Generador (matemáticas)

En matemáticas y física , el término generador o grupo electrógeno puede referirse a cualquiera de varios conceptos relacionados. El concepto subyacente en cada caso es el de un conjunto más pequeño de objetos, junto con un conjunto de operaciones que se pueden aplicar a él, que dan como resultado la creación de una colección más grande de objetos, llamada el conjunto generado . Entonces se dice que el conjunto más grande es generado por el conjunto más pequeño. Es común el caso de que el grupo electrógeno tenga un conjunto de propiedades más simple que el conjunto generado, lo que hace que sea más fácil de discutir y examinar. Por lo general, es el caso de que las propiedades del grupo electrógeno se conservan de alguna manera por el acto de generación; asimismo, las propiedades del conjunto generado a menudo se reflejan en el grupo electrógeno.

A continuación se muestra una lista de ejemplos de grupos electrógenos.

• Conjunto generador o conjunto generador de un espacio vectorial : un conjunto que abarca el espacio vectorial
• Conjunto generador de un grupo : Un subconjunto de un grupo que no está contenido en ningún subgrupo del grupo que no sea el grupo entero
• Conjunto generador de un anillo : Un subconjunto S de un anillo A genera A si el único subanillo de A que contiene a S es A
• Conjunto generador de un ideal en un anillo
• Conjunto generador de un módulo
• Un generador , en teoría de categorías , es un objeto que puede utilizarse para distinguir morfismos.
• En topología , una colección de conjuntos que generan la topología se denomina subbase.
• Conjunto generador de un álgebra topológica : S es un conjunto generador de un álgebra topológica A si la subálgebra cerrada más pequeña de A que contiene a S es A
• Generación de una σ-álgebra mediante una colección de subconjuntos

En el estudio de las ecuaciones diferenciales , y comúnmente en las que se dan en física , se tiene la idea de un conjunto de desplazamientos infinitesimales que pueden extenderse para obtener una variedad , o al menos, una parte local de ella, por medio de la integración. El concepto general es el de utilizar la función exponencial para tomar los vectores en el espacio tangente y extenderlos, como geodésicas , a un conjunto abierto que rodea al punto tangente. En este caso, no es inusual llamar a los elementos del espacio tangente los generadores de la variedad. Cuando la variedad posee algún tipo de simetría, también existe la noción relacionada de carga o corriente , que a veces también se llama generador, aunque, estrictamente hablando, las cargas no son elementos del espacio tangente.

• Los elementos del álgebra de Lie que forman un grupo de Lie se denominan a veces "generadores del grupo", especialmente por parte de los físicos. ^[1] El álgebra de Lie puede considerarse como los vectores infinitesimales que generan el grupo, al menos localmente, por medio de la función exponencial , pero el álgebra de Lie no forma un conjunto generador en sentido estricto. ^[2]
• En el análisis estocástico , una difusión de Itō o un proceso de Itō más general tiene un generador infinitesimal .
• El generador de cualquier simetría continua implicada por el teorema de Noether , siendo los generadores de un grupo de Lie un caso especial. En este caso, un generador a veces se denomina carga o carga de Noether . Algunos ejemplos incluyen:
  • El momento angular como generador de rotaciones , ^[3]
  • El momento lineal como generador de traslaciones , ^[3]
  • siendo la carga eléctrica el generador del grupo de simetría U(1) del electromagnetismo ,
  • Las cargas de color de los quarks son los generadores de la simetría de color SU(3) en la cromodinámica cuántica .
• Más precisamente, "carga" debería aplicarse sólo al sistema raíz de un grupo de Lie.

• Objeto libre
• Función generadora
• Teoría de la mentira
• Simetría (física)
• Supersimetría
• Teoría de calibre
• Campo (física)

• Grupos electrógenos, K. Conrad