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Paridad (matemáticas)

Regletas Cuisenaire : 5 (amarillas) no se pueden dividir exactamente en 2 (rojas) por dos regletas cualesquiera del mismo color/longitud, mientras que 6 (verde oscuro) se pueden...

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Regletas Cuisenaire : 5 (amarillas) no se pueden dividir exactamente en 2 (rojas) por dos regletas cualesquiera del mismo color/longitud, mientras que 6 (verde oscuro) se pueden dividir exactamente en 2 por 3 (verde lima).

En matemáticas , la paridad es la propiedad de un número entero que determina si es par o impar . Un número entero es par si es divisible por 2, e impar si no lo es. [ 1 ] Por ejemplo, −4, 0 y 82 son números pares, mientras que −3, 5 y 23 son números impares.

La definición anterior de paridad se aplica únicamente a números enteros; por lo tanto , no puede aplicarse a números con fracciones o decimales, como 1/2 o 4,6978 . Véase la sección «  Matemáticas superiores» para consultar algunas extensiones del concepto de paridad a una clase más amplia de «números» o en otros contextos más generales.

Los números pares e impares tienen paridades opuestas, por ejemplo, 22 (un número par) y 13 (un número impar). En particular, la paridad del cero es par. [ 2 ] Cualquier par de enteros consecutivos tiene paridad opuesta. Un entero expresado en el sistema numérico decimal es par o impar según si su último dígito es par o impar. Es decir, si el último dígito es 1, 3, 5, 7 o 9, entonces es impar; de lo contrario, es par, ya que el último dígito de cualquier número par es 0, 2, 4, 6 u 8. [ 3 ]

Este concepto se aplica a cualquier sistema de base par: cualquier número entero expresado en el sistema numérico binario es impar si su último dígito es 1; y es par si su último dígito es 0. En una base impar, el número es par si y solo si la suma de sus dígitos es par; por ejemplo, en base siete , 11 (equivalente a 8 en base diez) es par (porqueΣ=2{\displaystyle \Sigma =2}) y 115 (equivalente a 61 en base diez) es impar (porqueΣ=7{\displaystyle \Sigma =7}). [ 3 ]

Definición

Un número par es un número entero de la forma incógnita=2k{\displaystyle x=2k} donde k es un número entero; [ 4 ] un número impar es un número entero de la forma incógnita=2k+1.{\displaystyle x=2k+1.}

Una definición equivalente es que un número par es divisible por 2: 2 | incógnita{\displaystyle 2\ |\ x} y un número impar no lo es: 2⧸| incógnita{\displaystyle 2\not |\ x}

Los conjuntos de números pares e impares se pueden definir de la siguiente manera: [ 5 ]{2k:k∈Z}{\displaystyle \{2k:k\in \mathbb {Z} \}}{2k+1:k∈Z}{\displaystyle \{2k+1:k\in \mathbb {Z} \}}

El conjunto de los números pares es un ideal primo deZ{\displaystyle \mathbb {Z} }y el anillo cocienteZ/2Z{\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }es el campo con dos elementos . La paridad se puede definir entonces como el homomorfismo de anillo único deZ{\displaystyle \mathbb {Z} }aZ/2Z{\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }donde los números impares son 1 y los números pares son 0. Las consecuencias de este homomorfismo se explican a continuación.

Propiedades

Las siguientes leyes se pueden verificar utilizando las propiedades de divisibilidad . Son un caso especial de reglas en aritmética modular y se usan comúnmente para comprobar si una igualdad es probablemente correcta mediante la prueba de la paridad de cada lado. Al igual que en la aritmética ordinaria, la multiplicación y la suma son conmutativas y asociativas en la aritmética módulo 2, y la multiplicación es distributiva sobre la suma. Sin embargo, la resta en módulo 2 es idéntica a la suma, por lo que la resta también posee estas propiedades, lo cual no es cierto para la aritmética entera normal.

Suma y resta

  • par ± par = par; [ 1 ]
  • par ± impar = impar;
  • impar ± impar = par;

Multiplicación

  • par × par = par;
  • par × impar = par;
  • impar × impar = impar.

Por construcción en la sección anterior, la estructura ({par, impar}, +, ×) es de hecho el campo con dos elementos .

División

La división de dos números enteros no necesariamente da como resultado un número entero. Por ejemplo, 1 dividido entre 4 es igual a 1/4, que no es ni par ni impar, ya que los conceptos de paridad e imparidad solo se aplican a los números enteros. Pero cuando el cociente es un número entero, será par si y solo si el dividendo tiene más factores de dos que el divisor. [ 6 ]

Historia

Los antiguos griegos consideraban que el 1, la mónada , no era ni completamente impar ni completamente par. [ 7 ] Parte de este sentimiento sobrevivió hasta el siglo XIX: La educación del hombre de Friedrich Wilhelm August Fröbel , de 1826, instruye al maestro a instruir a los estudiantes con la afirmación de que el 1 no es ni par ni impar, a lo que Fröbel adjunta la reflexión filosófica posterior,

Es conveniente dirigir la atención del alumno de inmediato hacia una ley fundamental, tanto de la naturaleza como del pensamiento. Esta ley establece que entre dos cosas o ideas relativamente diferentes siempre existe un tercero, en una especie de equilibrio, que parece unirlas. Así, entre los números pares e impares hay un número (uno) que no es ninguno de los dos. De manera similar, en la forma, el ángulo recto se sitúa entre los ángulos agudos y obtusos; y en el lenguaje, las semivocales o aspirantes entre las mudas y las vocales. Un maestro reflexivo y un alumno educado para pensar por sí mismo difícilmente podrán dejar de notar esta y otras leyes importantes. [ 8 ]

matemáticas superiores

Dimensiones superiores y clases de números más generales

Cada uno de los alfiles blancos está confinado a casillas de la misma paridad; el caballo negro solo puede saltar a casillas de paridad alterna.

Las coordenadas enteras de los puntos en espacios euclidianos de dos o más dimensiones también tienen paridad, generalmente definida como la paridad de la suma de las coordenadas. Por ejemplo, la red cúbica centrada en las caras y sus generalizaciones de dimensiones superiores (las redes D n ) consisten en todos los puntos enteros cuyas coordenadas tienen una suma par. [ 9 ] Esta característica también se manifiesta en el ajedrez , donde la paridad de una casilla se indica por su color: los alfiles están restringidos a moverse entre casillas de la misma paridad, mientras que los caballos alternan la paridad entre movimientos. [ 10 ] Esta forma de paridad se utilizó para resolver el problema del tablero mutilado : si se eliminan dos casillas de esquina opuestas de un tablero de ajedrez, el tablero restante no puede cubrirse con dominós, porque cada dominó cubre una casilla de cada paridad y hay dos casillas más de una paridad que de la otra. [ 11 ]

La paridad de un número ordinal puede definirse como par si el número es un ordinal límite , o un ordinal límite más un número par finito, e impar en caso contrario. [ 12 ]

Sea R un anillo conmutativo y sea I un ideal de R cuyo índice es 2. Elementos de la clase lateral0+I{\displaystyle 0+I}puede llamarse incluso , mientras que los elementos de la clase1+I{\displaystyle 1+I}puede llamarse impar . Como ejemplo, sea R = Z (2) la localización de Z en el ideal primo (2). Entonces , un elemento de R es par o impar si y solo si su numerador es par o impar en Z.

teoría de números

Los números pares forman un ideal en el anillo de los enteros, [ 13 ] pero los impares no ; esto se deduce del hecho de que el elemento neutro de la suma, el cero, pertenece únicamente a los números pares. Un entero es par si es congruente con 0 módulo este ideal, es decir, si es congruente con 0 módulo 2, e impar si es congruente con 1 módulo 2.

All prime numbers are odd, with one exception: the prime number 2.[14] All known perfect numbers are even; it is unknown whether any odd perfect numbers exist.[15]

Goldbach's conjecture states that every even integer greater than 2 can be represented as a sum of two prime numbers. Modern computer calculations have shown this conjecture to be true for integers up to at least 4 × 1018, but still no general proof has been found.[16]

Group theory

Rubik's Revenge in solved state

The parity of a permutation (as defined in abstract algebra) is the parity of the number of transpositions into which the permutation can be decomposed.[17] For example (ABC) to (BCA) is even because it can be done by swapping A and B then C and A (two transpositions). It can be shown that no permutation can be decomposed both in an even and in an odd number of transpositions. Hence the above is a suitable definition. In Rubik's Cube, Megaminx, and other twisting puzzles, the moves of the puzzle allow only even permutations of the puzzle pieces, so parity is important in understanding the configuration space of these puzzles.[18]

The Feit–Thompson theorem states that a finite group is always solvable if its order is an odd number. This is an example of odd numbers playing a role in an advanced mathematical theorem where the method of application of the simple hypothesis of "odd order" is far from obvious.[19]

Analysis

The parity of a function describes how its values change when its arguments are exchanged with their negations. An even function, such as an even power of a variable, gives the same result for any argument as for its negation. An odd function, such as an odd power of a variable, gives for any argument the negation of its result when given the negation of that argument. It is possible for a function to be neither odd nor even, and for the case f(x) = 0, to be both odd and even.[20] The Taylor series of an even function contains only terms whose exponent is an even number, and the Taylor series of an odd function contains only terms whose exponent is an odd number.[21]

Combinatorial game theory

En la teoría de juegos combinatorios , un número malvado es aquel que tiene un número par de 1s en su representación binaria , y un número odioso es aquel que tiene un número impar de 1s en su representación binaria; estos números desempeñan un papel importante en la estrategia del juego Kayles . [ 22 ] La función de paridad asigna a un número el número de 1s en su representación binaria, módulo 2 , por lo que su valor es cero para los números malvados y uno para los números odiosos. La secuencia de Thue-Morse , una secuencia infinita de 0s y 1s, tiene un 0 en la posición i cuando i es malvado, y un 1 en esa posición cuando i es odioso. [ 23 ]

Aplicaciones adicionales

En teoría de la información , un bit de paridad añadido a un número binario proporciona la forma más simple de código de detección de errores . Si se modifica un solo bit en el valor resultante, este ya no tendrá la paridad correcta: cambiar un bit en el número original le da una paridad diferente a la registrada, y cambiar el bit de paridad sin cambiar el número del que se derivó produce nuevamente un resultado incorrecto. De esta manera, todos los errores de transmisión de un solo bit pueden detectarse de forma fiable. [ 24 ] Algunos códigos de detección de errores más sofisticados también se basan en el uso de múltiples bits de paridad para subconjuntos de los bits del valor codificado original. [ 25 ]

En los instrumentos de viento con un tubo cilíndrico y, en efecto, cerrado en un extremo, como el clarinete en la boquilla, los armónicos producidos son múltiplos impares de la frecuencia fundamental . (Con tubos cilíndricos abiertos en ambos extremos, utilizados, por ejemplo, en algunos registros de órgano como el diapasón abierto , los armónicos son múltiplos pares de la misma frecuencia para la longitud del tubo dada, pero esto tiene el efecto de duplicar la frecuencia fundamental y producir todos sus múltiplos). Véase serie armónica (música) . [ 26 ]

En algunos países, la numeración de las casas se elige de manera que las casas de un lado de la calle tengan números pares y las del otro lado, números impares. [ 27 ] De manera similar, en Estados Unidos, entre las autopistas numeradas , los números pares indican principalmente autopistas que van de este a oeste, mientras que los números impares indican principalmente autopistas que van de norte a sur. [ 28 ] En los números de vuelo de las aerolíneas , los números pares suelen identificar vuelos con dirección este o norte, y los números impares suelen identificar vuelos con dirección oeste o sur. [ 29 ]

Véase también

Referencias

  1. 1 2 Vijaya, AV; Rodríguez, Dora, Averiguar las matemáticas , Pearson Education India, págs. 20-21 , ISBN  9788131703571.
  2. ↑ Bóna, Miklós (2011), Un recorrido por la combinatoria: una introducción a la enumeración y la teoría de grafos , World Scientific, pág. 178, ISBN  9789814335232.
  3. 1 2 Owen, Ruth L. (1992), "Divisibilidad en bases" (PDF) , The Pentagon: A Mathematics Magazine for Students , 51 (2): 17–20 , archivado del original (PDF) el 17 de marzo de 2015.
  4. ↑ Bassarear, Tom (2010), Matemáticas para maestros de primaria , Cengage Learning, pág. 198, ISBN  9780840054630.
  5. ↑ Sidebotham, Thomas H. (2003), De la A a la Z de las matemáticas: una guía básica , John Wiley & Sons, pág. 181, ISBN  9780471461630.
  6. ↑ Pólya, George ; Tarjan, Robert E.; Woods, Donald R. (2009), Notas sobre combinatoria introductoria , Springer, págs. 21–22 , ISBN  9780817649524.
  7. ↑ Tankha (2006), Filosofía griega antigua: De Tales a Gorgias , Pearson Education India, pág. 126, ISBN  9788177589399.
  8. ↑ Froebel, Friedrich (1885), La educación del hombre , traducido por Jarvis, Josephine, Nueva York: A Lovell & Company, págs. 240 
  9. ^ Conway, JH; Sloane, NJA (1999), Empaquetamientos, redes y grupos de esferas , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas], vol. 290 (3ª ed.), Nueva York: Springer-Verlag, pág. 10 , ISBN    978-0-387-98585-5, MR 1662447 .
  10. ↑ Pandolfini, Bruce (1995), Chess Thinking: The Visual Dictionary of Chess Moves, Rules, Strategies and Concepts , Simon and Schuster, pp. 273–274 , ISBN  9780671795023.
  11. ↑ Mendelsohn, NS (2004), "Tiling with dominoes", The College Mathematics Journal , 35 (2): 115–120 , doi : 10.2307/4146865 , JSTOR 4146865 .
  12. ↑ Bruckner, Andrew M.; Bruckner, Judith B.; Thomson, Brian S. (1997), Análisis real , ClassicalRealAnalysis.com, pág. 37, ISBN  978-0-13-458886-5.
  13. ↑ Stillwell, John (2003), Elementos de la teoría de números , Springer, pág. 199, ISBN  9780387955872.
  14. ↑ Lial, Margaret L.; Salzman, Stanley A.; Hestwood, Diana (2005), Matemáticas básicas para la universidad (7.ª ed.), Addison Wesley, pág. 128, ISBN   9780321257802.
  15. ↑ Dudley, Underwood (1992), "Números perfectos" , Mathematical Cranks , MAA Spectrum, Cambridge University Press, págs. 242–244 , ISBN  9780883855072.
  16. ↑ Oliveira e Silva, Tomás; Herzog, Siegfried; Pardi, Silvio (2013), "Verificación empírica de la conjetura par de Goldbach y cálculo de brechas de números primos hasta 4 · 10 18 ", Mathematics of Computation , 83 (288): 2033– 2060, doi : 10.1090/s0025-5718-2013-02787-1En prensa.
  17. ↑ Cameron, Peter J. (1999), Permutation Groups , London Mathematical Society Student Texts, vol. 45, Cambridge University Press, pp. 26–27 , ISBN   9780521653787.
  18. ↑ Joyner, David (2008), "13.1.2 Condiciones de paridad", Aventuras en la teoría de grupos: el cubo de Rubik, la máquina de Merlín y otros juguetes matemáticos , JHU Press, págs. 252–253 , ISBN  9780801897269.
  19. ↑ Bender, Helmut; Glauberman, George (1994), Análisis local para el teorema del orden impar , London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 188, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-45716-3, MR 1311244 Peterfalvi , Thomas (2000), Teoría de caracteres para el teorema del orden impar , London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 272, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-64660-4, MR 1747393 .
  20. ↑ Gustafson, Roy David; Hughes, Jeffrey D. (2012), Álgebra universitaria (11.ª ed.), Cengage Learning, pág. 315, ISBN   9781111990909.
  21. ↑ Jain, RK; Iyengar, SRK (2007), Matemáticas avanzadas para ingeniería , Alpha Science Int'l Ltd., pág. 853, ISBN  9781842651858.
  22. ↑ Guy, Richard K. (1996), "Juegos imparciales", Juegos sin azar (Berkeley, CA, 1994) , Math. Sci. Res. Inst. Publ., vol. 29, Cambridge: Cambridge Univ. Press, pp. 61–78 , MR 1427957   Véase en particular la página  68 .
  23. ↑ Bernhardt, Chris (2009), "Los gemelos malvados se alternan con los gemelos odiosos" (PDF) , Mathematics Magazine , 82 (1): 57–62 , doi : 10.4169/193009809x469084 , JSTOR 27643161 .
  24. ↑ Moser, Stefan M.; Chen, Po-Ning (2012), A Student's Guide to Coding and Information Theory , Cambridge University Press, pp. 19–20 , ISBN  9781107015838.
  25. ↑ Berrou, Claude (2011), Códigos y códigos turbo , Springer, pág. 4, ISBN  9782817800394.
  26. ↑ Randall, Robert H. (2005), Introducción a la acústica , Dover, pág. 181, ISBN  9780486442518.
  27. ↑ Cromley, Ellen K.; McLafferty, Sara L. (2011), SIG y salud pública (2.ª ed.), Guilford Press, pág. 100, ISBN   9781462500628.
  28. ↑ Swift, Earl (2011), The Big Roads: The Untold Story of the Engineers, Visionaries, and Trailblazers Who Created the American Superhighways , Houghton Mifflin Harcourt, p. 95, ISBN  9780547549132.
  29. ↑ Lauer, Chris (2010), Southwest Airlines , Corporaciones que cambiaron el mundo, ABC-CLIO, pág. 90, ISBN  9780313378638.
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