Cierre (matemáticas)

En matemáticas, un subconjunto de un conjunto mayor es cerrado bajo una operación dada sobre el conjunto mayor si al realizar esa operación sobre los elementos del subconjunto siempre se obtiene un elemento de ese subconjunto. Por ejemplo, los números naturales son cerrados bajo la suma, pero no bajo la resta: 1 − 2 no es un número natural, aunque 1 y 2 sí lo son.

De manera similar, se dice que un subconjunto es cerrado bajo una colección de operaciones si es cerrado bajo cada una de las operaciones individualmente.

El cierre de un subconjunto es el resultado de aplicar un operador de cierre al subconjunto. El cierre de un subconjunto bajo ciertas operaciones es el superconjunto más pequeño que es cerrado bajo dichas operaciones. A menudo se le denomina conjunto generado (por ejemplo, conjunto lineal ) o conjunto generado .

Sea S un conjunto equipado con uno o varios métodos para producir elementos de S a partir de otros elementos de S. ^{[ nota 1} ] Se dice que un subconjunto X de S es cerrado bajo estos métodos si una entrada de elementos puramente de X siempre resulta en un elemento que todavía está en X. A ^veces , también se puede decir que X tiene lapropiedad de cierre .

La propiedad principal de los conjuntos cerrados, que se deduce inmediatamente de la definición, es que toda intersección de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado . De ello se deduce que para cada subconjunto Y de S , existe un subconjunto cerrado más pequeño X de S tal que${\displaystyle Y\subsetequ X}$( es la intersección de todos los subconjuntos cerrados que contienen a Y ). Dependiendo del contexto, X se denomina clausura de Y o conjunto generado o abarcado por Y.

Los conceptos de conjuntos cerrados y cierre a menudo se extienden a cualquier propiedad de subconjuntos que sean estables bajo intersección; es decir, toda intersección de subconjuntos que tienen la propiedad también tiene la propiedad. Por ejemplo, en${\displaystyle \mathbb {C} ^{n},}$Un conjunto cerrado de Zariski , también conocido como conjunto algebraico , es el conjunto de las raíces comunes de una familia de polinomios, y la clausura de Zariski de un conjunto V de puntos es el conjunto algebraico más pequeño que contiene a V.

Una relación binaria${\displaystyle R}$en un plató${\displaystyle A}$es un subconjunto de${\displaystyle A\times A}$, que es el conjunto de todos los pares ordenados en${\displaystyle A}$. La notación infija${\displaystyle xRy}$se utiliza comúnmente para${\displaystyle (x,y)\in R}$Podemos definir diferentes tipos de cierres de${\displaystyle R}$en${\displaystyle A}$por sus propiedades y operaciones. Por ejemplo: ^{[ nota 2 ]}

Reflexividad

Como toda intersección de relaciones reflexivas es reflexiva, definimos el cierre reflexivo de${\displaystyle R}$en${\displaystyle A}$como la relación reflexiva más pequeña en${\displaystyle A}$que contiene${\displaystyle R}$.

Simetría

Como podemos definir una operación unaria en${\displaystyle A\times A}$que mapas${\displaystyle (x,y)}$a${\displaystyle (y,x)}$, definimos el cierre simétrico de${\displaystyle R}$en${\displaystyle A}$como la relación más pequeña en${\displaystyle A}$que contiene${\displaystyle R}$y se cierra bajo esta operación unaria.

Transitividad

Como podemos definir una operación binaria parcial en${\displaystyle A\times A}$que mapas${\displaystyle (x,y)}$y${\displaystyle (y,z)}$a${\displaystyle (x,z)}$, definimos el cierre transitivo de${\displaystyle R}$en${\displaystyle A}$como la relación más pequeña en${\displaystyle A}$que contiene${\displaystyle R}$y se cierra bajo esta operación binaria parcial.

Un preorden es una relación reflexiva y transitiva. Por lo tanto, el cierre transitivo reflexivo de una relación es el preorden más pequeño que la contiene. De manera similar, el cierre simétrico transitivo reflexivo o el cierre de equivalencia de una relación es la relación de equivalencia más pequeña que la contiene.

• En la teoría de matroides , el cierre de X es el superconjunto más grande de X que tiene el mismo rango que X.
• El cierre transitivo de un conjunto . ^{[ 1 ]}
• El cierre algebraico de un cuerpo . ^{[ 2 ]}
• El cierre integral de un dominio integral en un cuerpo que lo contiene.
• El radical de un ideal en un anillo conmutativo .
• En geometría , la envoltura convexa de un conjunto S de puntos es el conjunto convexo más pequeño del cual S es un subconjunto . ^{[ 3 ]}
• En los lenguajes formales , el cierre de Kleene de un lenguaje se puede describir como el conjunto de cadenas que se pueden formar concatenando cero o más cadenas de ese lenguaje.
• En teoría de grupos , la clausura conjugada o clausura normal de un conjunto de elementos de un grupo es el subgrupo normal más pequeño que contiene dicho conjunto.
• En análisis matemático y en teoría de la probabilidad , el cierre de una colección de subconjuntos de X bajo una cantidad numerable de operaciones de conjuntos se denomina σ-álgebra generada por la colección.

En las secciones anteriores, se consideran cierres para subconjuntos de un conjunto dado. Los subconjuntos de un conjunto forman un conjunto parcialmente ordenado (poset) para su inclusión . Los operadores de cierre permiten generalizar el concepto de cierre a cualquier conjunto parcialmente ordenado.

Dado un poset S cuyo orden parcial se denota con ≤ , un operador de cierre en S es una función${\displaystyle C:S\to S}$eso es

• aumentando (${\displaystyle x\leq C(x)}$a pesar de${\displaystyle x\in S}$),
• idempotente (${\displaystyle C(C(x))=C(x)}$), y
• monótono (${\displaystyle x\leq y\implies C(x)\leq C(y)}$). ^{[ 4 ]}

De forma equivalente, una función de S a S es un operador de cierre si${\displaystyle x\leq C(y)\iff C(x)\leq C(y)}$a pesar de${\displaystyle x,y\in S.}$

Un elemento de S es cerrado si es su propio cierre, es decir, si${\displaystyle x=C(x).}$Por idempotencia, un elemento es cerrado si y solo si es el cierre de algún elemento de S.

Un ejemplo es el operador de cierre topológico ; en la caracterización de Kuratowski , los axiomas K2, K3, K4' corresponden a las propiedades definitorias anteriores. Un ejemplo que no opera sobre subconjuntos es la función techo , que asigna a cada número real x el entero más pequeño que no es menor que x .

• Weisstein, Eric W. "Cierre algebraico" . MathWorld .