Recurrencia lineal con coeficientes constantes

En matemáticas (incluyendo combinatoria , álgebra lineal y sistemas dinámicos ), una recurrencia lineal con coeficientes constantes ^{[ 1 ]}^{: cap. 17}^{[ 2 ]}^{: cap. 10} (también conocida como relación de recurrencia lineal o ecuación de diferencias lineal ) iguala a 0 un polinomio que es lineal en las distintas iteraciones de una variable , es decir, en los valores de los elementos de una secuencia . La linealidad del polinomio significa que cada uno de sus términos tiene grado 0 o 1. Una recurrencia lineal denota la evolución de alguna variable a lo largo del tiempo, donde el período de tiempo actual o momento discreto en el tiempo se denota como $t$ , un período anterior como $t - 1$ , un período posterior como $t + 1$ , etc.

La solución de dicha ecuación es una función de $t$ , y no de ningún valor de iteración, dando el valor de la iteración en cualquier momento. Para hallar la solución es necesario conocer los valores específicos (conocidos como condiciones iniciales ) de $n$ iteraciones, que normalmente son las $n$ iteraciones más antiguas. Se dice que la ecuación o su variable es estable si, a partir de cualquier conjunto de condiciones iniciales, existe el límite de la variable cuando el tiempo tiende a infinito; este límite se denomina estado estacionario .

Las ecuaciones en diferencias se utilizan en diversos contextos, como en economía, para modelar la evolución temporal de variables como el producto interno bruto , la tasa de inflación , el tipo de cambio , etc. Se emplean en el modelado de series temporales porque los valores de estas variables solo se miden en intervalos discretos. En aplicaciones econométricas , las ecuaciones lineales en diferencias se modelan con términos estocásticos en forma de modelos autorregresivos (AR) y en modelos como la autorregresión vectorial (VAR) y los modelos autorregresivos de media móvil (ARMA), que combinan AR con otras características.

Definiciones

Una recurrencia lineal con coeficientes constantes es una ecuación de la siguiente forma, escrita en términos de los parámetros $a 1, ..., a n$ y $b$ :

$y_{t}=a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{n}y_{tn}+b,$

o equivalentemente como

$y_{t+n}=a_{1}y_{t+n-1}+\cdots +a_{n}y_{t}+b.$

El entero positivo $n$ Se denomina orden de la recurrencia e indica el intervalo de tiempo más largo entre iteraciones. La ecuación se denomina homogénea si $b = 0$ y no homogénea si $b \neq 0$ .

Si la ecuación es homogénea, los coeficientes determinan el polinomio característico (también llamado "polinomio auxiliar" o "polinomio acompañante").

$p(\lambda )=\lambda ^{n}-a_{1}\lambda ^{n-1}-a_{2}\lambda ^{n-2}-\cdots -a_{n}$

cuyas raíces desempeñan un papel crucial en la búsqueda y comprensión de las secuencias que satisfacen la recurrencia.

Conversión a forma homogénea

Si $b \neq 0$ , la ecuación

$y_{t}=a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{n}y_{tn}+b$

Se dice que es no homogénea . Para resolver esta ecuación, es conveniente convertirla a una forma homogénea, sin término constante . Esto se hace hallando primero el valor de estado estacionario de la ecuación : un valor $y *$ tal que, si $n$ iteraciones sucesivas tuvieran este valor, también lo tendrían todos los valores futuros. Este valor se halla igualando todos los valores de $y$ a $y *$ en la ecuación de diferencias y resolviendo, obteniendo así

$y^{*}={\frac {b}{1-a_{1}-\cdots -a_{n}}}$

suponiendo que el denominador no sea 0. Si es cero, el estado estacionario no existe.

Dado el estado estacionario, la ecuación de diferencias se puede reescribir en términos de desviaciones de las iteraciones respecto al estado estacionario, como

$\left(y_{t}-y^{*}\right)=a_{1}\left(y_{t-1}-y^{*}\right)+\cdots +a_{n}\left(y_{tn}-y^{*}\right)$

que no tiene término constante y que puede escribirse de forma más concisa como

$x_{t}=a_{1}x_{t-1}+\cdots +a_{n}x_{tn}$

donde $x$ es igual $a y - y *$ . Esta es la forma homogénea.

Si no hay estado estacionario, la ecuación de diferencias

$y_{t}=a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{n}y_{tn}+b$

puede combinarse con su forma equivalente

$y_{t-1}=a_{1}y_{t-2}+\cdots +a_{n}y_{t-(n+1)}+b$

para obtener (resolviendo ambos para $b$ )

$y_{t}-a_{1}y_{t-1}-\cdots -a_{n}y_{tn}=y_{t-1}-a_{1}y_{t-2}-\cdots -a_{n}y_{t-(n+1)}$

en la que se pueden combinar términos semejantes para dar una ecuación homogénea de un orden superior a la original.

Ejemplo de solución para pedidos pequeños

Las raíces del polinomio característico juegan un papel crucial en la búsqueda y comprensión de las secuencias que satisfacen la recurrencia. Si hay $d$ raíces distintas $r_{1},r_{2},\ldots ,r_{d},$ entonces cada solución a la recurrencia toma la forma $a_{n}=k_{1}r_{1}^{n}+k_{2}r_{2}^{n}+\cdots +k_{d}r_{d}^{n},$ donde los coeficientes $k_{i}$ se determinan para ajustarse a las condiciones iniciales de la recurrencia. Cuando las mismas raíces aparecen varias veces, los términos de esta fórmula correspondientes a la segunda y posteriores apariciones de la misma raíz se multiplican por potencias crecientes de $n$ . Por ejemplo, si el polinomio característico se puede factorizar como $(xr)^{3}$ , con la misma raíz $r$ Si ocurre tres veces, entonces la solución tomaría la forma $a_{n}=k_{1}r^{n}+k_{2}nr^{n}+k_{3}n^{2}r^{n}.$ ^{[ 3 ]}

Pedido 1

Para el orden 1, la recurrencia $a_{n}=ra_{n-1}$ tiene la solución $a_{n}=r^{n}$ con $a_{0}=1$ y la solución más general es $a_{n}=kr^{n}$ con $a_{0}=k$ . El polinomio característico igualado a cero (la ecuación característica ) es simplemente $tr=0$ .

Pedido 2

Las soluciones a tales relaciones de recurrencia de orden superior se encuentran por medios sistemáticos, a menudo utilizando el hecho de que $a_{n}=r^{n}$ es una solución para la recurrencia exactamente cuando $t=r$ es una raíz del polinomio característico. Esto se puede abordar directamente o utilizando funciones generadoras ( series de potencias formales ) o matrices.

Consideremos, por ejemplo, una relación de recurrencia de la forma $a_{n}=Aa_{n-1}+Ba_{n-2}.$

¿Cuándo tiene una solución de la misma forma general que $a_{n}=r^{n}$ Sustituyendo esta suposición ( ansatz ) en la relación de recurrencia, encontramos que $r^{n}=Ar^{n-1}+Br^{n-2}$ debe ser cierto para todos $n>1$ .

Dividiendo a través de por $r^{n-2}$ , obtenemos que todas estas ecuaciones se reducen a la misma afirmación:

${\begin{aligned}r^{2}&=Ar+B,\\r^{2}-Ar-B&=0,\end{aligned}}$

que es la ecuación característica de la relación de recurrencia. Resuelva para $r$ para obtener las dos raíces $\lambda _{1}$ , $\lambda _{2}$ Estas raíces se conocen como raíces características o autovalores de la ecuación característica. La forma de las soluciones depende de la naturaleza de estas raíces: si las raíces son distintas, tenemos la solución general.

${\ Displaystyle a_ {n} = C \ lambda _ {1} ^ {n} + D \ lambda _ {2} ^ {n}}$

mientras que si son idénticos (cuando $A^{2}+4B=0$ ), tenemos

$a_{n}=C\lambda ^{n}+Dn\lambda ^{n}$

Esta es la solución más general; las dos constantes $C$ y $D$ se puede elegir en función de dos condiciones iniciales dadas $a_{0}$ y $a_{1}$ para producir una solución específica.

En el caso de autovalores complejos (lo que también da lugar a valores complejos para los parámetros de la solución) $C$ y $D$ ), el uso de números complejos puede eliminarse reescribiendo la solución en forma trigonométrica. En este caso podemos escribir los autovalores como $\lambda _{1},\lambda _{2}=\alpha \pm \beta i.$ Entonces se puede demostrar que

${\ Displaystyle a_ {n} = C \ lambda _ {1} ^ {n} + D \ lambda _ {2} ^ {n}}$

puede reescribirse como ^{[ 4 ]}^{: 576–585}

$a_{n}=2M^{n}\left(E\cos(\theta n)+F\sin(\theta n)\right)=2GM^{n}\cos(\theta n-\delta ),$

dónde

${\begin{array}{lcl}M={\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}&\cos(\theta )={\tfrac {\alpha }{M}}&\sin(\theta )={\tfrac {\beta }{M}}\\C,D=E\mp Fi&&\\G={\sqrt {E^{2}+F^{2}}}&\cos(\delta )={\tfrac {E}{G}}&\sin(\delta )={\tfrac {F}{G}}\end{array}}$

Aquí $E$ y $F$ (o equivalentemente, $G$ y $\delta$ ) son constantes reales que dependen de las condiciones iniciales. Usando $\lambda _{1}+\lambda _{2}=2\alpha =A,$ $\lambda _{1}\cdot \lambda _{2}=\alpha ^{2}+\beta ^{2}=-B,$

Se puede simplificar la solución dada anteriormente como

$a_{n}=(-B)^{\frac {n}{2}}\left(E\cos(\theta n)+F\sin(\theta n)\right),$

dónde $a_{1}$ y $a_{2}$ son las condiciones iniciales y

${\begin{aligned}E&={\frac {-Aa_{1}+a_{2}}{B}}\\F&=-i{\frac {A^{2}a_{1}-Aa_{2}+2a_{1}B}{B{\sqrt {A^{2}+4B}}}}\\\theta &=\arccos \left({\frac {A}{2{\sqrt {-B}}}}\right)\end{aligned}}$

De esta manera no hay necesidad de resolver $\lambda _{1}$ y $\lambda _{2}$ .

En todos los casos —autovalores reales distintos, autovalores reales duplicados y autovalores complejos conjugados— la ecuación es estable (es decir, la variable $a$ converge a un valor fijo [específicamente, cero]) si y solo si ambos autovalores son menores que uno en valor absoluto . En este caso de segundo orden, se puede demostrar ^{[ 5 ]} que esta condición sobre los autovalores es equivalente a $|A|<1-B<2$ , lo cual es equivalente a $|B|<1$ y $|A|<1-B$ .

Solución general

Polinomio característico y raíces

Resolviendo la ecuación homogénea

$x_{t}=a_{1}x_{t-1}+\cdots +a_{n}x_{t-n}$

implica primero resolver su polinomio característico

$\lambda ^{n}=a_{1}\lambda ^{n-1}+\cdots +a_{n-2}\lambda ^{2}+a_{n-1}\lambda +a_{n}$

para sus raíces características $λ 1, ..., λ n$ . Estas raíces se pueden resolver algebraicamente si $n \leq 4$ , pero no necesariamente en caso contrario . Si la solución se va a utilizar numéricamente, todas las raíces de esta ecuación característica se pueden encontrar mediante métodos numéricos . Sin embargo, para su uso en un contexto teórico puede ser que la única información requerida sobre las raíces sea si alguna de ellas es mayor o igual que 1 en valor absoluto .

Puede que todas las raíces sean reales o que algunas sean números complejos . En este último caso, todas las raíces complejas aparecen en pares conjugados complejos .

Solución con raíces características distintivas

Si todas las raíces características son distintas, la solución de la recurrencia lineal homogénea

$x_{t}=a_{1}x_{t-1}+\cdots +a_{n}x_{t-n}$

puede escribirse en términos de las raíces características como

$x_{t}=c_{1}\lambda _{1}^{t}+\cdots +c_{n}\lambda _{n}^{t}$

donde los coeficientes $c i$ se pueden encontrar invocando las condiciones iniciales. Específicamente, para cada período de tiempo para el cual se conoce un valor de iteración, este valor y su valor correspondiente de $t$ se pueden sustituir en la ecuación de solución para obtener una ecuación lineal en los $n$ parámetros aún desconocidos; $n$ de dichas ecuaciones, una para cada condición inicial, se pueden resolver simultáneamente para los $n$ valores de los parámetros. Si todas las raíces características son reales, entonces todos los valores de los coeficientes $c i$ también serán reales; pero con raíces complejas no reales, en general algunos de estos coeficientes también serán no reales.

Conversión de una solución compleja a forma trigonométrica

Si hay raíces complejas, vienen en pares conjugados, al igual que los términos complejos en la ecuación de la solución. Si dos de estos términos complejos son $c j λ t j$ y $c j +1 λ t j +1$ , las raíces $λ j$ se pueden escribir como

$\lambda _{j},\lambda _{j+1}=\alpha \pm \beta i=M\left({\frac {\alpha }{M}}\pm {\frac {\beta }{M}}i\right)$

donde $i$ es la unidad imaginaria y $M$ es el módulo de las raíces:

$M={\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}.$

Entonces, los dos términos complejos en la ecuación de solución se pueden escribir como

${\begin{aligned}c_{j}\lambda _{j}^{t}+c_{j+1}\lambda _{j+1}^{t}&=M^{t}\left(c_{j}\left({\frac {\alpha }{M}}+{\frac {\beta }{M}}i\right)^{t}+c_{j+1}\left({\frac {\alpha }{M}}-{\frac {\beta }{M}}i\right)^{t}\right)\\[6pt]&=M^{t}\left(c_{j}\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)^{t}+c_{j+1}\left(\cos \theta -i\sin \theta \right)^{t}\right)\\[6pt]&=M^{t}{\bigl (}c_{j}\left(\cos \theta t+i\sin \theta t\right)+c_{j+1}\left(\cos \theta t-i\sin \theta t\right){\bigr )}\end{aligned}}$

donde $θ$ es el ángulo cuyo coseno es $⁠ α / M ⁠$ y cuyo seno es $⁠$ $β$ $/$ $M$ $⁠$ ; la última igualdad aquí utilizó la fórmula de de Moivre .

Ahora, el proceso de hallar los coeficientes $c j$ y $c j +1$ garantiza que también sean conjugados complejos, que pueden escribirse como $γ \pm δi$ . Usando esto en la última ecuación se obtiene esta expresión para los dos términos complejos en la ecuación de la solución:

$2M^{t}\left(\gamma \cos \theta t-\delta \sin \theta t\right)$

que también se puede escribir como

$2{\sqrt {\gamma ^{2}+\delta ^{2}}}M^{t}\cos(\theta t+\psi )$

donde $ψ$ es el ángulo cuyo coseno es $⁠$ $γ$ $/$ $\sqrt$ $γ$ $2$ $+$ $δ$ $2$ $⁠$ y cuyo seno es $⁠$ $δ$ $/$ $\sqrt$ $γ$ $2$ $+$ $δ$ $2$ $⁠$ .

Ciclicidad

Dependiendo de las condiciones iniciales, incluso con todas las raíces reales, las iteraciones pueden experimentar una tendencia transitoria a subir y bajar del valor de estado estacionario. Pero la verdadera ciclicidad implica una tendencia permanente a fluctuar, y esto ocurre si hay al menos un par de raíces características complejas conjugadas. Esto se puede observar en la forma trigonométrica de su contribución a la ecuación de solución, que involucra $cos θt$ y $sin θt$ .

Solución con raíces características duplicadas

$En el caso de$ segundo orden, si las dos raíces son idénticas ( $λ₁ = λ₂)$ , ambas pueden denotarse como $λ$ y una solución puede tener la forma

$x_{t}=c_{1}\lambda ^{t}+c_{2}t\lambda ^{t}.$

Solución mediante conversión a forma matricial.

Un método de solución alternativo implica convertir la ecuación de diferencias de orden $n en una$ ecuación de diferencias matricial de primer orden . Esto se logra escribiendo $w 1, t = y t$ , $w 2, t = y t -1 = w 1, t -1$ , $w 3, t = y t -2 = w 2, t -1$ , y así sucesivamente. Luego, la ecuación original de orden $n$ se convierte en una ecuación de diferencias simple.

$y_{t}=a_{1}y_{t-1}+a_{2}y_{t-2}+\cdots +a_{n}y_{t-n}+b$

puede ser reemplazado por las siguientes $n$ ecuaciones de primer orden:

${\begin{aligned}w_{1,t}&=a_{1}w_{1,t-1}+a_{2}w_{2,t-1}+\cdots +a_{n}w_{n,t-1}+b\\w_{2,t}&=w_{1,t-1}\\&\,\,\,\vdots \\w_{n,t}&=w_{n-1,t-1}.\end{aligned}}$

Definiendo el vector $w i$ como

$\mathbf {w} _{i}={\begin{bmatrix}w_{1,i}\\w_{2,i}\\\vdots \\w_{n,i}\end{bmatrix}}$

Esto se puede expresar en forma matricial como

$\mathbf {w} _{t}=\mathbf {A} \mathbf {w} _{t-1}+\mathbf {b}$

Aquí $A$ es una matriz $n \times n$ en la que la primera fila contiene $un 1, ..., un n$ y todas las demás filas tienen un solo 1 con todos los demás elementos siendo 0, y $b$ es un vector columna con primer elemento $b$ y con el resto de sus elementos siendo 0.

Esta ecuación matricial se puede resolver utilizando los métodos del artículo Ecuación de diferencias matriciales . En el caso homogéneo, $y i$ es un parapermanente de una matriz triangular inferior ^{[ 6 ].}

Solución mediante funciones generadoras

La recurrencia

$y_{t}=a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{n}y_{t-n}+b,$

se puede resolver utilizando la teoría de las funciones generadoras . Primero, escribimos ${\textstyle Y(x)=\sum _{t\geq 0}y_{t}x^{t}}$ La recurrencia es entonces equivalente a la siguiente ecuación de función generadora:

$Y(x)=a_{1}xY(x)+a_{2}x^{2}Y(x)+\cdots +a_{n}x^{n}Y(x)+{\frac {b}{1-x}}+p(x)$

dónde $p(x)$ es un polinomio de grado como máximo $n-1$ corrigiendo los términos iniciales. A partir de esta ecuación podemos resolver para obtener

$Y(x)=\left({\frac {b}{1-x}}+p(x)\right)\cdot {\frac {1}{1-a_{1}x-a_{2}x^{2}-\cdots -a_{n}x^{n}}}.$

En otras palabras, sin preocuparse por los coeficientes exactos, $Y(x)$ puede expresarse como una función racional $Y(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}.$

La forma cerrada se puede derivar mediante descomposición en fracciones parciales . Específicamente, si la función generadora se escribe como ${\frac {f(x)}{g(x)}}=\sum _{i}{\frac {f_{i}(x)}{(x-r_{i})^{m_{i}}}}$

entonces el polinomio $p(x)$ determina el conjunto inicial de correcciones $z(n)$ , el denominador $(x-r_{i})^{m}$ determina el término exponencial $r_{i}^{n}$ y el grado $m$ junto con el numerador $f_{i}(x)$ determinar el coeficiente polinómico $k_{i}(n)$ .

Relación con la solución de ecuaciones diferenciales

El método para resolver ecuaciones diferenciales lineales es similar al método anterior: la "suposición inteligente" ( ansatz ) para ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes es $e^{\lambda x}$ dónde $\lambda$ es un número complejo que se determina sustituyendo la suposición en la ecuación diferencial.

Esto no es una coincidencia. Consideremos la serie de Taylor de la solución de una ecuación diferencial lineal:

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}$

Se puede observar que los coeficientes de la serie están dados por la $n$ -ésima derivada de $f(x)$ evaluado en el punto $a$ La ecuación diferencial proporciona una ecuación de diferencias lineal que relaciona estos coeficientes.

Esta equivalencia puede utilizarse para calcular rápidamente la relación de recurrencia de los coeficientes en la solución en serie de potencias de una ecuación diferencial lineal.

La regla general (para ecuaciones en las que el polinomio que multiplica al primer término no es cero en cero) es la siguiente:

$y^{[k]}\to f[n+k]$ y de forma más general $x^{m}*y^{[k]}\to n(n-1)...(n-m+1)f[n+k-m]$

Ejemplo: La relación de recurrencia para los coeficientes de la serie de Taylor de la ecuación:

$(x^{2}+3x-4)y^{[3]}-(3x+1)y^{[2]}+2y=0$

es dado por

$n(n-1)f[n+1]+3nf[n+2]-4f[n+3]-3nf[n+1]-f[n+2]+2f[n]=0$

o

$-4f[n+3]+2nf[n+2]+n(n-4)f[n+1]+2f[n]=0.$

Este ejemplo muestra cómo los problemas que normalmente se resuelven utilizando el método de solución de series de potencias que se enseña en las clases normales de ecuaciones diferenciales se pueden resolver de una manera mucho más sencilla.

Ejemplo: La ecuación diferencial

$ay''+by'+cy=0$

tiene solución

$y=e^{ax}.$

La conversión de la ecuación diferencial a una ecuación de diferencias de los coeficientes de Taylor es

$af[n+2]+bf[n+1]+cf[n]=0.$

Es fácil ver que el $n$ -ésima derivada de $e^{ax}$ evaluado en $0$ es $a^{n}$ .

Resolución mediante transformadas Z

Ciertas ecuaciones en diferencias —en particular, las ecuaciones lineales en diferencias con coeficientes constantes— pueden resolverse mediante transformadas Z. Las transformadas Z son una clase de transformadas integrales que facilitan las manipulaciones algebraicas y ofrecen soluciones más directas. Existen casos en los que obtener una solución directa sería prácticamente imposible, pero resolver el problema mediante una transformada integral cuidadosamente elegida resulta sencillo.

Resolución con matrices

Las recurrencias lineales con coeficientes constantes también pueden resolverse mediante métodos matriciales. Para raíces únicas del polinomio característico, resulta útil la matriz de Vandermonde . ^{[ 7 ]} Para raíces múltiples, se utiliza la matriz de Vandermonde confluente . ^{[ 8 ]}

Estabilidad

En la ecuación de solución

$x_{t}=c_{1}\lambda _{1}^{t}+\cdots +c_{n}\lambda _{n}^{t},$

Un término con raíces características reales converge a 0 cuando $t$ crece indefinidamente si el valor absoluto de la raíz característica es menor que 1. Si el valor absoluto es igual a 1, el término permanecerá constante a medida que $t$ crece si la raíz es +1, pero fluctuará entre dos valores si la raíz es −1. Si el valor absoluto de la raíz es mayor que 1, el término se hará cada vez mayor con el tiempo. Un par de términos con raíces características complejas conjugadas convergerán a 0 con fluctuaciones amortiguadas si el valor absoluto del módulo $M$ de las raíces es menor que 1; si el módulo es igual a 1, persistirán fluctuaciones de amplitud constante en los términos combinados; y si el módulo es mayor que 1, los términos combinados mostrarán fluctuaciones de magnitud cada vez mayor.

Por lo tanto, la variable en evolución $x$ convergerá a 0 si todas las raíces características tienen una magnitud menor que 1.

Si la raíz mayor tiene valor absoluto 1, no se producirá ni convergencia a 0 ni divergencia al infinito. Si todas las raíces con magnitud 1 son reales y positivas, $x$ convergerá a la suma de sus términos constantes $c i$ ; a diferencia del caso estable, este valor convergente depende de las condiciones iniciales; distintos puntos de partida conducen a distintos puntos a largo plazo. Si alguna raíz es −1, su término contribuirá a fluctuaciones permanentes entre dos valores. Si alguna de las raíces de magnitud unitaria es compleja, persistirán fluctuaciones de amplitud constante de $x .$

Finalmente, si alguna raíz característica tiene una magnitud mayor que 1, entonces $x$ divergirá hacia el infinito a medida que el tiempo tiende al infinito, o fluctuará entre valores positivos y negativos cada vez mayores.

Un teorema de Issai Schur establece que todas las raíces tienen magnitud menor que 1 (el caso estable) si y solo si una cadena particular de determinantes son todos positivos. ^{[ 2 ]}^{: 247}

Si una ecuación de diferencias lineal no homogénea se ha convertido a una forma homogénea que se ha analizado como se indicó anteriormente, entonces las propiedades de estabilidad y ciclicidad de la ecuación no homogénea original serán las mismas que las de la forma homogénea derivada, con convergencia en el caso estable hacia el valor de estado estacionario $y *$ en lugar de hacia 0.

Véase también

Referencias

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1 2 Baumol, William (1970). Dinámica económica (Tercera ed.). Nueva York: Macmillan. ISBN 0-02-306660-1.
↑ Greene, Daniel H.; Knuth, Donald E. (1982), "2.1.1 Coeficientes constantes – A) Ecuaciones homogéneas", Matemáticas para el análisis de algoritmos (2.ª ed.), Birkhäuser, pág. 17 .
↑ Chiang, Alpha C., Métodos fundamentales de economía matemática , tercera edición, McGraw-Hill, 1984.
↑ Papanicolaou, Vassilis, "Sobre la estabilidad asintótica de una clase de ecuaciones lineales en diferencias," Mathematics Magazine 69(1), febrero de 1996, 34 – 43.
↑ Zatorsky, Roman; Goy, Taras (2016). "Parapermanencia de matrices triangulares y algunos teoremas generales sobre secuencias numéricas" . J. Int. Seq . 19 : 16.2.2.
↑ Kalman, D. (1982). "Números de Fibonacci generalizados mediante métodos matriciales". The Fibonacci Quarterly . 20 (1): 73– 76. doi : 10.1080/00150517.1982.12430034 .
↑ Sousa, A.; Takayasu, H.; Takayasu, M. (2019). "Procesos autorregresivos de coeficientes aleatorios y el modelo PUCK con potencial fluctuante, Apéndice A" . Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment . 013403 : 1–28 . doi : 10.1088/1742-5468/aaf109 .

[Chiang-1] Chiang, Alpha (1984). Métodos fundamentales de economía matemática (Tercera ed.). Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-010813-7.

[Baumol-2] 1 2 Baumol, William (1970). Dinámica económica (Tercera ed.). Nueva York: Macmillan. ISBN 0-02-306660-1.

[3] Greene, Daniel H.; Knuth, Donald E. (1982), "2.1.1 Coeficientes constantes – A) Ecuaciones homogéneas", Matemáticas para el análisis de algoritmos (2.ª ed.), Birkhäuser, pág. 17 .

[4] Chiang, Alpha C., Métodos fundamentales de economía matemática , tercera edición, McGraw-Hill, 1984.

[5] Papanicolaou, Vassilis, "Sobre la estabilidad asintótica de una clase de ecuaciones lineales en diferencias," Mathematics Magazine 69(1), febrero de 1996, 34 – 43.

[6] Zatorsky, Roman; Goy, Taras (2016). "Parapermanencia de matrices triangulares y algunos teoremas generales sobre secuencias numéricas" . J. Int. Seq . 19 : 16.2.2.

[7] Kalman, D. (1982). "Números de Fibonacci generalizados mediante métodos matriciales". The Fibonacci Quarterly . 20 (1): 73– 76. doi : 10.1080/00150517.1982.12430034 .

[8] Sousa, A.; Takayasu, H.; Takayasu, M. (2019). "Procesos autorregresivos de coeficientes aleatorios y el modelo PUCK con potencial fluctuante, Apéndice A" . Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment . 013403 : 1–28 . doi : 10.1088/1742-5468/aaf109 .

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