Multicono

En el procesamiento de señales , el análisis multitaper es una técnica de estimación de densidad espectral desarrollada por David J. Thomson . ^{[ 1 ] [ 2 ]} Puede estimar el espectro de potencia S _X de un proceso aleatorio estacionario ergódico de varianza finita X , dado una realización contigua finita de X como datos.

El método multitaper supera algunas de las limitaciones del análisis de Fourier no paramétrico . Al aplicar la transformada de Fourier para extraer información espectral de una señal, asumimos que cada coeficiente de Fourier es una representación fiable de la amplitud y la fase relativa de la frecuencia componente correspondiente. Sin embargo, esta suposición no suele ser válida para datos empíricos. Por ejemplo, un solo ensayo representa solo una realización ruidosa del proceso subyacente de interés. Una situación similar se presenta en estadística al estimar medidas de tendencia central ; es decir, no es recomendable estimar las características de una población utilizando individuos o muestras muy pequeñas. Del mismo modo, una sola muestra de un proceso no proporciona necesariamente una estimación fiable de sus propiedades espectrales. Además, la densidad espectral de potencia ingenua obtenida a partir de la transformada de Fourier bruta de la señal es una estimación sesgada del verdadero contenido espectral.

Estos problemas suelen superarse promediando múltiples realizaciones del mismo evento tras aplicar una atenuación a cada ensayo. Sin embargo, este método no es fiable con conjuntos de datos pequeños y resulta indeseable cuando no se desea atenuar los componentes de la señal que varían entre ensayos. Además, incluso con muchos ensayos disponibles, el periodograma sin atenuación suele estar sesgado (a excepción del ruido blanco), y este sesgo depende de la duración de cada realización, no del número de realizaciones registradas. La aplicación de una única atenuación reduce el sesgo, pero a costa de un aumento de la varianza del estimador debido a la atenuación de la actividad al inicio y al final de cada segmento registrado de la señal.

El método multitaper soluciona parcialmente estos problemas al obtener múltiples estimaciones independientes de la misma muestra. Cada ventana de datos se multiplica elemento a elemento por la señal para proporcionar una prueba con ventana a partir de la cual se estima la potencia en cada frecuencia componente. Dado que cada ventana es ortogonal a todas las demás, las funciones de ventana no están correlacionadas entre sí. El espectro final se obtiene promediando todos los espectros con ventanas, recuperando así parte de la información que se pierde debido a la atenuación parcial de la señal que resulta de la aplicación de ventanas individuales.

Este método resulta especialmente útil cuando se dispone de un número reducido de ensayos, ya que reduce la varianza del estimador más allá de lo que permiten los métodos de una sola etapa. Además, incluso con muchos ensayos disponibles, el enfoque de múltiples etapas es útil, puesto que permite un control más riguroso del equilibrio entre sesgo y varianza que el que se logra con el método de una sola etapa.

Thomson eligió las funciones de Slepian ^{[ 4 ]} o secuencias esferoidales proladas discretas como funciones de atenuación, ya que estos vectores son mutuamente ortogonales y poseen propiedades de concentración espectral deseables (véase la sección sobre secuencias de Slepian). En la práctica, se suele utilizar un promedio ponderado para compensar la mayor pérdida de energía en funciones de atenuación de orden superior. ^{[ 5 ]}

Consideremos un proceso estocástico estacionario de media cero de p dimensiones.

${\displaystyle \mathbf {X} (t)={\lbrack X(1,t),X(2,t),\dots ,X(p,t)\rbrack }^{T}}$

Aquí T denota la transposición de la matriz. En neurofisiología , por ejemplo, p se refiere al número total de canales y, por lo tanto,${\displaystyle \mathbf {X} (t)}$puede representar la medición simultánea de la actividad eléctrica de esos canales p . Sea el intervalo de muestreo entre observaciones.${\displaystyle \Delta t}$, de modo que la frecuencia de Nyquist sea${\displaystyle f_{N}=1/(2\Delta t)}$.

El estimador espectral multitaper utiliza varias ventanas de datos diferentes que son ortogonales entre sí. El estimador espectral cruzado multitaper entre los canales l y m es el promedio de K estimadores espectrales cruzados directos entre el mismo par de canales ( l y m ) y, por lo tanto, toma la forma

${\displaystyle {\hat {S}}^{lm}(f)={\frac {1}{K}}\sum _{k=0}^{K-1}{\hat {S}}_{k}^{lm}(f).}$

Aquí,${\displaystyle {\hat {S}}_{k}^{lm}(f)}$(para${\displaystyle 0\leq k\leq K-1}$) es el k ^-ésimo estimador espectral cruzado directo entre los canales l y m y está dado por

${\displaystyle {\hat {S}}_{k}^{lm}(f)={\frac {1}{N\Delta t}}{\lbrack J_{k}^{l}(f)\rbrack }^{*}{\lbrack J_{k}^{m}(f)\rbrack },}$

dónde

${\displaystyle J_{k}^{l}(f)=\sum _{t=1}^{N}h_{t,k}X(l,t)e^{-i2\pi ft\Delta t}.}$

El método multitaper, que no se limita a series temporales, es fácilmente extensible a múltiples dimensiones cartesianas mediante funciones de Slepian personalizadas ^{[ 8 ]} y puede reformularse para la estimación espectral en la esfera mediante funciones de Slepian construidas a partir de armónicos esféricos ^{[ 9 ]} para aplicaciones en geofísica y cosmología ^{[ 10 ] [ 11 ]} , entre otras. Un tratamiento exhaustivo sobre la aplicación de este método para analizar datos multicanal de múltiples ensayos generados en neurociencia , ingeniería biomédica y otros campos puede encontrarse aquí . Esta técnica se utiliza actualmente en el conjunto de herramientas de análisis espectral de Chronux .

• Periodograma

• Librerías C++/Octave para el método multitaper, incluyendo ponderación adaptativa (alojadas en GitHub).
• Documentación sobre el método multitaper de la implementación del kit de herramientas SSA-MTM
• Biblioteca Fortran 90 con aplicaciones multivariables adicionales
• Código base de MATLAB para generar funciones escalares esféricas de Slepian.
• Código base de MATLAB para realizar análisis de multitaper esférico
• Código base de MATLAB para generar funciones cartesianas de Slepian.
• Código base de MATLAB para generar funciones vectoriales esféricas de Slepian.
• Módulo de Python
• Paquete multitaper de R (lenguaje de programación)
• Script de S-Plus para generar secuencias de Slepian (dpss)