Problema de concentración espectral

El problema de concentración espectral en el análisis de Fourier se refiere a encontrar una secuencia temporal de una longitud determinada cuya transformada discreta de Fourier esté localizada al máximo en un intervalo de frecuencia dado , medido mediante la concentración espectral.

La transformada discreta de Fourier (DFT) U ( f ) de una serie finita${\displaystyle w_{t}}$,${\displaystyle t=1,2,3,4,...,T}$se define como

${\displaystyle U(f)=\sum _{t=1}^{T}w_{t}e^{-2\pi ift}.}$

A continuación, el intervalo de muestreo se tomará como Δ t = 1, y por lo tanto el intervalo de frecuencia como f ∈ [- ⁠ 1 / 2 ⁠ , ⁠ 1 / 2 ⁠ ]. U ( f ) es una función periódica con un período 1.

Para una frecuencia dada W tal que 0 < W < 1 / 2 , la concentración espectral${\displaystyle \lambda (T,W)}$de U ( f ) en el intervalo [- W , W ] se define como la razón de la potencia de U ( f ) contenida en la banda de frecuencia [- W , W ] a la potencia de U ( f ) contenida en toda la banda de frecuencia [- ⁠ 1 / 2 ⁠ , ⁠ 1 / 2 ⁠ ]. Es decir,

${\displaystyle \lambda (T,W)={\frac {\int _{-W}^{W}{\|U(f)\|}^{2}\,df}{\int _{-1/2}^{1/2}{\|U(f)\|}^{2}\,df}}.}$

Se puede demostrar que U ( f ) tiene solo ceros aislados y por lo tanto${\displaystyle 0<\lambda (T,W)<1}$(véase [1]). Por lo tanto, la concentración espectral es estrictamente menor que uno, y no existe una secuencia finita.${\displaystyle w_{t}}$para lo cual la DTFT puede confinarse a una banda [- W , W ] y hacerse desaparecer fuera de esta banda.

Entre todas las secuencias${\displaystyle \lbrace w_{t}\rbrace }$Para un valor dado de T y W , ¿existe una secuencia para la cual la concentración espectral sea máxima? En otras palabras, ¿existe una secuencia para la cual la energía del lóbulo lateral fuera de la banda de frecuencia [-W , W ] sea mínima?

La respuesta es sí; dicha secuencia existe y puede encontrarse mediante optimización.${\displaystyle \lambda (T,W)}$De esta forma, se maximiza la potencia.

${\displaystyle \int _{-W}^{W}{\|U(f)\|}^{2}\,df}$

sujeto a la restricción de que la potencia total sea fija, por ejemplo

${\displaystyle \int _{-1/2}^{1/2}{\|U(f)\|}^{2}\,df=1,}$

conduce a la siguiente ecuación que satisface la secuencia óptima.${\displaystyle w_{t}}$:

${\displaystyle \sum _{t'=1}^{T}{\frac {\sin 2\pi W(t-t')}{\pi (t-t')}}w_{t'}=\lambda w_{t}.}$

Esta es una ecuación de valores propios para una matriz simétrica dada por

${\displaystyle M_{t,t'}={\frac {\sin 2\pi W(t-t')}{\pi (t-t')}}.}$

Se puede demostrar que esta matriz es definida positiva , por lo tanto, todos los valores propios de esta matriz se encuentran entre 0 y 1. El mayor valor propio de la ecuación anterior corresponde a la mayor concentración espectral posible; el vector propio correspondiente es la secuencia óptima requerida.${\displaystyle w_{t}}$Esta secuencia se denomina secuencia de Slepian de orden 0 ⁽ también conocida como secuencia esferoidal prolada discreta o DPSS), que es una atenuación única con lóbulos laterales máximamente suprimidos.

Resulta que el número de autovalores dominantes de la matriz M que son cercanos a 1, corresponde a N=2WT llamado número de Shannon . Si los autovalores${\displaystyle \lambda }$están ordenados en orden descendente (es decir,${\displaystyle \lambda _{1}>\lambda _{2}>\lambda _{3}>...>\lambda _{N}}$), entonces el vector propio correspondiente a${\displaystyle \lambda _{n+1}}$Se denomina secuencia de Slepian de orden n (DPSS) (0 ≤ ⁿ ≤ N - 1 ). Esta atenuación de ^orden n también ofrece la mejor supresión de lóbulos laterales y es ortogonal por pares a las secuencias de Slepian de órdenes anteriores.${\displaystyle (0,1,2,3....,n-1)}$Estas secuencias de Slepian de orden inferior constituyen la base para la estimación espectral mediante el método multitaper .

El problema de concentración espectral, que no se limita a series temporales, puede reformularse para aplicarse en múltiples dimensiones cartesianas ^{[ 1 ]} y en la superficie de la esfera mediante el uso de armónicos esféricos ^{[ 2 ]} , para aplicaciones en geofísica y cosmología ^{[ 3 ],} entre otras.

• Multicono
• transformada de Fourier
• Transformada discreta de Fourier

• Partha Mitra y Hemant Bokil. Dinámica cerebral observada , Oxford University Press, EE. UU. (2007), Enlace al libro
• Donald B. Percival y Andrew T. Walden. Análisis espectral para aplicaciones físicas: técnicas multitaper y univariadas convencionales , Cambridge University Press, Reino Unido (2002).
• Mitra, PP; Pesaran, B. (1999). "Análisis de datos de imágenes cerebrales dinámicas" . Biophysical Journal . 76 (2): 691– 708. arXiv : q-bio/0309028 . Bibcode : 1999BpJ....76..691M . doi : 10.1016/ S0006-3495 (99)77236-X . PMC 1300074. PMID 9929474 .