Ventana del Kaiser

La ventana de Kaiser , también conocida como ventana de Kaiser-Bessel , fue desarrollada por James Kaiser en Bell Laboratories . Es una familia de funciones de ventana de un parámetro que se utilizan en el diseño de filtros de respuesta de impulso finito y en el análisis espectral . La ventana de Kaiser se aproxima a la ventana DPSS , que maximiza la concentración de energía en el lóbulo principal ^[1], pero que es difícil de calcular. ^[2]

La ventana de Kaiser y su transformada de Fourier están dadas por :

${\displaystyle w_{0}(x)\triangleq \left\{{\begin{array}{ccl}{\tfrac {1}{L}}{\frac {I_{0}\left[\pi \alpha {\sqrt {1-\left(2x/L\right)^{2}}}\right]}{I_{0}[\pi \alpha ]}},\quad &\left|x\right|\leq L/2\\0,\quad &\left|x\right|>L/2\end{array}}\right\}\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\quad {\frac {\sin {\bigg (}{\sqrt {(\pi Lf)^{2}-(\pi \alpha )^{2}}}{\bigg )}}{I_{0}(\pi \alpha )\cdot {\sqrt {(\pi Lf)^{2}-(\pi \alpha )^{2}}}}},}$   ^{[3] [A]}

dónde :

• I ₀ es la función de Bessel modificada de orden cerodel primer tipo,
• L es la duración de la ventana, y
• α es un número real no negativo que determina la forma de la ventana. En el dominio de la frecuencia, determina el equilibrio entre el ancho del lóbulo principal y el nivel del lóbulo lateral, que es una decisión central en el diseño de ventanas.
• A veces, la ventana de Kaiser está parametrizada por β , donde β = πα .

Para el procesamiento de señales digitales , la función se puede muestrear simétricamente como :

${\displaystyle w[n]=L\cdot w_{0}({\frac {L}{N}}(nN/2)\right)={\frac {I_{0}[\pi \alpha {\sqrt {1-\left({\frac {2n}{N}}-1\right)^{2}}}\right]}{I_{0}[\pi \alpha ]}},\quad 0\leq n\leq N,}$

donde la longitud de la ventana es y N puede ser par o impar. (ver Una lista de funciones de ventana ) ${\estilo de visualización N+1,}$

En la transformada de Fourier, el primer nulo después del lóbulo principal ocurre en el cual está en unidades de N ( "contenedores" de DFT ). A medida que α aumenta, el lóbulo principal aumenta en ancho y los lóbulos laterales disminuyen en amplitud.  α  = 0 corresponde a una ventana rectangular. Para α grande, la forma de la ventana de Kaiser (tanto en el dominio del tiempo como en el de la frecuencia) tiende a una curva gaussiana . La ventana de Kaiser es casi óptima en el sentido de la concentración de su pico alrededor de la frecuencia ^[5]${\displaystyle f={\frac {\sqrt {1+\alpha ^{2}}}{L}},}$${\displaystyle {\sqrt {1+\alpha ^{2}}}}$${\estilo de visualización 0.}$

Una función de ventana relacionada es la ventana derivada de Kaiser-Bessel (KBD) , que está diseñada para ser adecuada para su uso con la transformada de coseno discreta modificada (MDCT). La función de ventana KBD se define en términos de la ventana de Kaiser de longitud N +1, mediante la fórmula :

${\displaystyle d_{n}={\begin{cases}{\sqrt {\frac {\sum _{i=0}^{n}w[i]}{\sum _{i=0}^{N}w[i]}}}&{\mbox{si }}0\leq n<N\\{\sqrt {\frac {\sum _{i=0}^{2N-1-n}w[i]}{\sum _{i=0}^{N}w[i]}}}&{\mbox{si }}N\leq n\leq 2N-1\\0&{\mbox{en caso contrario}}.\\\end{cases}}}$

Esto define una ventana de longitud 2 N , donde por construcción d _n satisface la condición de Princen-Bradley para la MDCT (usando el hecho de que w _{N − n} = w _n ): d _n ² + ( d _{n + N} ) ² = 1 (interpretando n y n  +  N módulo 2 N ). La ventana KBD también es simétrica de la manera apropiada para la MDCT: d _n  =  d _{2 N −1− n} .

La ventana KBD se utiliza en el formato de audio digital de codificación de audio avanzada .

• Harris, Fredric J. (enero de 1978). "Sobre el uso de Windows para el análisis armónico con la transformada discreta de Fourier" (PDF) . Actas del IEEE . 66 (1): 73 (ecuación 46b). CiteSeerX  10.1.1.649.9880 . doi :10.1109/PROC.1978.10837.
• Kaiser, James F.; Schafer, Ronald W. (1980). "Sobre el uso de la ventana I ₀ -sinh para el análisis espectral". IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing . 28 : 105–107. doi :10.1109/TASSP.1980.1163349.
• Smith, JO (2011). "Comparación del procesamiento de señales de audio espectrales entre ventanas Kaiser y DPSS". ccrma.stanford.edu . Consultado el 13 de abril de 2016 .
• "Ventana del Kaiser, R2018b". www.mathworks.com . Mathworks . Consultado el 20 de marzo de 2019 .