Secuencia

Un número primo es un número natural mayor que 1 que no tiene otros divisores que 1 y él mismo. La secuencia de números primos ordenados de forma natural es (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...) . Los números primos se utilizan ampliamente en matemáticas , especialmente en teoría de números, donde existen numerosos resultados relacionados con ellos.

Los números de Fibonacci son una secuencia en la que cada elemento es la suma de los dos elementos anteriores. El primer y el segundo elemento son 0 y 1, respectivamente, por lo que la secuencia es (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...) . ^{[ 1 ]}

Otras secuencias tienen números racionales como elementos. La secuencia (0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ...) , por ejemplo, se aproxima al número 1. Como otro ejemplo, π es el límite de la secuencia (3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, ...) , que es creciente. De hecho, todo número real puede escribirse como el límite de una secuencia de números racionales (por ejemplo, mediante su expansión decimal ; véase también la completitud de los números reales ). Un tipo de secuencia relacionada consiste en los dígitos decimales de un número real, por ejemplo, la secuencia de dígitos de π , (3, 1, 4, 1, 5, 9, ...) . Esta secuencia no tiene ningún patrón que sea fácilmente discernible a simple vista.

Los elementos de una secuencia pueden ser funciones en lugar de números. Por ejemplo, la base monomial para polinomios de una sola variable forma la secuencia${\displaystyle (x\mapsto 1,x\mapsto x,x\mapsto x^{2},x\mapsto x^{3},\ldots )}$, utilizando la notación de flechas .

La Enciclopedia en línea de secuencias de enteros comprende una gran lista de ejemplos de secuencias de enteros. ^{[ 3 ]}

Otras notaciones pueden ser útiles para secuencias cuyo patrón no se puede adivinar fácilmente o para secuencias que no tienen un patrón, como los dígitos de π . Una de estas notaciones consiste en escribir una fórmula general para calcular el n -ésimo término como una función de n , encerrarla entre paréntesis e incluir un subíndice que indique el conjunto de valores que puede tomar n . Por ejemplo, en esta notación, la secuencia de enteros pares podría escribirse como${\displaystyle (2n)_{n\in \mathbb {N} }}$, donde${\displaystyle \mathbb {N} }$⁠ denota el conjunto de los números naturales . La secuencia de números cuadrados se puede escribir como${\textstyle (n^{2})_{n\in \mathbb {N} }}$La variable n se llama índice , y el conjunto de valores que puede tomar se llama conjunto de índices .

A menudo resulta útil combinar esta notación con la técnica de tratar los elementos de una secuencia como variables individuales. Esto produce expresiones como:${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$, que denota una secuencia cuyo n- ésimo elemento viene dado por la variable${\displaystyle a_{n}}$. Por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}&=1.er elemento de }}(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\\a_{2}&=2.º elemento }}\\a_{3}&=3.er elemento }}\\&\;\;\vdots \\a_{n-1}&=(n-1){\text{ésimo elemento}}\\a_{n}&=n{\text{ésimo elemento}}\\a_{n+1}&=(n+1){\text{ésimo elemento}}\\&\;\;\vdots \end{aligned}}}$

Se pueden considerar múltiples secuencias al mismo tiempo utilizando diferentes variables; por ejemplo${\textstyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$podría ser una secuencia diferente a${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$Incluso se puede considerar una secuencia de secuencias:${\displaystyle {\bigl (}(a_{m,n})_{n\in \mathbb {N} }{\bigr )}_{m\in \mathbb {N} }}$denota una secuencia cuyo m- ésimo término es la secuencia${\textstyle (a_{m,n})_{n\in \mathbb {N} }}$.

Una alternativa a escribir el dominio de una secuencia en el subíndice es indicar el rango de valores que puede tomar el índice enumerando sus valores legales más altos y más bajos. Por ejemplo, la notación${\textstyle (k^{2}){\vphantom {)}}_{k=1}^{10}}$denota la secuencia de diez términos de cuadrados${\displaystyle (1,4,9,\ldots ,100)}$. Usando el símbolo${\displaystyle \infty }$como límite superior significa que los índices continúan infinitamente. Por ejemplo, las notaciones${\textstyle {(2n-1)}_{n=1}^{\infty }}$y${\textstyle (2n-1)_{n\in \mathbb {N} }}$ambas describen la secuencia de números enteros impares (1, 3, 5, ...) .

Una secuencia bi-infinita es una secuencia indexada por ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$⁠ , el conjunto de todos los números enteros , y por lo tanto continúa infinitamente tanto en dirección negativa como positiva. Dicha secuencia se puede escribir como${\textstyle (\ldots ,a_{-1},a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )}$,${\textstyle {(a_{n})}_{n\in \mathbb {Z} }}$, o${\textstyle {(a_{n})}_{n=-\infty }^{\infty }}$.

En los casos en que se entiende el conjunto de números de índice, a menudo se omiten los subíndices y superíndices. Es decir, simplemente se escribe${\textstyle (a_{n})}$para una secuencia arbitraria. Normalmente, el índice n se entiende entonces que recorre todos los números naturales a partir de 1 , o a veces todos los enteros no negativos a partir de 0 .

Las secuencias cuyos elementos se relacionan directamente con los anteriores suelen definirse mediante recursión . Esto contrasta con la definición de secuencias de elementos como funciones de sus posiciones.

Para definir una secuencia mediante recursión, se necesita una regla, denominada relación de recurrencia, que permita construir cada elemento en función de los anteriores. Además, deben proporcionarse suficientes elementos iniciales para que todos los elementos subsiguientes de la secuencia puedan calcularse mediante aplicaciones sucesivas de la relación de recurrencia.

La secuencia de Fibonacci es un ejemplo clásico sencillo, definido por la relación de recurrencia.

${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2},}$

con términos iniciales${\displaystyle a_{0}=0}$y${\displaystyle a_{1}=1}$. Los primeros términos se pueden calcular simplemente como (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...) .

Un ejemplo complicado de una secuencia definida por una relación de recurrencia es la secuencia de Recamán , ^{[ 4 ]} definida por la relación de recurrencia

${\displaystyle {\begin{cases}a_{n}=a_{n-1}-n,\quad {\text{if the result is positive and not already in the previous terms,}}\\a_{n}=a_{n-1}+n,\quad {\text{otherwise}},\end{cases}}}$

con plazo inicial${\displaystyle a_{0}=0.}$

Una recurrencia lineal con coeficientes constantes es una relación de recurrencia de la forma

${\displaystyle a_{n}=c_{0}+c_{1}a_{n-1}+\dots +c_{k}a_{n-k},}$

dónde${\displaystyle c_{0},\dots ,c_{k}}$son constantes . Existe un método general para expresar el término general.${\displaystyle a_{n}}$de dicha secuencia como función de n ; véase Recurrencia lineal . En el caso de la secuencia de Fibonacci, se tiene${\displaystyle c_{0}=0,c_{1}=c_{2}=1,}$y la función resultante de n viene dada por la fórmula de Binet .

Una secuencia holonómica es una secuencia definida por una relación de recurrencia de la forma

${\displaystyle a_{n}=c_{1}a_{n-1}+\dots +c_{k}a_{n-k},}$

dónde${\displaystyle c_{1},\dots ,c_{k}}$son polinomios en n . Para la mayoría de las secuencias holonómicas, no existe una fórmula explícita para expresar${\displaystyle a_{n}}$como función de n . Sin embargo, las secuencias holonómicas desempeñan un papel importante en diversas áreas de las matemáticas. Por ejemplo, muchas funciones especiales poseen una serie de Taylor cuya secuencia de coeficientes es holonómica. El uso de la relación de recurrencia permite un cálculo rápido de los valores de dichas funciones especiales.

No todas las secuencias pueden especificarse mediante una relación de recurrencia. Un ejemplo es la secuencia de números primos en su orden natural (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...) .

Formalmente, una sucesión se puede definir como una función cuyo dominio es un intervalo de enteros . Los elementos del dominio son las posiciones o índices de los elementos de la sucesión, mientras que los valores que toma la función son los elementos de la sucesión. El intervalo puede ser finito o infinito; por lo tanto, esta definición abarca varios usos diferentes de la palabra "sucesión", incluyendo sucesiones infinitas unilaterales, sucesiones biinfinitas y sucesiones finitas (véase más abajo para definiciones de estos tipos de sucesiones). En algunos contextos, el codominio de la sucesión (los posibles valores de los términos) está fijado por el contexto, por ejemplo, al requerir que sea el conjunto${\displaystyle \mathbb {R} }$de números reales, ^{[ 5 ]} el conjunto${\displaystyle \mathbb {C} }$de números complejos, ^{[ 6 ]} o un espacio topológico . ^{[ 7 ]}

Aunque las secuencias son un tipo de función, generalmente se distinguen de las funciones en cuanto a su notación, ya que la entrada se escribe como un subíndice en lugar de entre paréntesis, es decir, una _n en lugar de una ( n ) . También existen diferencias terminológicas: el valor de una secuencia en la entrada más baja (a menudo 1 ) se denomina "primer elemento" de la secuencia, el valor en la segunda entrada más pequeña (a menudo 2 ) se denomina "segundo elemento", etc. Además, mientras que una función abstraída de su entrada generalmente se denota con una sola letra (como f ), una secuencia abstraída de su entrada generalmente se escribe con una notación como${\textstyle (a_{n})_{n\in A}}$, o simplemente como${\textstyle (a_{n}).}$Aquí A es el dominio, o conjunto de índices, de la secuencia.

La longitud de una secuencia se define como el número de términos que la componen.

Una secuencia de longitud finita es una secuencia finita . Una secuencia finita de longitud n también se denomina n - tupla . Las secuencias finitas incluyen la secuencia vacía , denotada (  ) , que no tiene elementos.

Normalmente, el término secuencia infinita se refiere a una secuencia que es infinita en una dirección y finita en la otra; dicha secuencia tiene un primer elemento, pero no un elemento final, y se denomina secuencia infinita simple o secuencia infinita unilateral cuando se necesita desambiguación. Por el contrario, una secuencia que es infinita en ambas direcciones, es decir, que no tiene ni primer ni último elemento, se denomina secuencia bi-infinita , secuencia infinita bidireccional o secuencia doblemente infinita . Una función de${\displaystyle \mathbb {Z} }$El conjunto de todos los enteros , en un conjunto, por ejemplo la secuencia de todos los enteros pares (..., −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8, ...) , es bi-infinito. Esta secuencia podría denotarse${\textstyle {(2n)}_{n=-\infty }^{\infty }}$.

Se dice que una sucesión es monótonamente creciente si cada término es mayor o igual que el anterior. Por ejemplo, la sucesión${\textstyle {(a_{n})}_{n=1}^{\infty }}$es monótonamente creciente si y solo si${\textstyle a_{n+1}\geq a_{n}}$a pesar de${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$Si cada término consecutivo es estrictamente mayor que el anterior, la sucesión se denomina estrictamente monótona creciente . Una sucesión es monótona decreciente si cada término consecutivo es menor o igual que el anterior, y es estrictamente monótona decreciente si cada término es estrictamente menor que el anterior. Si una sucesión es creciente o decreciente, se denomina sucesión monótona . Este es un caso particular de la noción más general de función monótona .

Los términos no decreciente y no creciente se utilizan a menudo en lugar de creciente y decreciente para evitar cualquier posible confusión con estrictamente creciente y estrictamente decreciente , respectivamente.

Si la sucesión de números reales ( a _n ) es tal que todos sus términos son menores que algún número real M , entonces se dice que la sucesión está acotada superiormente . En otras palabras, esto significa que existe M tal que para todo n , a _n ≤ M. Cualquier M de este tipo se llama cota superior . Del mismo modo, si, para algún real m , a _n ≥ m para todo n mayor que algún N , entonces la sucesión está acotada inferiormente y cualquier m de este tipo se llama cota inferior . Si una sucesión está acotada superiormente y inferiormente, entonces se dice que la sucesión está acotada .

Una subsecuencia de una secuencia dada es aquella que se forma a partir de la secuencia original eliminando algunos de sus elementos sin alterar la posición relativa de los restantes. Por ejemplo, la secuencia de enteros pares positivos (2, 4, 6, ...) es una subsecuencia de la secuencia de enteros positivos (1, 2, 3, ...) . La posición de algunos elementos cambia al eliminar otros, pero se conserva la posición relativa.

Formalmente, una subsecuencia de la secuencia${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$es cualquier secuencia de la forma${\textstyle (a_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }}$, dónde${\displaystyle (n_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$es una secuencia estrictamente creciente de enteros positivos.

Otros tipos de secuencias que son fáciles de definir incluyen:

• Una secuencia de enteros es una secuencia cuyos términos son números enteros.
• Una sucesión polinómica es una sucesión cuyos términos son polinomios.
• Una secuencia de enteros positivos a veces se llama multiplicativa , si a _nm = a _n a _m para todos los pares n , m tales que n y m son coprimos . ^{[ 8 ]} En otros casos, las secuencias a menudo se llaman multiplicativas , si a _n = na ₁ para todo n . Además, una secuencia de Fibonacci multiplicativa ^{[ 9 ]} satisface la relación de recurrencia a _n = a _{n −1} a _{n −2} .
• Una secuencia binaria es una secuencia cuyos términos tienen uno de dos valores discretos, por ejemplo, valores en base 2 (0, 1, 1, 0, ...) , una serie de lanzamientos de moneda (cara/cruz) (C, C, C, C, C, ...), las respuestas a un conjunto de preguntas de verdadero o falso (V, F, V, V, ...), etc.

Una secuencia de números reales${\displaystyle (a_{n})}$converge a un número real${\displaystyle L}$si, para todos${\displaystyle \varepsilon >0}$, existe un número natural${\displaystyle N}$de tal manera que para todos${\displaystyle n\geq N}$tenemos ^{[ 5 ]}

${\displaystyle |a_{n}-L|<\varepsilon .}$

Si${\displaystyle (a_{n})}$es una sucesión de números complejos en lugar de una sucesión de números reales, esta última fórmula aún puede usarse para definir la convergencia, con la condición de que${\displaystyle |\cdot |}$denota el módulo , es decir${\displaystyle |z|={\sqrt {z^{*}z}}}$, dónde${\displaystyle z^{*}}$es el conjugado complejo de ⁠${\displaystyle z}$⁠ . Si${\displaystyle (a_{n})}$es una secuencia de puntos en un espacio métrico , entonces la fórmula se puede usar para definir la convergencia, si la expresión${\displaystyle |a_{n}-L|}$es reemplazado por la expresión${\displaystyle \operatorname {dist} (a_{n},L)}$, que denota la distancia entre${\displaystyle a_{n}}$y${\displaystyle L}$.

Si${\displaystyle (a_{n})}$y${\displaystyle (b_{n})}$son secuencias convergentes, entonces existen los siguientes límites, y se pueden calcular de la siguiente manera: ^{[ 5 ] [ 10 ]}

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}\pm b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}\pm \lim _{n\to \infty }b_{n}}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }ca_{n}=c\lim _{n\to \infty }a_{n}}$para todos los números reales${\displaystyle c}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}b_{n})={\bigl (}\lim _{n\to \infty }a_{n}{\bigr )}{\bigl (}\lim _{n\to \infty }b_{n}{\bigr )}}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\bigl (}\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}{\bigr )}{\big /}{\bigl (}\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}{\bigr )}}$, siempre que${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}\neq 0}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}^{p}={\bigl (}\lim _{n\to \infty }a_{n}{\bigr )}^{p}}$a pesar de${\displaystyle p>0}$y${\displaystyle a_{n}>0}$

Además:

• Si${\displaystyle a_{n}\leq b_{n}}$a pesar de${\displaystyle n}$mayor que algunos${\displaystyle N}$, entonces${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}}$. ^{[ a ]}
• ( Teorema de compresión ) Si${\displaystyle (c_{n})}$es una secuencia tal que${\displaystyle a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}}$a pesar de${\displaystyle n>N}$y${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=L}$, entonces${\displaystyle (c_{n})}$es convergente y${\displaystyle \lim _{n\to \infty }c_{n}=L}$.
• Si una sucesión es acotada y monótona , entonces es convergente.
• Una sucesión es convergente si y solo si todas sus subsucesiones son convergentes.

Una sucesión de Cauchy es una sucesión cuyos términos se aproximan arbitrariamente entre sí a medida que n se vuelve muy grande. La noción de sucesión de Cauchy es importante en el estudio de sucesiones en espacios métricos y, en particular, en análisis real . Un resultado particularmente importante en análisis real es la caracterización de Cauchy de la convergencia para sucesiones :

Una sucesión de números reales es convergente (en los números reales) si y solo si es de Cauchy.

Por el contrario, existen sucesiones de Cauchy de números racionales que no convergen en los racionales, por ejemplo la sucesión definida por${\displaystyle x_{1}=1}$y${\displaystyle x_{n+1}={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}x_{n}+{\tfrac {2}{x_{n}}}{\bigr )}}$es de Cauchy, pero no tiene límite racional (cf. Sucesión de Cauchy §  No ejemplo: números racionales ). En términos más generales, cualquier sucesión de números racionales que converge a un número irracional es de Cauchy, pero no converge cuando se interpreta como una sucesión en el conjunto de los números racionales.

Los espacios métricos que satisfacen la caracterización de Cauchy de la convergencia para sucesiones se denominan espacios métricos completos y son particularmente útiles para el análisis.

En cálculo, es común definir notación para secuencias que no convergen en el sentido discutido anteriormente, sino que se vuelven y permanecen arbitrariamente grandes, o se vuelven y permanecen arbitrariamente negativas. Si${\displaystyle a_{n}}$se vuelve arbitrariamente grande a medida que${\displaystyle n\to \infty }$, escribimos

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty .}$

En este caso decimos que la sucesión diverge , o que converge al infinito . Un ejemplo de tal sucesión es a _n = n .

Si${\displaystyle a_{n}}$se vuelve arbitrariamente negativo (es decir, negativo y de gran magnitud) como${\displaystyle n\to \infty }$, escribimos

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=-\infty }$

y decir que la sucesión diverge o converge a menos infinito .

Las sucesiones desempeñan un papel importante en la topología, especialmente en el estudio de los espacios métricos . Por ejemplo:

• Un espacio métrico es compacto precisamente cuando es secuencialmente compacto .
• Una función de un espacio métrico a otro espacio métrico es continua precisamente cuando transforma secuencias convergentes en secuencias convergentes.
• Un espacio métrico es un espacio conexo si y solo si, siempre que el espacio se particione en dos conjuntos, uno de los dos conjuntos contiene una sucesión que converge a un punto en el otro conjunto.
• Un espacio topológico es separable precisamente cuando existe una secuencia densa de puntos.

Las secuencias pueden generalizarse a redes o filtros . Estas generalizaciones permiten extender algunos de los teoremas anteriores a espacios sin métrica.

Al hablar de secuencias en análisis , generalmente se considerarán secuencias de la forma

${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},\dots ){\text{ or }}(x_{0},x_{1},x_{2},\dots )}$

es decir, secuencias infinitas de elementos indexados por números naturales .

Una secuencia puede comenzar con un índice distinto de 1 o 0. Por ejemplo, la secuencia definida por x _n = 1/log( n ) , donde log es el logaritmo natural , estaría definida solo para n ≥ 2 . Al hablar de tales secuencias infinitas, suele ser suficiente (y no cambia mucho para la mayoría de las consideraciones) suponer que los miembros de la secuencia están definidos al menos para todos los índices suficientemente grandes , es decir, mayores que algún N dado .

El tipo más elemental de secuencias son las numéricas, es decir, secuencias de números reales o complejos . Este tipo puede generalizarse a secuencias de elementos de algún espacio vectorial . En análisis, los espacios vectoriales considerados suelen ser espacios de funciones . De forma aún más general, se pueden estudiar secuencias con elementos en algún espacio topológico .

Las secuencias sobre un cuerpo también pueden considerarse como vectores en un espacio vectorial . Específicamente, el conjunto de secuencias con valores en F (donde F es un cuerpo) es un espacio de funciones (de hecho, un espacio producto ) de funciones con valores en F sobre el conjunto de los números naturales.

El álgebra abstracta emplea varios tipos de secuencias, incluidas secuencias de objetos matemáticos como grupos o anillos.

Una sucesión indexada por ordinales es una generalización de una sucesión. Si α es un ordinal límite y X es un conjunto, una sucesión indexada por α de elementos de X es una función de α a X. En esta terminología, una sucesión indexada por ω es una sucesión ordinaria.

En informática , las secuencias finitas se denominan listas . Las secuencias potencialmente infinitas se denominan flujos . Las secuencias finitas de caracteres o dígitos se denominan cadenas .

Las secuencias infinitas de dígitos (o caracteres ) extraídas de un alfabeto finito son de particular interés en la informática teórica . A menudo se las denomina simplemente secuencias o flujos , en contraposición a las cadenas finitas . Las secuencias binarias infinitas, por ejemplo, son secuencias infinitas de bits (caracteres extraídos del alfabeto {0, 1} ). El conjunto C = {0, 1} ^∞ de todas las secuencias binarias infinitas se denomina a veces espacio de Cantor .

Una secuencia binaria infinita puede representar un lenguaje formal (un conjunto de cadenas) estableciendo el n -ésimo bit de la secuencia a 1 si y solo si la n -ésima cadena (en orden shortlex ) pertenece al lenguaje. Esta representación es útil en el método de diagonalización para demostraciones. ^{[ 11 ]}