función holonómica

Dejar${\displaystyle \mathbb {K} }$ser un campo de característica 0 (por ejemplo,${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {Q} }$o${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }$).

Una función${\displaystyle f=f(x)}$se llama${\displaystyle D}$-finito (u holonómico ) si existen polinomios${\displaystyle 0\neq a_{r}(x),a_{r-1}(x),\ldots ,a_{0}(x)\in \mathbb {K} [x]}$de tal manera que

${\displaystyle a_{r}(x)f^{(r)}(x)+a_{r-1}(x)f^{(r-1)}(x)+\cdots +a_{1}(x)f'(x)+a_{0}(x)f(x)=0}$

se aplica a todos${\displaystyle x}$Esto también se puede escribir como${\displaystyle Af=0}$dónde

${\displaystyle A=\sum _{k=0}^{r}a_{k}D_{x}^{k}}$

y${\displaystyle D_{x}}$es el operador diferencial que mapea${\displaystyle f(x)}$a${\displaystyle f'(x)}$.${\displaystyle A}$se denomina operador aniquilador de${\displaystyle f}$(los operadores aniquiladores de${\displaystyle f}$formar un ideal en el anillo${\displaystyle \mathbb {K} [x][D_{x}]}$, llamado el aniquilador de${\displaystyle f}$). La cantidad${\displaystyle r}$se denomina orden del operador aniquilador. Por extensión, la función holonómica${\displaystyle f}$Se dice que está en orden${\displaystyle r}$cuando existe un operador aniquilador de tal orden.

Una secuencia${\displaystyle c=c_{0},c_{1},\ldots }$se llama${\displaystyle P}$-recursivo (u holonómico ) si existen polinomios${\displaystyle a_{r}(n),a_{r-1}(n),\ldots ,a_{0}(n)\in \mathbb {K} [n]}$de tal manera que

${\displaystyle a_{r}(n)c_{n+r}+a_{r-1}(n)c_{n+r-1}+\cdots +a_{0}(n)c_{n}=0}$

se aplica a todos${\displaystyle n}$Esto también se puede escribir como${\displaystyle Ac=0}$dónde

${\displaystyle A=\sum _{k=0}^{r}a_{k}S_{n}}$

y${\displaystyle S_{n}}$el operador de turno que asigna${\displaystyle c_{0},c_{1},\ldots }$a${\displaystyle c_{1},c_{2},\ldots }$.${\displaystyle A}$se denomina operador aniquilador de${\displaystyle c}$(los operadores aniquiladores de${\displaystyle c}$formar un ideal en el anillo${\displaystyle \mathbb {K} [n][S_{n}]}$, llamado el aniquilador de${\displaystyle c}$). La cantidad${\displaystyle r}$se denomina orden del operador aniquilador. Por extensión, la secuencia holonómica${\displaystyle c}$Se dice que está en orden${\displaystyle r}$cuando existe un operador aniquilador de tal orden.

Las funciones holonómicas son precisamente las funciones generadoras de secuencias holonómicas: si${\displaystyle f(x)}$es holonómico, entonces los coeficientes${\displaystyle c_{n}}$en la expansión de la serie de poder

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}}$

formar una secuencia holonómica. Por el contrario, para una secuencia holonómica dada${\displaystyle c_{n}}$, la función definida por la suma anterior es holonómica (esto es cierto en el sentido de series de potencias formales , incluso si la suma tiene un radio de convergencia cero ).

Las funciones (o secuencias) holonómicas satisfacen varias propiedades de cierre . En particular, las funciones (o secuencias) holonómicas forman un anillo . Sin embargo, no son cerradas bajo la división y, por lo tanto, no forman un cuerpo .

Si${\displaystyle \textstyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}x^{n}}$y${\displaystyle \textstyle g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }g_{n}x^{n}}$Si las siguientes funciones son holonómicas, entonces también lo son:

• ${\displaystyle h(x)=\alpha f(x)+\beta g(x)}$, dónde${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$son constantes
• ${\displaystyle h(x)=f(x)g(x)}$(el producto de Cauchy de las secuencias)
• ${\displaystyle h(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}g_{n}x^{n}}$(el producto de Hadamard de las secuencias)
• ${\displaystyle h(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t}$
• ${\displaystyle h(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{k=0}^{n}f_{k}\right)x^{n}}$
• ${\displaystyle h(x)=f(a(x))}$, dónde${\displaystyle a(x)}$es cualquier función algebraica . Sin embargo,${\displaystyle a(f(x))}$Generalmente no es holonómico.

Una propiedad crucial de las funciones holonómicas es que las propiedades de cierre son efectivas: dados los operadores anuladores para${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$, un operador aniquilador para${\displaystyle h}$tal como se define utilizando cualquiera de las operaciones anteriores, se puede calcular explícitamente.

Algunos ejemplos de funciones holonómicas son:

• Todas las funciones algebraicas , incluyendo polinomios y funciones racionales.
• las funciones seno y coseno (pero no tangente, cotangente, secante ni cosecante)
• las funciones seno y coseno hiperbólicos (pero no tangente, cotangente, secante ni cosecante hiperbólicas)
• funciones exponenciales y logaritmos (en cualquier base)
• la función hipergeométrica generalizada${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p},b_{1},\ldots ,b_{q},x)}$, considerada como una función de${\displaystyle x}$con todos los parámetros${\displaystyle a_{i}}$,${\displaystyle b_{i}}$mantenido fijo
• la función de error${\displaystyle \operatorname {erf} (x)}$
• las funciones de Bessel${\displaystyle J_{n}(x)}$,${\displaystyle Y_{n}(x)}$,${\displaystyle I_{n}(x)}$,${\displaystyle K_{n}(x)}$
• las funciones de Airy${\displaystyle \operatorname {Ai} (x)}$,${\displaystyle \operatorname {Bi} (x)}$

La clase de funciones holonómicas es un superconjunto estricto de la clase de funciones hipergeométricas. Ejemplos de funciones especiales que son holonómicas pero no hipergeométricas incluyen las funciones de Heun .

Ejemplos de secuencias holonómicas incluyen:

• La secuencia de números de Fibonacci${\displaystyle F_{n}}$y, de forma más general, todas las secuencias recursivas constantes.
• la secuencia de factoriales${\displaystyle n!}$
• la secuencia de coeficientes binomiales${\displaystyle \textstyle {n \choose k}}$(como funciones de cualquiera de${\displaystyle n}$o${\displaystyle k}$)
• la secuencia de números armónicos${\displaystyle \textstyle H_{n}=\sum _ {k=1}^{n}{\frac {1}{k}}}$y, en general${\displaystyle \textstyle H_{n,m}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{m}}}}$para cualquier número entero${\displaystyle m}$
• la secuencia de números catalanes
• la secuencia de números de Motzkin
• la enumeración de trastornos .

Las funciones hipergeométricas, las funciones de Bessel y los polinomios ortogonales clásicos , además de ser funciones holonómicas de su variable, también son secuencias holonómicas con respecto a sus parámetros. Por ejemplo, las funciones de Bessel${\displaystyle J_{n}}$y${\displaystyle Y_{n}}$satisfacer la recurrencia lineal de segundo orden${\displaystyle x(f_{n+1}+f_{n-1})=2nf_{n}}$.

Algunos ejemplos de funciones no holonómicas son:

• la función${\displaystyle {\tfrac {x}{e^{x}-1}}}$^{[ 2 ]}
• la función${\displaystyle \tan x+\sec x}$^{[ 3 ]}
• El cociente de dos funciones holonómicas generalmente no es holonómico.

Algunos ejemplos de secuencias no holonómicas son:

• los números de Bernoulli
• los números de permutaciones alternas ^{[ 4 ]}
• el número de particiones enteras ^{[ 3 ]}
• los números${\displaystyle \log n}$^{[ 3 ]}
• los números${\displaystyle n^{\alpha }}$dónde${\displaystyle \alpha \not \in \mathbb {Z} }$^{[ 3 ]}
• los números primos ^{[ 3 ]}
• las enumeraciones de permutaciones irreducibles y conexas . ^{[ 5 ]}