgrupo de norma uno módulo${\displaystyle K^{\times }}$es compacto. Esta compacidad es una de las formas idílicas de la finitud del grupo de clases ideal junto con el teorema de estructura para unidades. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Para los cuerpos numéricos, la norma idéle es sobreyectiva sobre${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$y la secuencia exacta anterior se divide después de elegir un componente arquimediano positivo. Por lo tanto${\displaystyle C_{K}}$es, de forma no canónica o después de tal elección, un producto del grupo compacto${\displaystyle C_{K}^{1}}$con${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$. Para campos de funciones globales, la imagen de la norma idélica es en cambio un subgrupo discreto de${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$, por lo que el cociente correspondiente es discreto e isomorfo a un grupo cíclico infinito. ^{[ 2 ] [ 1 ]}

Dejar${\displaystyle L/K}$ser una extensión finita de campos globales. Para cada lugar${\displaystyle v}$de${\displaystyle K}$y cada lugar${\displaystyle w}$de${\displaystyle L}$acostado arriba${\displaystyle v}$, hay un mapa de normas locales

${\displaystyle N_{L_{w}/K_{v}}:L_{w}^{\times }\longrightarrow K_{v}^{\times }.}$

Estos mapas de normas locales se combinan para dar un homomorfismo continuo en grupos idélicos.

${\displaystyle N_{L/K}:\mathbb {A} _{L}^{\times }\longrightarrow \mathbb {A} _{K}^{\times }.}$

Si${\displaystyle y=(y_{w})_{w}\in \mathbb {A} _{L}^{\times }}$, entonces el${\displaystyle v}$-componente de${\displaystyle N_{L/K}(y)}$es

${\displaystyle \left(N_{L/K}(y)\right)_{v}=\prod _{w\mid v}N_{L_{w}/K_{v}}(y_{w}).}$

Este producto es finito para cada fijo${\displaystyle v}$. Además, para todos los lugares no arquimedianos, salvo un número finito de ellos${\displaystyle w}$, el componente${\displaystyle y_{w}}$se encuentra en${\displaystyle {\mathcal {O}}_{w}^{\times }}$y su norma local reside en${\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}^{\times }}$. Por eso${\displaystyle N_{L/K}(y)}$es nuevamente un idele de${\displaystyle K}$La continuidad se deduce de la continuidad de las aplicaciones de norma local y de la topología de producto restringido. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

El mapa de normas es compatible con los ídeles principales. Si${\displaystyle a\in L^{\times }}$está incrustado diagonalmente en${\displaystyle \mathbb {A} _{L}^{\times }}$, entonces

${\displaystyle N_{L/K}(a)}$

es el principal ideal de${\displaystyle K}$asociado con la norma de campo${\displaystyle N_{L/K}(a)\in K^{\times }}$. En consecuencia, la norma idele desciende a un homomorfismo continuo en grupos de clases idele,

${\displaystyle N_{L/K}:C_{L}\longrightarrow C_{K},}$

dónde${\displaystyle C_{L}=\mathbb {A} _{L}^{\times }/L^{\times }}$y${\displaystyle C_{K}=\mathbb {A} _{K}^{\times }/K^{\times }}$.

La incrustación de${\displaystyle K}$en${\displaystyle L}$también proporciona un homomorfismo natural

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }\longrightarrow \mathbb {A} _{L}^{\times }.}$

Explícitamente, un idele${\displaystyle x=(x_{v})_{v}}$de${\displaystyle K}$se envía al idel cuyo componente en${\displaystyle w\mid v}$es la imagen de${\displaystyle x_{v}}$en${\displaystyle L_{w}^{\times }}$. Bajo esta incrustación,

${\displaystyle N_{L/K}(x)=x^{[L:K]},}$

donde la potencia se toma componente por componente. Esto se deduce de la identidad

${\displaystyle \prod _{w\mid v}N_{L_{w}/K_{v}}(x_{v})=x_{v}^{\sum _{w\mid v}[L_{w}:K_{v}]}=x_{v}^{[L:K]}.}$

La norma de extensión de campo debe distinguirse de la norma o módulo idele.${\displaystyle |x|_{\mathbb {A} }}$. Sin embargo, son compatibles: con los valores absolutos normalizados estándar,

${\displaystyle |N_{L/K}(y)|_{\mathbb {A} _{K}}=|y|_{\mathbb {A} _{L}}.}$

En particular,${\displaystyle N_{L/K}}$mapea el grupo idélico de norma uno${\displaystyle \mathbb {A} _{L}^{1}}$en${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{1}}$e induce un homomorfismo

${\displaystyle C_{L}^{1}\longrightarrow C_{K}^{1}.}$

En la teoría del campo de clases global, la imagen${\displaystyle N_{L/K}(C_{L})}$se denomina subgrupo de norma de${\displaystyle C_{K}}$Para una extensión abeliana finita${\displaystyle L/K}$, el mapa de reciprocidad global de Artin identifica el cociente

${\displaystyle C_{K}/N_{L/K}(C_{L})}$

con el grupo Galois${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$, hasta la convención habitual relativa al Frobenius aritmético o geométrico. ^{[ 3 ] [ 6 ] [ 7 ]}

Para${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$, el anillo finito de Adele es

${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,\mathrm {fin} }=\prod _{p}'\mathbb {Q} _{p},}$

y los adeles integrales finitos son

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}=\prod _{p}\mathbb {Z} _{p}.}$

Los ideales finitos son

${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,\mathrm {fin} }^{\times }=\prod _{p}'\mathbb {Q} _{p}^{\times },}$

donde el producto restringido se toma con respecto a${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{\times }}$. El grupo idele de${\displaystyle \mathbb {Q} }$es

${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }^{\times }=\mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,\mathrm {fin} }^{\times }\times \mathbb {R} ^{\times }.}$

Cada clase idélica tiene un representante de la forma

${\displaystyle (u,t)\in {\widehat {\mathbb {Z} }}^{\times }\times \mathbb {R} _{>0}.}$

De hecho, multiplicar por un número racional cambia las valoraciones finitas y puede usarse para hacer que todos los componentes finitos${\displaystyle p}$unidades -ádicas; el factor real positivo restante registra la norma idele. Por lo tanto

${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }^{\times }/\mathbb {Q} ^{\times }\cong {\widehat {\mathbb {Z} }}^{\times }\times \mathbb {R} _{>0}.}$

De manera similar, las clases idele de norma uno son

${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }^{1}/\mathbb {Q} ^{\times }\cong {\widehat {\mathbb {Z} }}^{\times }.}$

Esto refleja el hecho de que${\displaystyle \mathbb {Q} }$tiene un grupo de clases ideales trivial: la parte finita restante del grupo de clases ideales proviene de los grupos de unidades locales.${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{\times }}$.

El grupo de clases idele produce una formulación de la teoría de campos de clases . La teoría global de campos de clases describe las extensiones abelianas de un campo global.${\displaystyle K}$en términos de cocientes topológicos de${\displaystyle C_{K}=\mathbb {A} _{K}^{\times }/K^{\times }.}$

El resultado principal es la ley de reciprocidad global de Artin . En una formulación, para cada extensión abeliana finita${\displaystyle L/K}$existe un homomorfismo de reciprocidad canónico $${\displaystyle \theta _{L/K}:C_{K}\longrightarrow \operatorname {Gal} (L/K),}$$ cuyo núcleo es el subgrupo de norma${\displaystyle N_{L/K}(C_{L})\subset C_{K}.}$

El homomorfismo de reciprocidad induce un isomorfismo. $${\displaystyle C_{K}/N_{L/K}(C_{L})\cong \operatorname {Gal} (L/K),}$$ hasta una elección convencional de automorfismo de Frobenius aritmético o geométrico . ^{[ 3 ] [ 6 ] [ 7 ]}

Por lo tanto, extensiones abelianas finitas de${\displaystyle K}$corresponden a subgrupos abiertos de índice finito en el grupo de clases idele. Bajo esta correspondencia, una extensión${\displaystyle L/K}$está asociado con el subgrupo${\displaystyle N_{L/K}(C_{L})}$Esto reemplaza la formulación anterior de la teoría de campos de clases en términos de grupos de clases ideales, grupos de clases de rayos y condiciones de congruencia por una declaración topológica sobre cocientes de${\displaystyle C_{K}}$. ^{[ 3 ] [ 7 ]}

La formulación idílica también incorpora los mapas de reciprocidad local de la teoría del campo de clases local : para cada lugar${\displaystyle v}$de${\displaystyle K}$, la teoría del campo de clases local relaciona${\displaystyle K_{v}^{\times }}$al grupo Galois abelianizado de${\displaystyle K_{v}}$El mapa de reciprocidad global es compatible con estos mapas locales mediante la incrustación de cada grupo multiplicativo local en el grupo idele. En un lugar finito no ramificado, un uniformizador se mapea a un elemento de Frobenius, cuya inversa precisa depende de la convención utilizada para el mapa de Artin. ^{[ 3 ] [ 7 ]}

La teoría clásica de cuerpos de clases basada en ideales constituye entonces un caso especial. Los cocientes del grupo de clases de ideles por ciertos subgrupos recuperan los grupos de clases de rayos, y las extensiones abelianas correspondientes son los cuerpos de clases de rayos. En particular, el cuerpo de clases de Hilbert se obtiene a partir del cociente asociado al grupo de clases de ideales ordinario, que engloba la relación entre ideles, ideales fraccionarios y clases de ideales. ^{[ 3 ] [ 6 ]}

Para la extensión abeliana máxima${\displaystyle K^{\mathrm {ab} }}$, los mapas de reciprocidad de nivel finito son compatibles como${\displaystyle L}$varía sobre extensiones abelianas finitas de${\displaystyle K}$. Se combinan en un mapa de reciprocidad global desde el grupo de clases idele hasta${\displaystyle \operatorname {Gal} (K^{\mathrm {ab} }/K)}$. Por lo tanto, el grupo de Galois absoluto abelianizado de${\displaystyle K}$se describe mediante el sistema de cocientes finitos del grupo de clases idele. ^{[ 3 ] [ 7 ]}

Un personaje de Hecke de un campo global${\displaystyle K}$puede describirse como un homomorfismo continuo

$${\displaystyle \chi$$ :\mathbb {A} _{K}^{\times }/K^{\times }\to \mathbb {C} ^{\times },}

o equivalentemente como un carácter continuo del grupo idele${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }}$eso es trivial en el subgrupo incrustado diagonalmente${\displaystyle K^{\times }}$. Dichos caracteres son los caracteres automórficos de${\displaystyle \operatorname {GL} _{1}(\mathbb {A} _{K})}$.

Escribir un idele como${\displaystyle x=(x_{v})_{v}}$, un carácter de Hecke se descompone en caracteres locales

$${\displaystyle \chi _{v}:K_{v}^{\times }\to \mathbb {C} ^{\times },}$$

con

$${\displaystyle \chi (x)=\prod _{v}\chi _{v}(x_{v}).}$$

Para todos los lugares no arquimedianos, salvo un número finito de ellos.${\displaystyle v}$, el carácter local${\displaystyle \chi _{v}}$no está ramificado, lo que significa que es trivial en${\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}^{\times }}$En tal lugar su valor está determinado por${\displaystyle \chi _{v}(\varpi _{v})}$, dónde${\displaystyle \varpi _{v}}$es un uniformizador de${\displaystyle K_{v}}$.

Asociado a un personaje de Hecke hay un global${\displaystyle L}$-función, definida para un uso adecuado${\displaystyle s}$mediante un producto de Euler

$${\displaystyle L(s,\chi )=\prod _{v}L_{v}(s,\chi _{v}).}$$

En un lugar no arquimediano no ramificado${\displaystyle v}$, el factor local tiene la forma

$${\displaystyle L_{v}(s,\chi _{v})=\left(1-\chi _{v}(\varpi _{v})q_{v}^{-s}\right)^{-1},}$$

dónde${\displaystyle q_{v}}$es el tamaño del campo residual. Los restantes, un número finito de lugares finitos, dan factores locales ramificados , y los lugares arquimedianos contribuyen con factores gamma . Estos factores locales se combinan para formar el Hecke completo.${\displaystyle L}$-función. ^{[ 4 ] [ 8 ]}

Los caracteres de Dirichlet clásicos y los caracteres de clase ideal aparecen como casos especiales. Por ejemplo, en${\displaystyle \mathbb {Q} }$Los caracteres de Dirichlet pueden interpretarse como caracteres de Hecke de orden finito con conductores finitos prescritos . De forma más general, los caracteres de clase rayo de un cuerpo numérico pueden realizarse como caracteres de orden finito de cocientes del grupo de clases idele.

Hecke${\displaystyle L}$Las funciones - se encuentran entre los ejemplos básicos de automorfismo${\displaystyle L}$-funciones. En la tesis de Tate , la continuación analítica y la ecuación funcional de estas${\displaystyle L}$Las funciones se obtienen mediante análisis armónico en el anillo de adele y el grupo de idele. Este enfoque recupera la teoría analítica de Dirichlet.${\displaystyle L}$-funciones y el original de Hecke${\displaystyle L}$-series, al tiempo que explican su factorización local-global en términos de la estructura de producto de los ideles. ^{[ 4 ] [ 9 ]}

Para un campo numérico${\displaystyle K}$, el grupo idele refina la aritmética teórica de ideales ordinaria de${\displaystyle K}$. Dejar${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$sea ​​el anillo de enteros de${\displaystyle K}$, dejar${\displaystyle J_{K}}$sea ​​el grupo de ideales fraccionarios no nulos de${\displaystyle K}$y dejar

${\displaystyle {\widehat {\mathcal {O}}}_{K}=\prod _{\mathfrak {p}}{\mathcal {O}}_{\mathfrak {p}}}$

ser la culminación definitiva de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$, dónde${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$recorre los ideales primos distintos de cero de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$Su grupo de unidades es

${\displaystyle {\widehat {\mathcal {O}}}_{K}^{\times }=\prod _{\mathfrak {p}}{\mathcal {O}}_{\mathfrak {p}}^{\times }.}$

Dejar${\displaystyle I_{K,\mathrm {fin} }}$denotamos el grupo idele finito,

${\displaystyle I_{K,\mathrm {fin} }=\prod _{\mathfrak {p}}'K_{\mathfrak {p}}^{\times }.}$

Existe un homomorfismo sobreyectivo natural.

${\displaystyle I_{K,\mathrm {fin} }\longrightarrow J_{K}}$

definido por

${\displaystyle x=(x_{\mathfrak {p}})_{\mathfrak {p}}\longmapsto \prod _{\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}^{v_{\mathfrak {p}}(x_{\mathfrak {p}})},}$

dónde${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}}$es la valoración aditiva normalizada en${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$El producto es finito porque${\displaystyle x_{\mathfrak {p}}\in {\mathcal {O}}_{\mathfrak {p}}^{\times }}$para todos excepto para un número finito de personas${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$. El núcleo de este homomorfismo es exactamente${\displaystyle {\widehat {\mathcal {O}}}_{K}^{\times }}$. Por eso

${\displaystyle I_{K,\mathrm {fin} }/{\widehat {\mathcal {O}}}_{K}^{\times }\cong J_{K}.}$

Esto identifica el grupo de ideales fraccionarios con el cociente del grupo de ideles finitos obtenido al olvidar los componentes de la unidad local. ^{[ 1 ] [ 6 ]}

La incrustación diagonal${\displaystyle K^{\times }\hookrightarrow I_{K,\mathrm {fin} }}$es compatible con los ideales principales. Si${\displaystyle a\in K^{\times }}$, entonces el idele finito cuyos componentes son todos iguales a${\displaystyle a}$se corresponde con el ideal fraccional principal${\displaystyle (a)}$. Por lo tanto, el homomorfismo precedente desciende a un mapa cociente de clases de ideles finitos a clases de ideales. En particular,

${\displaystyle \operatorname {Cl} (K)\cong I_{K,\mathrm {fin} }/K^{\times }{\widehat {\mathcal {O}}}_{K}^{\times }.}$

De forma equivalente, utilizando el grupo idele completo,

${\displaystyle \operatorname {Cl} (K)\cong \mathbb {A} _{K}^{\times }{\big /}K^{\times }\left({\widehat {\mathcal {O}}}_{K}^{\times }\times \prod _{v\mid \infty }K_{v}^{\times }\right).}$

De este modo, el grupo de clases ideales ordinario se obtiene a partir del grupo de clases idele calculando el cociente entre los grupos de unidades locales finitas y los factores multiplicativos arquimedianos.

La misma construcción proporciona una forma útil de ver por qué los ideles contienen más información que los ideales. Pasar de un idele${\displaystyle x=(x_{v})_{v}}$a los registros ideales fraccionarios asociados solo las valoraciones${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}(x_{\mathfrak {p}})}$en los lugares finitos. Descarta los componentes de la unidad en${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathfrak {p}}^{\times }}$y también descarta los componentes arquimedianos. Estos datos locales y topológicos adicionales son precisamente los que hacen que el grupo de clases idele sea adecuado para la teoría de cuerpos de clases y para la teoría de caracteres de Hecke.

Un esbozo de la demostración es el siguiente. Para cada primo finito${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$, elige un uniformizador${\displaystyle \varpi _{\mathfrak {p}}}$de${\displaystyle K_{\mathfrak {p}}}$Cada elemento de${\displaystyle K_{\mathfrak {p}}^{\times }}$se puede escribir como${\displaystyle \varpi _{\mathfrak {p}}^{n}u}$, con${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$y${\displaystyle u\in {\mathcal {O}}_{\mathfrak {p}}^{\times }}$. Por lo tanto, el mapa de valoración registra exactamente el exponente de${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$Dado que un idele es una unidad en casi todos los lugares finitos, solo un número finito de exponentes son distintos de cero, por lo que la fórmula anterior define un ideal fraccionario. El núcleo consiste precisamente en aquellos ideles finitos con todas las valuaciones iguales a cero, a saber:${\displaystyle {\widehat {\mathcal {O}}}_{K}^{\times }}$La sobreyectividad se deduce porque cualquier ideal fraccional${\displaystyle \prod _{\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}^{n_{\mathfrak {p}}}}$está representado por el idele finito cuyo${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-componente es${\displaystyle \varpi _{\mathfrak {p}}^{n_{\mathfrak {p}}}}$para la cantidad finita de primos que aparecen en el producto y es${\displaystyle 1}$en otro lugar. Finalmente, cociente por la imagen diagonal de${\displaystyle K^{\times }}$identifica los ideales fraccionarios principales con los ideales principales, dando como resultado el grupo de clases ideal.

Los siguientes hechos estructurales estándar proporcionan descripciones equivalentes de la topología de los ideles, subgrupos relacionados y algunos resultados de compacidad y descomposición utilizados en la teoría aritmética de los ideles.