Álgebra topológica

En matemáticas , un álgebra topológica es un álgebra y al mismo tiempo un espacio topológico , donde las estructuras algebraicas y topológicas son coherentes en un sentido específico. ${\estilo de visualización A}$

Un álgebra topológica sobre un campo topológico es un espacio vectorial topológico junto con una multiplicación bilineal ${\estilo de visualización A}$ ${\estilo de visualización K}$

${\displaystyle \cdot :A\veces A\a A}$,

${\displaystyle (a,b)\mapsto a\cdot b}$

que se convierte en un álgebra continua en algún sentido definido . Por lo general, la continuidad de la multiplicación se expresa mediante uno de los siguientes requisitos (no equivalentes): ${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización K}$

• continuidad conjunta : ^[1] para cada vecindad de cero hay vecindades de cero y tales que (en otras palabras, esta condición significa que la multiplicación es continua como una función entre espacios topológicos ), o${\displaystyle U\subseteq A}$${\displaystyle V\subseteq A}$${\displaystyle W\subseteq A}$${\displaystyle V\cdot W\subseteq U}$${\displaystyle A\veces A\a A}$
• continuidad del estereotipo : ^[2] para cada conjunto totalmente acotado y para cada vecindad de cero hay una vecindad de cero tal que y , o${\displaystyle S\subseteq A}$${\displaystyle U\subseteq A}$${\displaystyle V\subseteq A}$${\displaystyle S\cdot V\subseteq U}$${\displaystyle V\cdot S\subseteq U}$
• continuidad separada : ^[3] para cada elemento y para cada vecindad de cero hay una vecindad de cero tal que y .${\displaystyle a\en A}$${\displaystyle U\subseteq A}$${\displaystyle V\subseteq A}$${\displaystyle a\cdot V\subseteq U}$${\displaystyle V\cdot a\subseteq U}$

(Ciertamente, la continuidad conjunta implica continuidad estereotípica, y la continuidad estereotípica implica continuidad separada.) En el primer caso se llama " álgebra topológica con multiplicación conjunta continua ", y en el último, " con multiplicación separada continua ". ${\estilo de visualización A}$

Un álgebra topológica asociativa unitaria se denomina (a veces) anillo topológico .

El término fue acuñado por David van Dantzig ; aparece en el título de su tesis doctoral (1931).

1. Las álgebras de Fréchet son ejemplos de álgebras topológicas asociativas con multiplicación conjunta continua.

2. Las álgebras de Banach son casos especiales de las álgebras de Fréchet .

3. Las álgebras estereotípicas son ejemplos de álgebras topológicas asociativas con multiplicación continua estereotípica.

• Álgebra topológica en el laboratorio n

• Beckenstein, E.; Narici, L.; Suffel, C. (1977). Álgebras topológicas . Ámsterdam: Holanda del Norte. ISBN 9780080871356.
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• Balachandran, VK (2000). Álgebras topológicas . Ámsterdam: Holanda Septentrional. ISBN 9780080543086.
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