Estimación de la densidad espectral

En el procesamiento estadístico de señales , el objetivo de la estimación de la densidad espectral ( EDE ), o simplemente estimación espectral, es estimar la densidad espectral (también conocida como densidad espectral de potencia ) de una señal a partir de una secuencia de muestras temporales de la misma. ^{[ 1 ]} Intuitivamente, la densidad espectral caracteriza el contenido de frecuencia de la señal. Uno de los propósitos de estimar la densidad espectral es detectar periodicidades en los datos, observando picos en las frecuencias correspondientes a dichas periodicidades.

Algunas técnicas SDE asumen que una señal se compone de un número limitado (generalmente pequeño) de frecuencias generadoras más ruido, y buscan determinar la ubicación e intensidad de dichas frecuencias. Otras no hacen ninguna suposición sobre el número de componentes y buscan estimar todo el espectro generador.

El análisis espectral , también conocido como análisis en el dominio de la frecuencia o estimación de la densidad espectral, es el proceso técnico de descomponer una señal compleja en partes más simples. Como se describió anteriormente, muchos procesos físicos se describen mejor como la suma de muchos componentes de frecuencia individuales. Cualquier proceso que cuantifique las distintas magnitudes (por ejemplo, amplitudes, potencias, intensidades) en función de la frecuencia (o fase ) puede denominarse análisis espectral .

El análisis espectral se puede realizar en toda la señal. Alternativamente, una señal se puede dividir en segmentos cortos (a veces llamados tramas ), y el análisis espectral se puede aplicar a estos segmentos individuales. Las funciones periódicas (como${\displaystyle \sin(t)}$) son particularmente adecuadas para esta subdivisión. Las técnicas matemáticas generales para analizar funciones no periódicas se incluyen en la categoría de análisis de Fourier .

La transformada de Fourier de una función produce un espectro de frecuencia que contiene toda la información de la señal original, pero en una forma diferente. Esto significa que la función original puede reconstruirse ( sintetizarse ) completamente mediante una transformada inversa de Fourier . Para una reconstrucción perfecta, el analizador de espectro debe preservar tanto la amplitud como la fase de cada componente de frecuencia. Estas dos piezas de información pueden representarse como un vector bidimensional, como un número complejo o como magnitud (amplitud) y fase en coordenadas polares (es decir, como un fasor ). Una técnica común en el procesamiento de señales es considerar la amplitud al cuadrado, o potencia ; en este caso, el gráfico resultante se denomina espectro de potencia .

Debido a su reversibilidad, la transformada de Fourier se denomina representación de la función en términos de frecuencia en lugar de tiempo; por lo tanto, es una representación en el dominio de la frecuencia . Las operaciones lineales que se pueden realizar en el dominio del tiempo tienen equivalentes que a menudo se pueden realizar con mayor facilidad en el dominio de la frecuencia. El análisis de frecuencia también simplifica la comprensión e interpretación de los efectos de diversas operaciones en el dominio del tiempo, tanto lineales como no lineales. Por ejemplo, solo las operaciones no lineales o variables en el tiempo pueden crear nuevas frecuencias en el espectro de frecuencias.

En la práctica, casi todos los programas y dispositivos electrónicos que generan espectros de frecuencia utilizan una transformada discreta de Fourier (DFT), que opera sobre muestras de la señal y proporciona una aproximación matemática a la solución integral completa. La DFT se implementa casi invariablemente mediante un algoritmo eficiente llamado transformada rápida de Fourier (FFT). El conjunto de componentes de magnitud al cuadrado de una DFT es un tipo de espectro de potencia llamado periodograma , que se utiliza ampliamente para examinar las características de frecuencia de funciones sin ruido, como las respuestas de impulso de filtros y las funciones de ventana . Pero el periodograma no proporciona ganancia de procesamiento cuando se aplica a señales con ruido o incluso sinusoides con bajas relaciones señal-ruido . En otras palabras, la varianza de su estimación espectral en una frecuencia dada no disminuye a medida que aumenta el número de muestras utilizadas en el cálculo. Esto se puede mitigar promediando en el tiempo ( método de Welch ^{[ 2 ]} )  o en la frecuencia ( suavizado ). El método de Welch se utiliza ampliamente para la estimación de la densidad espectral (SDE). Sin embargo, las técnicas basadas en periodogramas introducen pequeños sesgos que resultan inaceptables en algunas aplicaciones. Por ello, en la siguiente sección se presentan otras alternativas.

Se han desarrollado muchas otras técnicas para la estimación espectral con el fin de mitigar las desventajas del periodograma básico. Estas técnicas se pueden dividir generalmente en métodos no paramétricos , paramétricos y , más recientemente , semiparamétricos (también llamados dispersos). ^{[ 3 ]} Los enfoques no paramétricos estiman explícitamente la covarianza o el espectro del proceso sin asumir que el proceso tenga ninguna estructura particular. Algunos de los estimadores más comunes utilizados para aplicaciones básicas (por ejemplo, el método de Welch ) son estimadores no paramétricos estrechamente relacionados con el periodograma. Por el contrario, los enfoques paramétricos asumen que el proceso estocástico estacionario subyacente tiene una cierta estructura que se puede describir utilizando un pequeño número de parámetros (por ejemplo, utilizando un modelo autorregresivo o de media móvil ). En estos enfoques, la tarea es estimar los parámetros del modelo que describe el proceso estocástico. Cuando se utilizan los métodos semiparamétricos, el proceso subyacente se modela utilizando un marco no paramétrico, con el supuesto adicional de que el número de componentes no nulas del modelo es pequeño (es decir, el modelo es disperso). También se pueden utilizar enfoques similares para la recuperación de datos faltantes ^{[ 4 ]} , así como para la reconstrucción de señales .

A continuación se presenta una lista parcial de técnicas de estimación de densidad espectral:

• Métodos no paramétricos en los que las muestras de señal pueden estar espaciadas de forma desigual en el tiempo ( los registros pueden estar incompletos ).
  • Análisis espectral por mínimos cuadrados , basado en el ajuste por mínimos cuadrados a frecuencias conocidas.
  • Periodograma de Lomb-Scargle , una aproximación del análisis espectral de mínimos cuadrados.
  • Transformada discreta de Fourier no uniforme
• Métodos no paramétricos para los que las muestras de señal deben estar espaciadas uniformemente en el tiempo ( los registros deben estar completos ):
  • Periodograma , el módulo al cuadrado de la transformada discreta de Fourier.
  • El método de Bartlett consiste en promediar los periodogramas tomados de múltiples segmentos de la señal para reducir la varianza de la estimación de la densidad espectral.
  • El método de Welch es una versión con ventanas del método de Bartlett que utiliza segmentos superpuestos.
  • Multitaper es un método basado en periodogramas que utiliza múltiples ventanas o ventanas para formar estimaciones independientes de la densidad espectral y así reducir la varianza de dicha estimación.
  • El análisis de espectro singular es un método no paramétrico que utiliza una descomposición en valores singulares de la matriz de covarianza para estimar la densidad espectral.
  • Transformada de Fourier de corto tiempo
  • El filtro crítico es un método no paramétrico basado en la teoría del campo de información que puede lidiar con ruido, datos incompletos y funciones de respuesta instrumental.
• Técnicas paramétricas (lista incompleta):
  • Estimación mediante modelo autorregresivo (AR), que supone que la n -ésima muestra está correlacionada con las p muestras anteriores.
  • Estimación mediante modelo de media móvil (MA), que supone que la n -ésima muestra está correlacionada con los términos de ruido de las p muestras anteriores.
  • Estimación autorregresiva de media móvil (ARMA), que generaliza los modelos AR y MA.
  • La clasificación de señales múltiples (MUSIC) es un método de superresolución muy popular .
  • La estimación de parámetros de señal mediante técnicas de invariancia rotacional (ESPRIT) es otro método de superresolución.
  • La estimación espectral de máxima entropía es un método de polos únicos útil para la estimación espectral de entropía cuando se esperan características espectrales singulares, como picos pronunciados.
• Técnicas semiparamétricas (lista incompleta):
  • Estimación basada en covarianza iterativa dispersa (SPICE), ^{[ 3 ]} y la más generalizada${\displaystyle (r,q)}$-ESPECIAS. ^{[ 5 ]}
  • Estimación mediante el Enfoque Adaptativo Iterativo (IAA). ^{[ 6 ]}
  • Lasso , similar al análisis espectral de mínimos cuadrados pero con una penalización que impone la escasez. ^{[ 7 ]}

La estimación de frecuencia es el proceso de estimar la frecuencia , amplitud y desfase de una señal en presencia de ruido , dadas suposiciones sobre el número de componentes. ^{[ 10 ]} Esto contrasta con los métodos generales mencionados anteriormente, que no hacen suposiciones previas sobre los componentes.

Suponer${\displaystyle x_{n}}$, de${\displaystyle n=0}$a${\displaystyle N-1}$es una serie temporal (tiempo discreto) con media cero. Supongamos que es la suma de un número finito de componentes periódicas (todas las frecuencias son positivas):

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{n}&=\sum _{k}A_{k}\sin(2\pi \nu _{k}n+\phi _{k})\\&=\sum _{k}A_{k}\left[\sin(\phi _{k})\cos(2\pi \nu _{k}n)+\cos(\phi _{k})\sin(2\pi \nu _{k}n)\right]\\&=\sum _{k}\left[a_{k}\cos(2\pi \nu _{k}n)+b_{k}\sin(2\pi \nu _{k}n)\right]\end{aligned}}}$$ dónde $${\displaystyle {\begin{aligned}a_{k}&=A_{k}\sin(\phi _{k}),&b_{k}&=A_{k}\cos(\phi _{k}).\end{aligned}}}$$

La varianza de${\displaystyle x_{n}}$es, para una función de media cero como la anterior, dada por

$${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}^{2}.}$$

Si estos datos fueran muestras tomadas de una señal eléctrica, esta sería su potencia promedio (la potencia es energía por unidad de tiempo, por lo que es análoga a la varianza si la energía es análoga a la amplitud al cuadrado).

Ahora, para simplificar, supongamos que la señal se extiende infinitamente en el tiempo, por lo que pasamos al límite cuando${\displaystyle N\to \infty .}$Si la potencia media está limitada, lo cual ocurre casi siempre en la realidad, entonces existe el siguiente límite, que es la varianza de los datos.

$${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}^{2}.}$$

Nuevamente, para simplificar, pasaremos al tiempo continuo y asumiremos que la señal se extiende infinitamente en el tiempo en ambas direcciones. Entonces estas dos fórmulas se convierten en:

$${\displaystyle x(t)=\sum _{k}A_{k}\sin \left(2\pi \nu _{k}t+\phi _{k}\right)}$$

y

$${\displaystyle \lim _{T\to \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}x(t)^{2}\,dt.}$$

La raíz cuadrática media de${\displaystyle \sin }$es${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$, por lo tanto la varianza de${\ Displaystyle A_ {k} \ sin (2 \ pi \ nu _ {k} t + \ phi _ {k})}$es${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}A_{k}^{2}.}$Por lo tanto, la contribución a la potencia promedio de${\displaystyle x(t)}$proveniente del componente con frecuencia${\displaystyle \nu _{k}}$es${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}A_{k}^{2}.}$Todas estas contribuciones suman la potencia promedio de${\displaystyle x(t).}$

Entonces la potencia en función de la frecuencia es${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}A_{k}^{2},}$y su función de distribución acumulativa estadística${\displaystyle S(\nu )}$será

$${\displaystyle S(\nu )={\frac {1}{2}}\sum _{k:\nu _{k}<\nu }A_{k}^{2}.}$$

${\displaystyle S}$es una función escalón , monótonamente no decreciente. Sus saltos ocurren en las frecuencias de los componentes periódicos de${\displaystyle x}$y el valor de cada salto es la potencia o varianza de ese componente.

La varianza es la covarianza de los datos consigo mismos. Si ahora consideramos los mismos datos pero con un retardo de${\displaystyle \tau }$, podemos tomar la covarianza de${\displaystyle x(t)}$con${\displaystyle x(t+\tau )}$y definimos esto como la función de autocorrelación${\displaystyle c}$de la señal (o datos)${\displaystyle x}$:

$${\displaystyle c(\tau )=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}x(t)\,x(t+\tau )\,dt.}$$

Si existe, es una función par de${\displaystyle \tau .}$Si la potencia promedio está limitada, entonces${\displaystyle c}$existe en todas partes, es finito y está limitado por${\displaystyle c(0)}$, que es la potencia o varianza promedio de los datos.

Se puede demostrar que${\displaystyle c}$puede descomponerse en componentes periódicos con los mismos períodos que${\displaystyle x}$:

$${\displaystyle c(\tau )={\tfrac {1}{2}}\sum _{k}A_{k}^{2}\cos(2\pi \nu _{k}\tau ).}$$

De hecho, esta es la descomposición espectral de${\displaystyle c}$sobre las diferentes frecuencias, y está relacionado con la distribución de potencia de${\displaystyle x}$sobre las frecuencias: la amplitud de un componente de frecuencia de${\displaystyle c}$es su contribución a la potencia media de la señal.

El espectro de potencia de este ejemplo no es continuo y, por lo tanto, no tiene derivada, lo que implica que esta señal no posee una función de densidad espectral de potencia. En general, el espectro de potencia suele ser la suma de dos partes: un espectro de línea, como en este ejemplo, que no es continuo y carece de función de densidad, y un residuo, que es absolutamente continuo y sí posee una función de densidad.

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