Función de ventana

Al analizar una señal transitoria en el análisis modal , como un impulso, una respuesta a un choque, una ráfaga sinusoidal, una ráfaga chirp o una ráfaga de ruido, donde la distribución de energía en función del tiempo es extremadamente desigual, la ventana rectangular puede ser la más apropiada. Por ejemplo, cuando la mayor parte de la energía se encuentra al principio de la grabación, una ventana no rectangular atenúa la mayor parte de la energía, degradando la relación señal-ruido . ^{[ 10 ]}

Podría ser útil medir el contenido armónico de una nota musical de un instrumento específico o la distorsión armónica de un amplificador a una frecuencia determinada. Volviendo a la Figura 2 , podemos observar que no hay fugas en un conjunto discreto de frecuencias armónicamente relacionadas, muestreadas mediante la transformada discreta de Fourier (DFT). (Los nulos espectrales son en realidad cruces por cero, que no pueden representarse en una escala logarítmica como esta). Esta propiedad es exclusiva de la ventana rectangular y debe configurarse adecuadamente para la frecuencia de la señal, como se describió anteriormente.

Las ventanas triangulares vienen dadas por

${\displaystyle w[n]=1-\left|{\frac {n-{\frac {N}{2}}}{\frac {L}{2}}}\right|,\quad 0\leq n\leq N,}$

donde L puede ser N , ^{[ 20 ]} N  +  1, ^{[ 16 ] [ 21 ] [ 22 ]} o N  +  2. ^{[ 23 ]} La primera también se conoce como ventana de Bartlett o ventana de Fejér . Las tres definiciones convergen para N grande . 

La ventana triangular es una ventana B -spline de segundo orden . La forma L  = N puede considerarse como la convolución de dos ventanas rectangulares de ancho N / 2 . La transformada de Fourier del resultado son los valores al cuadrado de la transformada de la ventana rectangular de ancho reducido. 

Definiendo L ≜ N + 1 , la ventana de Parzen, también conocida como la ventana de Poussin de la Vallée , ^{[ 16 ]} es la ventana B -spline de cuarto orden dada por

${\displaystyle w_{0}(n)\triangleq \left\{{\begin{array}{ll}1-6\left({\frac {n}{L/2}}\right)^{2}\left(1-{\frac {|n|}{L/2}}\right),&0\leq |n|\leq {\frac {L}{4}}\\2\left(1-{\frac {|n|}{L/2}}\right)^{3}&{\frac {L}{4}}<|n|\leq {\frac {L}{2}}\\\end{array}}\right\}}$

${\displaystyle w[n]=\ w_{0}\left(n-{\tfrac {N}{2}}\right),\ 0\leq n\leq N}$

La ventana de Welch consta de una única sección parabólica :

${\displaystyle w[n]=1-\left({\frac {n-{\frac {N}{2}}}{\frac {N}{2}}}\right)^{2},\quad 0\leq n\leq N.}$^{[ 23 ]}

Alternativamente, se puede escribir como dos factores, como en una distribución beta :

${\displaystyle w[n]=\left(1+{\frac {n-{\frac {N}{2}}}{\frac {N}{2}}}\right)\left(1-{\frac {n-{\frac {N}{2}}}{\frac {N}{2}}}\right),\quad 0\leq n\leq N.}$

El polinomio cuadrático definitorio alcanza un valor de cero en las muestras que se encuentran justo fuera del intervalo de la ventana.

La ventana de Welch es bastante similar a la ventana sinusoidal , y así como las ventanas de potencias de seno constituyen una familia parametrizada útil, la familia de ventanas de potencias de Welch también lo es. Las potencias de la ventana de Welch o parabólica son distribuciones beta simétricas y funciones puramente algebraicas (si las potencias son racionales), a diferencia de la mayoría de las ventanas, que son funciones trascendentales. Si se utilizan exponentes diferentes en los dos factores del polinomio de Welch, el resultado es una distribución beta general, útil para crear funciones de ventana asimétricas .

Configuración${\displaystyle a_{0}=0.5;\quad a_{1}=-0.5}$produce una ventana de Hann :

${\displaystyle w[n]=\sum _{l=0}^{L-1}a_{l}\cos \left({\frac {2\pi ln}{N}}\right)=0.5-0.5\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)}$^{[ 24 ]}

Recibe su nombre de Julius von Hann y a veces se le denomina Hanning , derivado del verbo "to Hann". También se le conoce como coseno elevado , debido a su similitud con una distribución de coseno elevado .

Esta función pertenece a las familias de suma de cosenos y potencia de seno . A diferencia de la ventana de Hamming , los puntos extremos de la ventana de Hann tocan cero. Los lóbulos laterales resultantes se atenúan aproximadamente 18  dB por octava. ^{[ 25 ]}

Configuración${\displaystyle a_{0}}$Aproximadamente a 0,54, o más precisamente 25/46, se obtiene la ventana de Hamming , propuesta por Richard W. Hamming . Esta elección sitúa un cruce por cero en la frecuencia 5π / ( N  −  1), que cancela el primer lóbulo lateral de la ventana de Hann, dándole una altura de aproximadamente una quinta parte de la de la ventana de Hann. ^{[ 16 ] [ 26 ] [ 27 ]} La ​​ventana de Hamming se suele denominar pulso de Hamming cuando se utiliza para la conformación de pulsos . ^{[ 28 ] [ 29 ] [ 30 ]}

La aproximación de los coeficientes a dos decimales reduce sustancialmente el nivel de lóbulos laterales, ^{[ 16 ]} a una condición casi equirrápida. ^{[ 27 ]} En el sentido equirrápido, los valores óptimos para los coeficientes son a ₀  =  0,53836 y a ₁  =  0,46164. ^{[ 27 ] [ 31 ]}

Las ventanas de Blackman se definen como

${\displaystyle w[n]=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N}}\right),}$

${\displaystyle a_{0}={\frac {1-\alpha }{2}};\quad a_{1}={\frac {1}{2}};\quad a_{2}={\frac {\alpha }{2}}.}$

Por convención común, el término sin calificar ventana de Blackman se refiere a la "propuesta no muy seria" de Blackman de α  =  0,16 ( a ₀  =  0,42, a ₁  =  0,5, a ₂  =  0,08), que se aproxima mucho a la Blackman exacta , ^{[ 33 ]} con a ₀  =  7938/18608  ≈  0,42659, a ₁  =  9240/18608  ≈  0,49656 y a ₂  =  1430/18608  ≈  0,076849. ^{[ 34 ]} Estos valores exactos colocan ceros en el tercer y cuarto lóbulo lateral, ^{[ 16 ]}  pero dan como resultado una discontinuidad en los bordes y una caída de 6 dB/oct. Los coeficientes truncados no anulan los lóbulos laterales tan bien, pero tienen una  atenuación mejorada de 18 dB/oct. ^{[ 16 ] [ 35 ]}

La forma continua de la ventana Nuttall,${\displaystyle w_{0}(x),}$y su primera derivada son continuas en todas partes, como la función de Hann . Es decir, la función tiende a 0 en x  =  ± N /2, a diferencia de las ventanas de Blackman-Nuttall, Blackman-Harris y Hamming. La ventana de Blackman ( α  =  0,16 ) también es continua con derivada continua en el borde, pero la "ventana de Blackman exacta" no lo es.

${\displaystyle w[n]=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N}}\right)-a_{3}\cos \left({\frac {6\pi n}{N}}\right)}$

${\displaystyle a_{0}=0.355768;\quad a_{1}=0.487396;\quad a_{2}=0.144232;\quad a_{3}=0.012604.}$

${\displaystyle w[n]=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N}}\right)-a_{3}\cos \left({\frac {6\pi n}{N}}\right)}$

${\displaystyle a_{0}=0.3635819;\quad a_{1}=0.4891775;\quad a_{2}=0.1365995;\quad a_{3}=0.0106411.}$

Una generalización de la familia de Hamming, producida al agregar más funciones coseno desplazadas, destinadas a minimizar los niveles de lóbulos laterales ^{[ 36 ] [ 37 ].}

${\displaystyle w[n]=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N}}\right)}$

${\displaystyle a_{0}=0.4243801;\quad a_{1}=0.4973406;\quad a_{2}=0.0782793.}$^{[ 38 ]}

Una ventana de parte superior plana es una ventana con valores parcialmente negativos que presenta una pérdida mínima por ondulación en el dominio de la frecuencia. Esta propiedad es deseable para la medición de amplitudes de componentes de frecuencia sinusoidales. ^{[ 17 ] [ 39 ]} Sin embargo, su amplio ancho de banda resulta en un ancho de banda de ruido elevado y una selección de frecuencia más amplia, lo que, según la aplicación, podría ser una desventaja.

Las ventanas de parte superior plana se pueden diseñar utilizando métodos de diseño de filtros de paso bajo, ^{[ 39 ]} o pueden ser de la variedad habitual de suma de cosenos :

${\displaystyle {\begin{aligned}w[n]=a_{0}&{}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N}}\right)\\&{}-a_{3}\cos \left({\frac {6\pi n}{N}}\right)+a_{4}\cos \left({\frac {8\pi n}{N}}\right).\end{aligned}}}$

La variante de Matlab tiene estos coeficientes:

${\displaystyle a_{0}=0.21557895;\quad a_{1}=0.41663158;\quad a_{2}=0.277263158;\quad a_{3}=0.083578947;\quad a_{4}=0.006947368.}$

Existen otras variaciones, como lóbulos laterales que disminuyen a costa de valores más altos cerca del lóbulo principal. ^{[ 17 ]}

Las ventanas de Rife-Vincent ^{[ 40 ]} se escalan habitualmente para un valor promedio unitario, en lugar de un valor pico unitario. Los valores de los coeficientes que se muestran a continuación, aplicados a la ecuación 1 , reflejan esa práctica.

Clase I, Orden 1 ( K = 1):${\displaystyle a_{0}=1;\quad a_{1}=1}$ Funcionalmente equivalente a la ventana de Hann y potencia del seno ( α  =  2 ).

Clase I, Orden 2 ( K = 2):${\displaystyle a_{0}=1;\quad a_{1}={\tfrac {4}{3}};\quad a_{2}={\tfrac {1}{3}}}$ Funcionalmente equivalente a la potencia del seno ( α  =  4 ).

La clase I se define minimizando la amplitud del lóbulo lateral de orden superior. Los coeficientes para órdenes hasta K=4 se presentan en una tabla. ^{[ 41 ]}

La clase II minimiza el ancho del lóbulo principal para un lóbulo lateral máximo dado.

La clase III es un compromiso para el cual el orden K  =  2 se asemeja a la ventana de Blackman §  . ^{[ 41 ] [ 42 ]}

Estas funciones de ventana tienen la forma: ^{[ 47 ]}

${\displaystyle w[n]=\sin ^{\alpha }\left({\frac {\pi n}{N}}\right)=\cos ^{\alpha }\left({\frac {\pi n}{N}}-{\frac {\pi }{2}}\right),\quad 0\leq n\leq N.}$

La ventana rectangular ( α  =  0 ), la ventana sinusoidal ( α  =  1 ) y la ventana de Hann ( α  =  2 ) pertenecen a esta familia.

Para valores enteros pares de α, estas funciones también pueden expresarse en forma de suma de cosenos:

${\displaystyle w[n]=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N}}\right)-a_{3}\cos \left({\frac {6\pi n}{N}}\right)+a_{4}\cos \left({\frac {8\pi n}{N}}\right)-...}$

${\displaystyle {\begin{array}{l|llll}\hline \alpha &a_{0}&a_{1}&a_{2}&a_{3}&a_{4}\\\hline 0&1\\2&0.5&0.5\\4&0.375&0.5&0.125\\6&0.3125&0.46875&0.1875&0.03125\\8&0.2734375&0.4375&0.21875&0.0625&7.8125\times 10^{-3}\\\hline \end{array}}}$

La transformada de Fourier de una gaussiana también es una gaussiana. Dado que el soporte de una función gaussiana se extiende hasta el infinito, debe truncarse en los extremos de la ventana o bien, dividirse en dos ventanas con extremos en cero. ^{[ 48 ]}

Dado que el logaritmo de una gaussiana produce una parábola , esto puede utilizarse para una interpolación cuadrática casi exacta en la estimación de frecuencias . ^{[ 49 ] [ 48 ] [ 50 ]}

${\displaystyle w[n]=\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left({\frac {n-N/2}{\sigma N/2}}\right)^{2}\right),\quad 0\leq n\leq N.}$

${\displaystyle \sigma \leq \;0.5\,}$

La desviación estándar de la función gaussiana es σ  · N /2 periodos de muestreo. 

La ventana gaussiana confinada produce el ancho de frecuencia cuadrático medio σ _ω más pequeño posible para un ancho temporal dado ( N + 1) σ _t . ^{[ 51 ]} Estas ventanas optimizan los productos de ancho de banda tiempo-frecuencia RMS. Se calculan como los vectores propios mínimos de una matriz dependiente de parámetros. La familia de ventanas gaussianas confinadas contiene la ventana §  Sine y la ventana §  Gaussiana en los casos límite de σ _t grande y pequeño , respectivamente.

Definiendo L ≜ N + 1 , una ventana gaussiana confinada de ancho temporal L × σ _t se aproxima bien mediante: ^{[ 51 ]}

${\displaystyle w[n]=G(n)-{\frac {G(-{\tfrac {1}{2}})[G(n+L)+G(n-L)]}{G(-{\tfrac {1}{2}}+L)+G(-{\tfrac {1}{2}}-L)}}}$

dónde${\displaystyle G}$es una función gaussiana:

${\displaystyle G(x)=\exp \left(-\left({\cfrac {x-{\frac {N}{2}}}{2L\sigma _{t}}}\right)^{2}\right)}$

La desviación estándar de la ventana aproximada es asintóticamente igual (es decir, valores grandes de N ) a L × σ _t para σ _t < 0,14 . ^{[ 51 ]}

Una versión más generalizada de la ventana gaussiana es la ventana normal generalizada. ^{[ 52 ]} Conservando la notación de la ventana gaussiana anterior, podemos representar esta ventana como

${\displaystyle w[n,p]=\exp \left(-\left({\frac {n-N/2}{\sigma N/2}}\right)^{p}\right)}$

para cualquier evento${\displaystyle p}$. En${\displaystyle p=2}$, esta es una ventana gaussiana y como${\displaystyle p}$aproches${\displaystyle \infty }$Esto se aproxima a una ventana rectangular. La transformada de Fourier de esta ventana no existe en forma cerrada para una ventana general.${\displaystyle p}$Sin embargo, demuestra las otras ventajas de tener un ancho de banda ajustable y uniforme. Al igual que la ventana de Tukey ,  esta ventana ofrece naturalmente una "superior plana" para controlar la atenuación de amplitud de una serie temporal (sobre la cual no tenemos control con la ventana gaussiana). En esencia, ofrece un buen compromiso (controlable), en términos de fuga espectral, resolución de frecuencia y atenuación de amplitud, entre la ventana gaussiana y la ventana rectangular. Véase también ^{[ 53 ]} para un estudio sobre la representación tiempo-frecuencia de esta ventana (o función).

La ventana de Tukey, también conocida como ventana de atenuación coseno , puede considerarse como un lóbulo coseno de ancho Nα /2 (que abarca Nα /2  +  1 observaciones) que se convoluciona con una ventana rectangular de ancho N (1 − α /2) .

${\displaystyle \left.{\begin{array}{lll}w[n]={\frac {1}{2}}\left[1-\cos \left({\frac {2\pi n}{\alpha N}}\right)\right],\quad &0\leq n<{\frac {\alpha N}{2}}\\w[n]=1,\quad &{\frac {\alpha N}{2}}\leq n\leq {\frac {N}{2}}\\w[N-n]=w[n],\quad &0\leq n\leq {\frac {N}{2}}\end{array}}\right\}}$^{[ 54 ] [ B ] [ C ]}

En α  =  0 se vuelve rectangular, y en α  =  1 se convierte en una ventana de Hann.

La denominada ventana "Planck-taper" es una función de elevación que se ha utilizado ampliamente ^{[ 55 ]} en la teoría de particiones de la unidad en variedades . Es suave (una${\displaystyle C^{\infty }}$función) en todas partes, pero es exactamente cero fuera de una región compacta, exactamente uno en un intervalo dentro de esa región, y varía suave y monótonamente entre esos límites. Su uso como función de ventana en el procesamiento de señales se sugirió por primera vez en el contexto de la astronomía de ondas gravitacionales , inspirada en la distribución de Planck . ^{[ 56 ]} Se define como una función por partes :

${\displaystyle \left.{\begin{array}{lll}w[0]=0,\\w[n]=\left(1+\exp \left({\frac {\varepsilon N}{n}}-{\frac {\varepsilon N}{\varepsilon N-n}}\right)\right)^{-1},\quad &1\leq n<\varepsilon N\\w[n]=1,\quad &\varepsilon N\leq n\leq {\frac {N}{2}}\\w[N-n]=w[n],\quad &0\leq n\leq {\frac {N}{2}}\end{array}}\right\}}$

La magnitud del estrechamiento se controla mediante el parámetro ε , donde los valores más pequeños dan lugar a transiciones más pronunciadas.

La DPSS (secuencia esferoidal prolata discreta) o función de Slepian , cónica o ventana maximiza la concentración de energía en el lóbulo principal , ^{[ 57 ]} y se utiliza en el análisis espectral multitaper , que promedia el ruido en el espectro y reduce la pérdida de información en los bordes de la ventana.

El lóbulo principal termina en un intervalo de frecuencia dado por el parámetro α . ^{[ 58 ]}

Las ventanas de Kaiser que se muestran a continuación se crean mediante una aproximación simple a las ventanas DPSS:

La ventana de Kaiser, o Kaiser-Bessel, es una aproximación simple de la ventana DPSS que utiliza funciones de Bessel , descubierta por James Kaiser . ^{[ 59 ] [ 60 ]}

${\displaystyle w[n]={\frac {I_{0}\left(\pi \alpha {\sqrt {1-\left({\frac {2n}{N}}-1\right)^{2}}}\right)}{I_{0}(\pi \alpha )}},\quad 0\leq n\leq N}$^{[ D ] [ 16 ] : pág. 73}

${\displaystyle w_{0}(n)={\frac {I_{0}\left(\pi \alpha {\sqrt {1-\left({\frac {2n}{N}}\right)^{2}}}\right)}{I_{0}(\pi \alpha )}},\quad -N/2\leq n\leq N/2}$

dónde${\displaystyle I_{0}}$es la función de Bessel modificada de orden 0 ^de primera especie. Parámetro variable${\displaystyle \alpha }$determina el equilibrio entre el ancho del lóbulo principal y los niveles de los lóbulos laterales del patrón de fuga espectral. El ancho del lóbulo principal, entre los nulos, viene dado por${\displaystyle 2{\sqrt {1+\alpha ^{2}}},}$en unidades de bins DFT, ^{[ 67 ]} y un valor típico de${\displaystyle \alpha }$es 3.

Minimiza la norma de Chebyshev de los lóbulos laterales para un ancho de lóbulo principal dado. ^{[ 68 ]}

La función de ventana de Dolph-Chebyshev de fase cero${\displaystyle w_{0}[n]}$se define generalmente en términos de su transformada discreta de Fourier de valor real ,${\displaystyle W_{0}[k]}$: ^{[ 69 ]}

${\displaystyle W_{0}(k)={\frac {T_{N}{\big (}\beta \cos \left({\frac {\pi k}{N+1}}\right){\big )}}{T_{N}(\beta )}}={\frac {T_{N}{\big (}\beta \cos \left({\frac {\pi k}{N+1}}\right){\big )}}{10^{\alpha }}},\ 0\leq k\leq N.}$

T _n ( x ) es el n -ésimo polinomio de Chebyshev de primera especie evaluado en x , que se puede calcular utilizando

${\displaystyle T_{n}(x)={\begin{cases}\cos \!{\big (}n\cos ^{-1}(x){\big )}&{\text{if }}-1\leq x\leq 1\\\cosh \!{\big (}n\cosh ^{-1}(x){\big )}&{\text{if }}x\geq 1\\(-1)^{n}\cosh \!{\big (}n\cosh ^{-1}(-x){\big )}&{\text{if }}x\leq -1,\end{cases}}}$

y

${\displaystyle \beta =\cosh \!{\big (}{\tfrac {1}{N}}\cosh ^{-1}(10^{\alpha }){\big )}}$

es la única solución real positiva para${\displaystyle T_{N}(\beta )=10^{\alpha }}$, donde el parámetro α establece la norma de Chebyshev de los lóbulos laterales en −20 α  decibelios. ^{[ 68 ]}

La función de ventana se puede calcular a partir de W ₀ ( k ) mediante una transformada discreta de Fourier inversa (DFT): ^{[ 68 ]}

${\displaystyle w_{0}(n)={\frac {1}{N+1}}\sum _{k=0}^{N}W_{0}(k)\cdot e^{i2\pi kn/(N+1)},\ -N/2\leq n\leq N/2.}$

La versión retardada de la ventana se puede obtener mediante:

${\displaystyle w[n]=w_{0}\left(n-{\frac {N}{2}}\right),\quad 0\leq n\leq N,}$

que para valores pares de N debe calcularse de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}w_{0}\left(n-{\frac {N}{2}}\right)={\frac {1}{N+1}}\sum _{k=0}^{N}W_{0}(k)\cdot e^{\frac {i2\pi k(n-N/2)}{N+1}}={\frac {1}{N+1}}\sum _{k=0}^{N}\left[\left(-e^{\frac {i\pi }{N+1}}\right)^{k}\cdot W_{0}(k)\right]e^{\frac {i2\pi kn}{N+1}},\end{aligned}}}$

que es una DFT inversa de${\displaystyle \left(-e^{\frac {i\pi }{N+1}}\right)^{k}\cdot W_{0}(k).}$

Variaciones:

• Debido a la condición de igual ondulación, la ventana en el dominio del tiempo presenta discontinuidades en los bordes. Una aproximación que las evita, al permitir que las igual ondulaciones desaparezcan en los bordes, es una ventana de Taylor .
• También existe una alternativa a la definición de DFT inversa..

La ventana ultraesférica fue introducida en 1984 por Roy Streit ^{[ 70 ]} y tiene aplicación en el diseño de arreglos de antenas, ^{[ 71 ]} el diseño de filtros no recursivos, ^{[ 70 ]} y el análisis de espectro. ^{[ 72 ]}

Al igual que otras ventanas ajustables, la ventana ultraesférica tiene parámetros que permiten controlar el ancho del lóbulo principal de su transformada de Fourier y la amplitud relativa de sus lóbulos laterales. A diferencia de otras ventanas, cuenta con un parámetro adicional que permite ajustar la velocidad de disminución (o aumento) de la amplitud de los lóbulos laterales. ^{[ 72 ] [ 73 ] [ 74 ]}

La ventana se puede expresar en el dominio del tiempo de la siguiente manera: ^{[ 72 ]}

${\displaystyle w[n]={\frac {1}{N+1}}\left[C_{N}^{\mu }(x_{0})+\sum _{k=1}^{\frac {N}{2}}C_{N}^{\mu }\left(x_{0}\cos {\frac {k\pi }{N+1}}\right)\cos {\frac {2n\pi k}{N+1}}\right]}$

dónde${\displaystyle C_{N}^{\mu }}$es el polinomio ultrasférico de grado N, y${\displaystyle x_{0}}$y${\displaystyle \mu }$controlar los patrones de los lóbulos laterales. ^{[ 72 ]}

Ciertos valores específicos de${\displaystyle \mu }$generar otras ventanas bien conocidas:${\displaystyle \mu =0}$y${\displaystyle \mu =1}$dar las ventanas de Dolph-Chebyshev y Saramäki respectivamente. ^{[ 70 ]} Véase aquí una ilustración de ventanas ultraesféricas con parametrización variada.

La ventana de Poisson, o más genéricamente la ventana exponencial, aumenta exponencialmente hacia el centro de la ventana y disminuye exponencialmente en la segunda mitad. Dado que la función exponencial nunca llega a cero, los valores de la ventana en sus límites son distintos de cero (puede verse como la multiplicación de una función exponencial por una ventana rectangular ^{[ 75 ]} ). Se define por

${\displaystyle w[n]=e^{-\left|n-{\frac {N}{2}}\right|{\frac {1}{\tau }}},}$

donde τ es la constante de tiempo de la función. La función exponencial decae como e  ≃  2,71828 o aproximadamente 8,69  dB por constante de tiempo. ^{[ 76 ]} Esto significa que para un decaimiento objetivo de D  dB durante la mitad de la longitud de la ventana, la constante de tiempo τ viene dada por

${\displaystyle \tau ={\frac {N}{2}}{\frac {8.69}{D}}.}$

${\displaystyle w[n]=a_{0}-a_{1}\left|{\frac {n}{N}}-{\frac {1}{2}}\right|-a_{2}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)}$

${\displaystyle a_{0}=0.62;\quad a_{1}=0.48;\quad a_{2}=0.38\,}$

Una ventana de Planck multiplicada  por una ventana de Kaiser definida en términos de una función de Bessel modificada . Esta función de ventana híbrida se introdujo para disminuir el nivel máximo del lóbulo lateral de la ventana de Planck, aprovechando al mismo tiempo su buena atenuación asintótica. ^{[ 77 ]} Tiene dos parámetros ajustables, ε de la ventana de Planck y α de la ventana de Kaiser, por lo que puede adaptarse a los requisitos de una señal dada.

Una ventana de Hann multiplicada por una ventana de Poisson . Para${\displaystyle \alpha \geqslant 2}$No tiene lóbulos laterales, ya que su transformada de Fourier decae infinitamente lejos del lóbulo principal sin mínimos locales. Por lo tanto, puede utilizarse en algoritmos de ascenso de colinas como el método de Newton . ^{[ 78 ]} La ventana de Hann-Poisson se define por:

${\displaystyle w[n]={\frac {1}{2}}\left(1-\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)\right)e^{\frac {-\alpha \left|N-2n\right|}{N}}\,}$

donde α es un parámetro que controla la pendiente de la exponencial.

La ventana GAP es una familia de funciones de ventana ajustables que se basan en una expansión polinómica simétrica de orden${\displaystyle K}$Es continua con derivada continua en todas partes. Con el conjunto adecuado de coeficientes de expansión y orden de expansión, la ventana GAP puede imitar todas las funciones de ventana conocidas, reproduciendo con precisión sus propiedades espectrales.

${\displaystyle w_{0}[n]=a_{0}+\sum _{k=1}^{K}a_{2k}\left({\frac {n}{\sigma }}\right)^{2k},\quad -{\frac {N}{2}}\leq n\leq {\frac {N}{2}},}$^{[ 79 ]}

dónde${\displaystyle \sigma }$es la desviación estándar de la${\displaystyle \{n\}}$secuencia.

Además, partiendo de un conjunto de coeficientes de expansión${\displaystyle a_{2k}}$La ventana GAP, que imita una función de ventana conocida, puede optimizarse mediante procedimientos de minimización para obtener un nuevo conjunto de coeficientes que mejoran una o más propiedades espectrales, como el ancho del lóbulo principal, la atenuación del lóbulo lateral y la tasa de caída del lóbulo lateral. ^{[ 80 ]} Por lo tanto, se puede desarrollar una función de ventana GAP con propiedades espectrales diseñadas según la aplicación específica.

$${\displaystyle w[n]=\operatorname {sinc} \left({\frac {2n}{N}}-1\right)}$$

• utilizado en el remuestreo de Lanczos
• para la ventana Lanczos,${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)}$se define como${\displaystyle \sin(\pi x)/\pi x}$
• también conocida como ventana sinc , porque:$${\displaystyle w_{0}(n)=\operatorname {sinc} \left({\frac {2n}{N}}\right)\,}$$es el lóbulo principal de una función sinc normalizada