Análisis armónico no conmutativo

En matemáticas , el análisis armónico no conmutativo es el campo en el que los resultados del análisis de Fourier se extienden a grupos topológicos que no son conmutativos . ^{[ 1 ]} Dado que los grupos abelianos localmente compactos tienen una teoría bien comprendida, la dualidad de Pontryagin , que incluye las estructuras básicas de las series de Fourier y las transformadas de Fourier , el principal objetivo del análisis armónico no conmutativo suele ser la extensión de la teoría a todos los grupos G que son localmente compactos . El caso de los grupos compactos se entiende, cualitativamente y después del teorema de Peter-Weyl de la década de 1920, como generalmente análogo al de los grupos finitos y su teoría de caracteres .

La tarea principal se centra, por lo tanto, en el caso de G que es localmente compacto, no compacto y no conmutativo. Entre los ejemplos interesantes se incluyen numerosos grupos de Lie y también grupos algebraicos sobre cuerpos p-ádicos . Estos ejemplos son de interés y se aplican con frecuencia en física matemática y en la teoría de números contemporánea , en particular en representaciones automórficas .

Lo que cabe esperar se conoce como el resultado del trabajo fundamental de John von Neumann . Demostró que si el álgebra de grupo de von Neumann de G es de tipo I, entonces L₂ ( G ) como representación unitaria de G es una integral directa de representaciones irreducibles. Por lo tanto ^, está parametrizada por el dual unitario , el conjunto de clases de isomorfismo de dichas representaciones, al que se le da la topología de núcleo de la envoltura . El análogo del teorema de Plancherel se da abstractamente identificando una medida en el dual unitario, la medida de Plancherel , con respecto a la cual se toma la integral directa. (Para la dualidad de Pontryagin, la medida de Plancherel es alguna medida de Haar en el grupo dual de G , por lo que el único problema es su normalización). Para grupos localmente compactos generales, o incluso grupos discretos numerables, el álgebra de grupo de von Neumann no tiene por qué ser de tipo I y la representación regular de G no puede escribirse en términos de representaciones irreducibles, aunque sea unitaria y completamente reducible. Un ejemplo donde esto ocurre es el grupo simétrico infinito, donde el álgebra del grupo de von Neumann es el factor hiperfinito de tipo II _1. La teoría posterior divide la medida de Plancherel en una parte discreta y otra continua. Para grupos semisimples y clases de grupos de Lie resolubles , se dispone de una teoría muy detallada. ^{[ 2 ]}

• Fórmula de trazas de Selberg
• Programa Langlands
• teoría de la órbita de Kirillov
• Representación de series discretas
• Función esférica zonal

• "Análisis armónico no conmutativo: en honor a Jacques Carmona", Jacques Carmona, Patrick Delorme, Michèle Vergne; Editorial Springer, 2004 ISBN 0-8176-3207-7^{[ 3 ]}
• Yurii I. Lyubich. Introducción a la teoría de las representaciones de Banach de grupos . Traducido de la edición en ruso de 1985 (Járkov, Ucrania). Birkhäuser Verlag. 1988.