Periodograma

En el procesamiento de señales , un periodograma es una estimación de la densidad espectral de una señal. El término fue acuñado por Arthur Schuster en 1898. ^{[ 1 ]} Actualmente, el periodograma forma parte de métodos más sofisticados (véase estimación espectral ). Es la herramienta más común para examinar las características de amplitud frente a frecuencia de los filtros FIR y las funciones de ventana . Los analizadores de espectro FFT también se implementan como una secuencia temporal de periodogramas.

Actualmente se utilizan al menos dos definiciones diferentes. ^{[ 2 ]} Una de ellas implica el promedio temporal, ^{[ 3 ]} y la otra no. ^{[ 4 ]} El promedio temporal también es objeto de otros artículos ( método de Bartlett y método de Welch ). Este artículo no trata sobre el promedio temporal. La definición de interés aquí es que la densidad espectral de potencia de una función continua, x ( t ) , es la transformada de Fourier de su función de autocorrelación (véase Teorema de correlación cruzada , Densidad espectral y Teorema de Wiener-Khinchin ): $${\displaystyle {\mathcal {F}}\{x(t)\circledast x^{*}(-t)\}=X(f)\cdot X^{*}(f)=\left|X(f)\right|^{2}.}$$

Para valores suficientemente pequeños del parámetro T, se puede observar una aproximación arbitrariamente precisa para X ( f ) en la región ${\displaystyle -{\tfrac {1}{2T}}<f<{\tfrac {1}{2T}}}$ de la función:

$${\displaystyle X_{1/T}(f)\ \triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left(fk/T\right),}$$

que está determinado precisamente por las muestras x ( nT ) que abarcan la duración no nula de x ( t )  (véase Transformada de Fourier de tiempo discreto ).

Y para valores suficientemente grandes del parámetro N , ${\displaystyle X_{1/T}(f)}$puede evaluarse a una frecuencia arbitrariamente cercana mediante una suma de la forma:

$${\displaystyle X_{1/T}\left({\tfrac {k}{NT}}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\underbrace {T\cdot x(nT)} _{x[n]}\cdot e^{-i2\pi {\frac {kn}{N}}},}$$

donde k es un número entero. La periodicidad de ${\displaystyle e^{-i2\pi {\frac {kn}{N}}}}$ permite escribir esto de forma muy sencilla en términos de una transformada discreta de Fourier :

$${\displaystyle X_{1/T}\left({\tfrac {k}{NT}}\right)=\underbrace {\sum _{n}x_{_{N}}[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {kn}{N}}},} _{\text{DFT}}\quad \scriptstyle {{\text{(suma sobre cualquier }}n{\text{-secuencia de longitud }}N)},}$$

dónde${\displaystyle x_{_{N}}}$es una suma periódica: ${\displaystyle x_{_{N}}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }x[n-mN].}$

Cuando se evalúa para todos los enteros, k , entre 0 y N -1, el arreglo: $${\displaystyle S\left({\tfrac {k}{NT}}\right)=\left|\sum _{n}x_{_{N}}[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {kn}{N}}}\right|^{2}}$$ es un periodograma . ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

Cuando se utiliza un periodograma para examinar las características detalladas de un filtro FIR o una función de ventana , el parámetro N se elige como varios múltiplos de la duración no nula de la secuencia x [ n ] , lo que se denomina relleno de ceros (véase §  Muestreo de la DTFT ). ^{[ A ]}  Cuando se utiliza para implementar un banco de filtros , N es varios submúltiplos de la duración no nula de la secuencia x [ n ] (véase §  Muestreo de la DTFT ).

Una de las deficiencias del periodograma es que la varianza en una frecuencia dada no disminuye a medida que aumenta el número de muestras utilizadas en el cálculo. No proporciona el promedio necesario para analizar señales similares al ruido o incluso sinusoides con bajas relaciones señal-ruido. Las funciones de ventana y las respuestas impulsionales de filtro no generan ruido, pero muchas otras señales requieren métodos más sofisticados de estimación espectral . Dos de las alternativas utilizan periodogramas como parte del proceso:

• El método de periodogramas promediados , ^{[ 8 ]}  más conocido como método de Welch , ^{[ 9 ] [ 10 ]}  divide una secuencia larga x[n] en múltiples subsecuencias más cortas, y posiblemente superpuestas. Calcula un periodograma con ventana para cada una y calcula un promedio de matriz, es decir, una matriz donde cada elemento es el promedio de los elementos correspondientes de todos los periodogramas. Para procesos estacionarios , esto reduce la varianza del ruido de cada elemento en un factor aproximadamente igual al recíproco del número de periodogramas.
• El suavizado es una técnica de promediado en frecuencia, en lugar de en tiempo. El periodograma suavizado a veces se denomina gráfico espectral . ^{[ 11 ] [ 12 ]}

Las técnicas basadas en periodogramas introducen pequeños sesgos que resultan inaceptables en algunas aplicaciones. En el artículo sobre estimación de la densidad espectral se presentan otras técnicas que no dependen de periodogramas .

• Filtro compatible
• Retroproyección filtrada (transformada de Radon)
• Método de Welch
• Método de Bartlett
• Transformada de Fourier de tiempo discreto
• Análisis espectral de mínimos cuadrados , para calcular periodogramas en datos que no están igualmente espaciados.
• Clasificación de Señales Múltiples (MUSIC), un método popular de superresolución paramétrica.
• SAMV