Respuesta de impulso finita

En el procesamiento de señales , un filtro de respuesta impulsional finita ( FIR ) es un filtro cuya respuesta impulsional (o respuesta a cualquier entrada de longitud finita) tiene una duración finita , ya que se estabiliza en cero en un tiempo finito. Esto contrasta con los filtros de respuesta impulsional infinita (IIR), que pueden tener retroalimentación interna y pueden seguir respondiendo indefinidamente (generalmente con decaimiento).

La respuesta impulsional (es decir, la salida en respuesta a una entrada delta de Kronecker ) de un filtro FIR discreto de orden N dura ^exactamente${\displaystyle N+1}$muestras (desde el primer elemento distinto de cero hasta el último elemento distinto de cero) antes de que se estabilice en cero.

Los filtros FIR pueden ser de tiempo discreto o de tiempo continuo , y digitales o analógicos .

Para un filtro FIR causal de tiempo discreto de orden N , cada valor de la secuencia de salida es una suma ponderada de los valores de entrada más recientes :

${\displaystyle {\begin{aligned}y[n]&=b_{0}x[n]+b_{1}x[n-1]+\cdots +b_{N}x[nN]\\&=\sum _{i=0}^{N}b_{i}\cdot x[ni],\end{aligned}}}$

dónde :

• ${\textstyle x[n]}$es la señal de entrada,
• ${\textstyle y[n]}$es la señal de salida,
• ${\textstyle N}$es el orden del filtro; un${\textstyle N}$^El filtro de orden n tiene${\textstyle N+1}$términos en el lado derecho
• ${\textstyle b_{i}}$es el valor de la respuesta al impulso en el i- ésimo instante para${\textstyle 0\leq i\leq N}$de un${\textstyle N^{\text{o}}}$-filtro FIR de orden. Si el filtro es un filtro FIR de forma directa, entonces${\textstyle b_{i}}$También es un coeficiente del filtro.

Este cálculo también se conoce como convolución discreta .

El${\textstyle x[ni]}$en estos términos se les suele denominarLos filtros dese basan en la estructura de unalínea de retardo con derivacionesque, en muchas implementaciones o diagramas de bloques, proporciona las entradas retardadas a las operaciones de multiplicación. Por ejemplo, se puede hablar de unfiltro de quinto orden/6 derivaciones.

La respuesta impulsional del filtro, tal como está definida, es distinta de cero durante una duración finita. Incluyendo los ceros, la respuesta impulsional es la secuencia infinita :

${\displaystyle h[n]=\sum _{i=0}^{N}b_{i}\cdot \delta [ni]={\begin{cases}b_{n}&0\leq n\leq N\\0&{\text{en otro caso}}.\end{cases}}}$

Si un filtro FIR no es causal, el rango de valores distintos de cero en su respuesta impulsional puede comenzar antes${\displaystyle n=0}$, con la fórmula definitoria debidamente generalizada.

Un filtro FIR posee una serie de propiedades útiles que a veces lo hacen preferible a un filtro de respuesta de impulso infinita (IIR). Filtros FIR:

• No requiere retroalimentación. Esto significa que los errores de redondeo no se acumulan con las iteraciones sumadas. El mismo error relativo se produce en cada cálculo. Esto también simplifica la implementación.
• Son inherentemente estables , ya que la salida es una suma de un número finito de múltiplos finitos de los valores de entrada, por lo que no puede ser mayor que${\textstyle \sum |b_{i}|}$veces el valor más grande que aparece en la entrada.
• Se puede diseñar fácilmente para que tenga fase lineal haciendo que la secuencia de coeficientes sea simétrica. Esta propiedad a veces se desea para aplicaciones sensibles a la fase, por ejemplo, comunicaciones de datos, sismología , filtros de cruce y masterización .

La principal desventaja de los filtros FIR es que requieren mucha más potencia de cálculo en un procesador de propósito general que un filtro IIR con una nitidez o selectividad similares , especialmente cuando se necesitan frecuencias de corte bajas (en relación con la frecuencia de muestreo). Sin embargo, muchos procesadores de señales digitales ofrecen funciones de hardware especializadas que permiten que los filtros FIR sean aproximadamente tan eficientes como los IIR para muchas aplicaciones.

El efecto del filtro en la secuencia${\displaystyle x[n]}$se describe en el dominio de la frecuencia mediante el teorema de convolución :

${\displaystyle \underbrace {{\mathcal {F}}\{x*h\}} _{Y(\omega )}=\underbrace {{\mathcal {F}}\{x\}} _{X(\omega )}\cdot \underbrace {{\mathcal {F}}\{h\}} _{H(\omega )}}$  y  ${\displaystyle y[n]=x[n]*h[n]={\mathcal {F}}^{-1}{\big \{}X(\omega )\cdot H(\omega ){\big \}},}$

donde los operadores${\displaystyle {\mathcal {F}}}$y${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}}$denotan respectivamente la transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT) y su inversa. Por lo tanto, la función multiplicativa de valor complejo${\displaystyle H(\omega )}$es la respuesta en frecuencia del filtro . Se define mediante una serie de Fourier :

${\displaystyle H_{2\pi }(\omega )\ \triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]\cdot \left({e^{i\omega }}\right)^{-n}=\sum _{n=0}^{N}b_{n}\cdot \left({e^{i\omega }}\right)^{-n},}$

donde el subíndice añadido denota${\displaystyle 2\pi }$-periodicidad. Aquí${\displaystyle \omega }$representa la frecuencia en unidades normalizadas ( radianes por muestra ). La función${\displaystyle H_{2\pi }(2\pi f')}$tiene una periodicidad de${\displaystyle 1}$con${\displaystyle f'}$en unidades de ciclos por muestra , lo cual es preferido por muchas aplicaciones de diseño de filtros. ^{[ A ]}  El valor${\displaystyle \omega =\pi }$, llamada frecuencia de Nyquist , corresponde a${\displaystyle f'={\tfrac {1}{2}}.}$  Cuando la secuencia ${\displaystyle x[n]}$tiene una frecuencia de muestreo conocida${\displaystyle f_{s}}$(en muestras por segundo ), la frecuencia ordinaria está relacionada con la frecuencia normalizada por${\displaystyle f=f'\cdot f_{s}={\tfrac {\omega }{2\pi }}\cdot f_{s}}$ciclos por segundo ( Hz ). Por el contrario, si se quiere diseñar un filtro para frecuencias ordinarias${\displaystyle f_{1},}$${\displaystyle f_{2},}$etc., utilizando una aplicación que espera ciclos por muestra , uno ingresaría${\displaystyle f_{1}/f_{s},}$ ${\displaystyle f_{2}/f_{s},}$ etc.

${\displaystyle H_{2\pi }(\omega )}$También se puede expresar en términos de la transformada Z de la respuesta impulsional del filtro:

${\displaystyle {\widehat {H}}(z)\ \triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]\cdot z^{-n}.}$

${\displaystyle H_{2\pi }(\omega )=\left.{\widehat {H}}(z)\,\right|_{z=e^{j\omega }}={\widehat {H}}(e^{j\omega }).}$

FIR filters are designed by finding the coefficients and filter order that meet certain specifications, which can be in the time domain (e.g. a matched filter) or the frequency domain (most common). Matched filters perform a cross-correlation between the input signal and a known pulse shape. The FIR convolution is a cross-correlation between the input signal and a time-reversed copy of the impulse response. Therefore, the matched filter's impulse response is "designed" by sampling the known pulse-shape and using those samples in reverse order as the coefficients of the filter.^[1]

When a particular frequency response is desired, several different design methods are common:

1. Window design method
2. Frequency sampling method
3. Least MSE (mean square error) method
4. Parks–McClellan method (also known as the equiripple, optimal, or minimax method). The Remez exchange algorithm is commonly used to find an optimal equiripple set of coefficients. Here the user specifies a desired frequency response, a weighting function for errors from this response, and a filter order N. The algorithm then finds the set of ${\textstyle N+1}$ coefficients that minimize the maximum deviation from the ideal. Intuitively, this finds the filter that is as close as possible to the desired response given that only ${\textstyle N+1}$ coefficients can be used. This method is particularly easy in practice since at least one text^[2] includes a program that takes the desired filter and N, and returns the optimum coefficients.
5. Equiripple FIR filters can be designed using the DFT algorithms as well.^[3] The algorithm is iterative in nature. The DFT of an initial filter design is computed using the FFT algorithm (if an initial estimate is not available, h[n]=delta[n] can be used). In the Fourier domain, or DFT domain, the frequency response is corrected according to the desired specs, and the inverse DFT is then computed. In the time-domain, only the first N coefficients are kept (the other coefficients are set to zero). The process is then repeated iteratively: the DFT is computed once again, correction applied in the frequency domain and so on.

Software packages such as MATLAB, GNU Octave, Scilab, and SciPy provide convenient ways to apply these different methods.

Diagrama de bloques de un filtro FIR simple (filtro de segundo orden/3 coeficientes en este caso, que implementa un filtro de suavizado de media móvil).

Diagrama de polos y ceros del filtro suavizador FIR de segundo orden de ejemplo.

Respuestas de magnitud y fase del filtro suavizador FIR de segundo orden de ejemplo.

Respuestas de amplitud y fase del filtro suavizador FIR de segundo orden de ejemplo.

Un filtro de media móvil es un filtro FIR muy simple. A veces se le llama filtro de caja , especialmente cuando va seguido de decimación o de una función sinc en frecuencia . Los coeficientes del filtro,${\textstyle b_{0},\ldots ,b_{N}}$, se obtienen mediante la siguiente ecuación:

${\displaystyle b_{i}={\frac {1}{N+1}}}$

Para ofrecer un ejemplo más específico, seleccionamos el orden del filtro:

${\displaystyle N=2}$

La respuesta impulsional del filtro resultante es :

${\displaystyle h[n]={\frac {1}{3}}\delta [n]+{\frac {1}{3}}\delta [n-1]+{\frac {1}{3}}\delta [n-2]}$

El diagrama de bloques de la derecha muestra el filtro de media móvil de segundo orden que se describe a continuación. La función de transferencia es :

${\displaystyle H(z)={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}z^{-1}+{\frac {1}{3}}z^{-2}={\frac {1}{3}}{\frac {z^{2}+z+1}{z^{2}}}.}$

La siguiente figura muestra el diagrama de polos y ceros correspondiente . La frecuencia cero (CC) corresponde a (1, 0), las frecuencias positivas avanzan en sentido antihorario alrededor del círculo hasta la frecuencia de Nyquist en (−1, 0). Dos polos se encuentran en el origen y dos ceros se encuentran en${\textstyle z_{1}=-{\frac {1}{2}}+j{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$,${\textstyle z_{2}=-{\frac {1}{2}}-j{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$.

La respuesta en frecuencia, en términos de frecuencia normalizada ω , es :

${\displaystyle {\begin{aligned}H\left(e^{j\omega }\right)&={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}e^{-j\omega }+{\frac {1}{3}}e^{-j2\omega }\\&={\frac {1}{3}}e^{-j\omega }\left(1+2\cos(\omega )\right).\end{aligned}}}$

La magnitud y los componentes de fase de${\textstyle H\left(e^{j\omega }\right)}$se representan en la figura. Pero gráficos como estos también se pueden generar haciendo una transformada discreta de Fourier (DFT) de la respuesta al impulso. ^{[ B ]} Y debido a la simetría, el software de diseño o visualización de filtros a menudo muestra solo la región [0, π]. El gráfico de magnitud indica que el filtro de media móvil deja pasar las bajas frecuencias con una ganancia cercana a 1 y atenúa las altas frecuencias, y por lo tanto es un filtro paso bajo crudo . El gráfico de fase es lineal excepto por discontinuidades en las dos frecuencias donde la magnitud se vuelve cero. El tamaño de las discontinuidades es π, lo que representa una inversión de signo. No afectan la propiedad de fase lineal, como se ilustra en la figura final.

• Filtro integrador-peine en cascada
• Soporte compacto
• Línea de retardo digital
• Filtro electrónico
• Filtro (procesamiento de señales)
• Diseño de filtros
• función de transferencia FIR
• Filtro de respuesta de impulso infinita (IIR)
• Transformada Z (específicamente ecuación de diferencias lineal con coeficientes constantes )