Convergencia puntual

En matemáticas , la convergencia puntual es uno de los diversos sentidos en los que una secuencia de funciones puede converger a una función particular. Es más débil que la convergencia uniforme , con la que se la suele comparar. ^{[1] [2]}

Supongamos que es un conjunto y es un espacio topológico , como los números reales o complejos o un espacio métrico , por ejemplo. Se dice que una secuencia de funciones que tienen todas el mismo dominio y codominio convergen puntualmente a una función dada que a menudo se escribe como si (y solo si) el límite de la secuencia evaluada en cada punto del dominio de es igual a , escrito como Se dice que la función es la función límite puntual de la${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización Y}$ ${\displaystyle \left(f_{n}\right)}$${\estilo de visualización X}$ ${\estilo de visualización Y}$${\displaystyle f:X\to Y}$$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}=f\ {\mbox{puntual}}}$$ $Estilo de visualización f_{n}(x)}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización f(x)}$$${\displaystyle \para todo x\en X.\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x).}$$${\estilo de visualización f}$${\displaystyle \left(f_{n}\right).}$

La definición se generaliza fácilmente de secuencias a redes . Decimos que convergen puntualmente a , escrito como si (y solo si) es el único punto de acumulación de la red evaluado en cada punto en el dominio de , escrito como ${\displaystyle f_{\bullet}=\left(f_{a}\right)_{a\in A}}$${\displaystyle f_{\bullet}}$${\estilo de visualización f}$$${\displaystyle \lim _{a\in A}f_{a}=f\ {\mbox{puntual}}}$$${\estilo de visualización f(x)}$${\displaystyle f_{\bullet}(x)}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización f}$$${\displaystyle \para todo x\en X.\lim _{a\en A}f_{a}(x)=f(x).}$$

A veces, los autores utilizan el término convergencia puntual acotada cuando existe una constante tal que . ^[3]${\estilo de visualización C}$${\displaystyle \paratodos n,x,\;|f_{n}(x)|<C}$

Este concepto se contrasta a menudo con la convergencia uniforme . Decir eso significa que donde es el dominio común de y , y representa el supremo . Esa es una afirmación más fuerte que la afirmación de convergencia puntual: toda secuencia uniformemente convergente es convergente puntualmente, a la misma función límite, pero algunas secuencias convergentes puntuales no son uniformemente convergentes. Por ejemplo, si es una secuencia de funciones definidas por entonces puntualmente en el intervalo pero no uniformemente. $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}=f\ {\mbox{uniformemente}}}$$$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\,\sup\{\,\left|f_{n}(x)-f(x)\right|:x\in A\,\}=0,}$$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización f}$$Estilo de visualización f_{n}$${\estilo de visualización \sup}$${\displaystyle f_{n}:[0,1)\to [0,1)}$${\displaystyle f_{n}(x)=x^{n},}$${\displaystyle \lim_{n\to \infty}f_{n}(x)=0}$${\displaystyle [0,1),}$

El límite puntual de una secuencia de funciones continuas puede ser una función discontinua, pero solo si la convergencia no es uniforme. Por ejemplo, toma el valor cuando es un número entero y cuando no lo es, por lo que es discontinua en cada número entero. $${\displaystyle f(x)=\lim _{n\to \infty }\cos(\pi x)^{2n}}$$${\estilo de visualización 1}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización 0}$${\estilo de visualización x}$

Los valores de las funciones no necesitan ser números reales, sino que pueden estar en cualquier espacio topológico , para que el concepto de convergencia puntual tenga sentido. La convergencia uniforme, por otra parte, no tiene sentido para funciones que toman valores en espacios topológicos en general, pero sí tiene sentido para funciones que toman valores en espacios métricos y, de manera más general, en espacios uniformes . $Estilo de visualización f_{n}$

Sea el conjunto de todas las funciones de un conjunto dado en un espacio topológico. Como se describe en el artículo sobre caracterizaciones de la categoría de espacios topológicos , si se cumplen ciertas condiciones, es posible definir una topología única en un conjunto en términos de qué redes convergen y cuáles no . La definición de convergencia puntual cumple estas condiciones y, por lo tanto, induce una topología , llamada$Estilo de visualización Y^{X}}$${\estilo de visualización X}$ ${\displaystyle Y.}$topología de convergencia puntual , en el conjuntode todas las funciones de la forma Una redconverge en esta topología si y sólo si converge puntualmente. $Estilo de visualización Y^{X}}$${\displaystyle X\a Y.}$$Estilo de visualización Y^{X}}$

La topología de convergencia puntual es la misma que la convergencia en la topología del producto en el espacio donde es el dominio y es el codominio. Explícitamente, si es un conjunto de funciones de algún conjunto en algún espacio topológico , entonces la topología de convergencia puntual en es igual a la topología del subespacio que hereda del espacio del producto cuando se identifica como un subconjunto de este producto cartesiano a través de la función de inclusión canónica definida por${\displaystyle Y^{X},}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización Y}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq Y^{X}}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización Y}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ $Estilo de visualización: Prod. \frac {x\in X}Y$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\to \prod_{x\in X}Y}$${\displaystyle f\mapsto (f(x))_{x\in X}.}$

Si el codominio es compacto , entonces, por el teorema de Tichonoff , el espacio también es compacto. ${\estilo de visualización Y}$$Estilo de visualización Y^{X}}$

En teoría de la medida , se habla de convergencia casi universal de una secuencia de funciones mensurables definidas en un espacio medible . Esto significa convergencia puntual casi universal , es decir, en un subconjunto del dominio cuyo complemento tiene medida cero. El teorema de Egorov afirma que la convergencia puntual casi universal en un conjunto de medida finita implica convergencia uniforme en un conjunto ligeramente más pequeño.

Casi en todas partes, la convergencia puntual en el espacio de funciones en un espacio de medida no define la estructura de una topología en el espacio de funciones medibles en un espacio de medida (aunque es una estructura de convergencia ). En un espacio topológico, cuando cada subsecuencia de una secuencia tiene en sí misma una subsecuencia con el mismo límite subsiguiente , la secuencia misma debe converger a ese límite.

Pero consideremos la secuencia de las llamadas funciones de "rectángulos galopantes", que se definen utilizando la función floor : let y mod y let ${\displaystyle N=\operatorname {piso} \left(\log _{2}n\right)}$${\displaystyle k=n}$ ${\estilo de visualización 2^{N},}$$${\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}1,&{\frac {k}{2^{N}}}\leq x\leq {\frac {k+1}{2^{N}}}\\0,&{\text{en caso contrario}}.\end{cases}}}$$

Entonces, cualquier subsecuencia de la sucesión tiene una subsubsecuencia que converge casi en todas partes a cero, por ejemplo, la subsecuencia de funciones que no se anulan en Pero en ningún punto la sucesión original converge puntualmente a cero. Por lo tanto, a diferencia de la convergencia en medida y la convergencia , la convergencia puntual casi en todas partes no es la convergencia de ninguna topología en el espacio de funciones. ${\displaystyle \left(f_{n}\right)_{n}}$${\displaystyle x=0.}$$Estilo de visualización L^{p}}$

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