Análisis armónico

Un método de variables reales en el análisis armónico consiste en descomponer una función en una parte controlada y una colección de partes excepcionales localizadas. Un ejemplo es la descomposición de Calderón-Zygmund . Dada una función integrable${\displaystyle f}$y un umbral${\displaystyle \lambda >0}$, se seleccionan intervalos o cubos en los que el tamaño promedio de${\displaystyle f}$es más grande que${\displaystyle \lambda }$La función se escribe entonces esquemáticamente como

${\displaystyle f=g+\sum _{j}b_{j}.}$

Aquí${\displaystyle g}$es la parte "buena": está de acuerdo con${\displaystyle f}$lejos de los cubos seleccionados y su tamaño está limitado por un múltiplo constante de${\displaystyle \lambda }$. Cada${\displaystyle b_{j}}$es una parte "mala" soportada en uno de los cubos seleccionados, pero tiene cancelación:

${\displaystyle \int b_{j}=0.}$

Los cubos ocupan un conjunto cuya medida total está controlada por${\displaystyle \|f\|_{1}/\lambda }$. Por lo tanto, los lugares donde${\displaystyle f}$es demasiado grande son localizados, mientras que la parte restante es acotada y más fácil de estimar. ^{[ 1 ] [ 3 ]}

Para estimar un operador como una integral singular, se trata${\displaystyle g}$utilizando el espacio de Hilbert o${\displaystyle L^{2}}$estimaciones, donde la ortogonalidad y la acotación están disponibles. Los términos localizados${\displaystyle b_{j}}$Se tratan por separado: cerca de sus cubos de soporte, la medida total es pequeña, mientras que lejos de esos cubos, su cancelación de media cero reduce el tamaño del operador. De esta forma, una función se divide localmente según su tamaño, antes de descomponerse globalmente en frecuencias. Esta descomposición local-global es característica de muchos argumentos en el análisis armónico.

Por ejemplo, la transformada de Hilbert no está acotada en${\displaystyle L^{1}}$pero sí se mapea a tipo débil${\displaystyle L^{1,\infty }}$Una demostración toma una función${\displaystyle f\in L^{1}\cap L^{2}}$y lo descompone en un${\displaystyle \lambda }$-parte delimitada más una${\displaystyle 2\lambda }$parte acotada en media sobre una colección de subintervalos,${\displaystyle f=g+b}$Entonces uno tiene $${\displaystyle \|g\|_{2}^{2}\leq C\|g\|_{\infty }\|g\|_{1}\leq C\lambda \|f\|_{1}}$$ que limita el${\displaystyle L^{2}}$norma de${\displaystyle g}$en términos de la${\displaystyle L^{1}}$norma de${\displaystyle f}$La transformada de Hilbert está acotada en${\displaystyle L^{2}}$, así que la parte buena${\displaystyle g}$hereda el mismo límite. Porque el conjunto malo tiene una medida controlada por${\displaystyle \lambda }$, para la cota de tipo débil es suficiente estimar la transformada de Hilbert de${\displaystyle b}$lejos del conjunto malo, y aquí la cancelación produce una estimación como $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} \setminus E_{*}}|Hg|\leq C\|f\|_{1}}$$ dónde${\displaystyle E_{*}}$es una ligera ampliación del conjunto defectuoso (por ejemplo, duplicar el tamaño de cada intervalo alrededor del centro).

Los problemas de restricción de Fourier ilustran otra forma en que el análisis armónico extiende el análisis de Fourier clásico. En el análisis de Fourier elemental, la transformada de Fourier se estudia primero como una transformada en funciones en todo un espacio, como${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$Con resultados básicos sobre inversión, convolución, el teorema de Plancherel y la descomposición de funciones en frecuencias. Un problema de restricción plantea la cuestión de si la transformada de Fourier de una función puede restringirse de manera significativa a un conjunto de menor dimensión en el espacio de frecuencias, como una esfera, un cono o un paraboloide.

Si${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$, entonces${\displaystyle {\widehat {f}}}$es continuo, por lo que su restricción a una superficie lisa${\displaystyle S}$está bien definido. El problema se vuelve no trivial para funciones en${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$donde la transformada de Fourier no tiene por qué estar dada por una función definida puntualmente ordinaria. Uno se pregunta si una estimación de la forma

${\displaystyle \|{\widehat {f}}|_{S}\|_{L^{q}(S,d\sigma )}\leq C\|f\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}}$

puede sostener, donde${\displaystyle d\sigma }$es la medida de superficie en${\displaystyle S}$De forma equivalente, por dualidad, se estudia el operador de extensión.

${\displaystyle Eg(x)=\int _{S}g(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }\,d\sigma (\xi )}$

y solicita estimaciones como

${\displaystyle \|Eg\|_{L^{r}(\mathbb {R} ^{n})}\leq C\|g\|_{L^{q}(S)}.}$

En esta formulación,${\displaystyle Eg}$es una superposición de ondas planas cuyas frecuencias se encuentran en la superficie${\displaystyle S}$. ^{[ 3 ]}

El aspecto analítico de Fourier del problema es la representación oscilatoria en sí misma. Una función se describe mediante ondas con frecuencias prescritas y diferentes elecciones de${\displaystyle S}$Corresponden a diferentes situaciones geométricas o físicas. Por ejemplo, el paraboloide está relacionado con la ecuación de Schrödinger libre , mientras que el cono lo está con la ecuación de onda . El aspecto armónico-analítico es la teoría de estimación, que determina qué exponentes son posibles y cómo la respuesta depende de la curvatura, la cancelación, el escalado y la forma en que los paquetes de ondas se superponen en el espacio físico.

Las frecuencias concentradas en un hiperplano plano no se dispersan como las frecuencias en una hipersuperficie curva. Para superficies curvas, la oscilación puede forzar la cancelación y la dispersión, lo que permite estimaciones que fallarían para conjuntos planos. Un resultado básico de este tipo es el teorema de Stein-Tomas , que proporciona una${\displaystyle L^{2}}$Teorema de restricción para la esfera. Problemas de restricción más avanzados involucran estimaciones bilineales y multilineales, descomposiciones de paquetes de ondas, inducción en escalas y conexiones con la geometría de tipo Kakeya . ^{[ 3 ]}

Así, en los problemas de restricción de Fourier, el análisis de Fourier proporciona la transformada y la formulación en el espacio de frecuencias, mientras que el análisis armónico estudia las desigualdades resultantes y el comportamiento preciso de los operadores asociados.

El análisis armónico proporciona herramientas analíticas para los resultados relacionados con la medida de Lebesgue . Una de ellas es el teorema de diferenciación de Lebesgue , que establece que una función localmente integrable es casi en todas partes igual al límite de su promedio sobre bolas. La demostración utiliza estimaciones de tipo débil y funciones maximales para controlar la convergencia casi en todas partes.

El análisis armónico se utiliza en resultados clásicos de la teoría ergódica . El teorema ergódico maximal es análogo al teorema maximal de Hardy-Littlewood: acota la medida del conjunto en el que un supremo de promedios ergódicos es grande. Estas estimaciones maximales se utilizan en demostraciones del teorema ergódico de Birkhoff , donde ayudan a pasar de la convergencia en una clase densa de funciones a la convergencia casi en todas partes. ^{[ 5 ]}

Calderón demostró que las estimaciones analíticas armónicas para operadores invariantes bajo traslación pueden transferirse a promedios ergódicos asociados con transformaciones que preservan la medida. ^{[ 6 ]} Esto permite utilizar estimaciones analíticas armónicas para funciones máximas e integrales singulares en contextos ergódicos.

Trabajos posteriores sobre promedios ergódicos se han centrado en estudiar la oscilación y las desviaciones alrededor de esos promedios. Esto implica estimar variaciones cortas en${\displaystyle L^{p}}$normas, utilizando técnicas de análisis armónico. ^{[ 7 ]}

El análisis armónico está estrechamente relacionado con los espacios de Sobolev y la teoría de regularidad de ecuaciones diferenciales parciales . Los potenciales de Riesz y los operadores integrales fraccionarios se utilizan para demostrar desigualdades de tipo Sobolev, incluyendo inmersiones entre espacios L ^p y espacios de funciones débilmente diferenciables. ^{[ 2 ] [ 1 ] [ 8 ]}

Las estimaciones de integrales singulares también proporcionan información sobre derivadas débiles. Por ejemplo, los operadores de Calderón-Zygmund se utilizan para obtener estimaciones L ^p para derivadas de soluciones de ecuaciones elípticas a partir de estimaciones sobre la ecuación misma. De esta manera, las cotas armónico-analíticas para integrales singulares se convierten en estimaciones de regularidad para soluciones de ecuaciones diferenciales. ^{[ 1 ] [ 3 ]}

La teoría de Littlewood-Paley ofrece otra descripción de los espacios de funciones de Sobolev y relacionados, descomponiendo las funciones en partes a diferentes escalas o frecuencias. Este punto de vista es especialmente útil para espacios de Sobolev fraccionarios, espacios de Besov, espacios de Triebel-Lizorkin y problemas no lineales donde las estimaciones deben realizarse escala por escala. ^{[ 4 ] [ 3 ]}

El análisis armónico, en este último sentido, está estrechamente relacionado con la teoría espectral , especialmente a través del estudio del laplaciano y otros operadores diferenciales. En espacios euclidianos, variedades, espacios simétricos y grafos, las cuestiones relativas a autofunciones, autovalores, núcleos de calor y propagación de ondas se tratan a menudo mediante métodos de análisis armónico. Este punto de vista incluye problemas como la percepción auditiva de la forma de un tambor y el análisis de funciones esféricas en espacios simétricos. ^{[ 14 ]}

En el espacio euclidiano, el análisis armónico también estudia fenómenos propios de la transformada de Fourier en R ⁿ , como la invariancia rotacional, las estimaciones de restricción, las transformadas radiales de Fourier, las funciones de Bessel y los armónicos esféricos . Estos temas conectan la teoría de variables reales con las funciones especiales clásicas y con las ecuaciones diferenciales parciales. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Varias áreas más especializadas utilizan métodos armónico-analíticos. El análisis armónico en espacios simétricos y grupos localmente compactos está relacionado con la teoría de la representación. El análisis armónico en dominios tubulares está conectado con los espacios de Hardy y varias variables complejas. Las formas automórficas también pueden considerarse objetos armónico-analíticos asociados con grupos de simetría aritmética, aunque generalmente se tratan como un tema aparte estrechamente relacionado con la teoría de números y el programa de Langlands .