Teorema de convolución

En matemáticas , el teorema de convolución establece que, bajo ciertas condiciones, la transformada de Fourier de la convolución de dos funciones (o señales ) es el producto de sus transformadas de Fourier. De forma más general, la convolución en un dominio (por ejemplo, el dominio del tiempo ) equivale a la multiplicación punto a punto en el otro dominio (por ejemplo, el dominio de la frecuencia ). Existen otras versiones del teorema de convolución aplicables a diversas transformadas relacionadas con Fourier .

Consideremos dos funciones y con transformadas de Fourier y : ${\displaystyle u(x)}$${\displaystyle v(x)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}U(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{u\}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }u(x)e^{-i2\pi fx}\,dx,\quad f\in \mathbb {R} \\[1ex]V(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{v\}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }v(x)e^{-i2\pi fx}\,dx,\quad f\in \mathbb {R} \end{aligned}}}$$

donde denota el operador de transformada de Fourier . La transformada puede normalizarse de otras maneras, en cuyo caso aparecerán factores de escala constantes (típicamente o ) en el teorema de convolución que se presenta a continuación. La convolución de y se define por: ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$

$${\displaystyle r(x)=\{u*v\}(x)\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }u(\tau )v(x-\tau )\,d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }u(x-\tau )v(\tau )\,d\tau .}$$

En este contexto, el asterisco indica convolución, en lugar de la multiplicación estándar. En ocasiones, se utiliza el símbolo de producto tensorial . ${\displaystyle \otimes }$

El teorema de convolución establece que: ^{[ 1 ] [ 2 ] : ecuación 8}

La aplicación de la transformada inversa de Fourier produce el corolario : ^{[ 2 ] : ecuaciones 7, 10} ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1},}$

El teorema también se aplica generalmente a funciones multidimensionales.

Este teorema también es válido para la transformada de Laplace , la transformada de Laplace bilateral y, con las modificaciones adecuadas, para la transformada de Mellin y la transformada de Hartley (véase el teorema de inversión de Mellin ). Puede extenderse a la transformada de Fourier del análisis armónico abstracto definido sobre grupos abelianos localmente compactos .

Consideremos funciones -periódicas  que   pueden expresarse como sumas periódicas : ${\displaystyle P}$${\displaystyle u_{_{P}}}$${\displaystyle v_{_{P}},}$

$${\displaystyle u_{_{P}}(x)\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }u(x-mP)}$$y$${\displaystyle v_{_{P}}(x)\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }v(x-mP).}$$

En la práctica, la parte no nula de los componentes y a menudo se limita a la duración, pero nada en el teorema exige eso. ${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle P,}$

Los coeficientes de la serie de Fourier son:

$${\displaystyle {\begin{aligned}U[k]&\triangleq {\mathcal {F}}\{u_{_{P}}\}[k]={\frac {1}{P}}\int _{P}u_{_{P}}(x)e^{-i2\pi kx/P}\,dx,\quad k\in \mathbb {Z} ;\quad \quad \scriptstyle {\text{integration over any interval of length }}P\\V[k]&\triangleq {\mathcal {F}}\{v_{_{P}}\}[k]={\frac {1}{P}}\int _{P}v_{_{P}}(x)e^{-i2\pi kx/P}\,dx,\quad k\in \mathbb {Z} \end{aligned}}}$$

donde denota la integral de la serie de Fourier . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

• El producto: también es -periódico, y sus coeficientes de la serie de Fourier vienen dados por la convolución discreta de las secuencias y :${\displaystyle u_{_{P}}(x)\cdot v_{_{P}}(x)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$$${\displaystyle {\mathcal {F}}\{u_{_{P}}\cdot v_{_{P}}\}[k]=\{U*V\}[k].}$$
• La convolución: también es -periódica, y se denomina convolución periódica .$${\displaystyle {\begin{aligned}\{u_{_{P}}*v\}(x)\ &\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }u_{_{P}}(x-\tau )\cdot v(\tau )\ d\tau \\&\equiv \int _{P}u_{_{P}}(x-\tau )\cdot v_{_{P}}(\tau )\ d\tau ;\quad \quad \scriptstyle {\text{integration over any interval of length }}P\end{aligned}}}$$${\displaystyle P}$

El teorema de convolución correspondiente es :

Mediante una derivación similar a la ecuación 1, existe un teorema análogo para secuencias, como muestras de dos funciones continuas, donde ahora denota el operador de la transformada discreta de Fourier (DTFT). Consideremos dos secuencias y con transformadas y : ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle u[n]}$${\displaystyle v[n]}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}U(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{u\}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }u[n]\cdot e^{-i2\pi fn}\;,\quad f\in \mathbb {R} ,\\V(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{v\}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }v[n]\cdot e^{-i2\pi fn}\;,\quad f\in \mathbb {R} .\end{aligned}}}$$

La convolución discreta de y se define por: ${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$

$${\displaystyle r[n]\triangleq (u*v)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }u[m]\cdot v[n-m]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }u[n-m]\cdot v[m].}$$

El teorema de convolución para secuencias discretas es: ^{[ 3 ] [ 4 ] : p.60 (2.169)}

${\displaystyle U(f)}$y como se definió anteriormente, son periódicas, con un período de 1. Consideremos secuencias -periódicas y : ${\displaystyle V(f),}$${\displaystyle N}$${\displaystyle u_{_{N}}}$${\displaystyle v_{_{N}}}$

$${\displaystyle u_{_{N}}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }u[n-mN]}$$y$${\displaystyle v_{_{N}}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }v[n-mN],\quad n\in \mathbb {Z} .}$$

Estas funciones aparecen como resultado del muestreo y a intervalos de y realizando una transformada discreta de Fourier inversa (DFT) en las muestras (véase § Muestreo de la DTFT ). La convolución discreta :${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle 1/N}$${\displaystyle N}$

$${\displaystyle \{u_{_{N}}*v\}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }u_{_{N}}[m]\cdot v[n-m]\equiv \sum _{m=0}^{N-1}u_{_{N}}[m]\cdot v_{_{N}}[n-m]}$$

También es -periódica y se denomina convolución periódica . Redefiniendo el operador como la DFT de longitud -, el teorema correspondiente es: ^{[ 5 ] [ 4 ] : pág. 548} ${\displaystyle N}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle N}$

Y por lo tanto:

En las condiciones adecuadas, es posible que esta secuencia de longitud contenga un segmento de convolución sin distorsión. Pero cuando la porción no nula de la secuencia es igual o mayor que cierta distorsión es inevitable. Tal es el caso cuando la secuencia se obtiene muestreando directamente la DTFT de la respuesta impulsional de la transformada discreta de Hilbert infinitamente larga . ^{[ A ]}${\displaystyle N}$${\displaystyle u*v}$${\displaystyle u(n)}$${\displaystyle v(n)}$${\displaystyle N,}$${\displaystyle V(k/N)}$

Para secuencias cuya duración no nula es menor o igual a una simplificación final es: ${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle N,}$

Esta forma se utiliza a menudo para implementar de forma eficiente la convolución numérica mediante ordenador . (Véase § Algoritmos de convolución rápidos y § Ejemplo ).

Como recíproco parcial, se ha demostrado ^{[ 6 ]} que cualquier transformada lineal que convierte la convolución en un producto es la DFT (salvo una permutación de coeficientes).

También existe un teorema de convolución para la transformada inversa de Fourier:

Aquí, " " representa el producto de Hadamard , y " " representa una convolución entre las dos matrices. ${\displaystyle \cdot }$${\displaystyle *}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\mathcal {F}}\{u*v\}={\mathcal {F}}\{u\}\cdot {\mathcal {F}}\{v\}\\&{\mathcal {F}}\{u\cdot v\}={\mathcal {F}}\{u\}*{\mathcal {F}}\{v\}\end{aligned}}}$$

de modo que

$${\displaystyle {\begin{aligned}&u*v={\mathcal {F}}^{-1}\left\{{\mathcal {F}}\{u\}\cdot {\mathcal {F}}\{v\}\right\}\\&u\cdot v={\mathcal {F}}^{-1}\left\{{\mathcal {F}}\{u\}*{\mathcal {F}}\{v\}\right\}\end{aligned}}}$$

El teorema de convolución se extiende a las distribuciones temperadas . Aquí, es una distribución temperada arbitraria: ${\displaystyle v}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\mathcal {F}}\{u*v\}={\mathcal {F}}\{u\}\cdot {\mathcal {F}}\{v\}\\&{\mathcal {F}}\{u\cdot v\}={\mathcal {F}}\{u\}*{\mathcal {F}}\{v\}.\end{aligned}}}$$

Pero debe ser "rápidamente decreciente" hacia y para garantizar la existencia tanto del producto de convolución como del producto de multiplicación. De forma equivalente, si es una función ordinaria suave de "crecimiento lento", garantiza la existencia tanto del producto de multiplicación como del producto de convolución. ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}${\displaystyle \alpha =F\{u\}}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle u=F^{-1}\{\alpha \}}$

En particular, toda distribución temperada con soporte compacto, como la delta de Dirac , es "rápidamente decreciente". De forma equivalente, las funciones de banda limitada , como la función que es constantemente, son funciones ordinarias suaves de "crecimiento lento". Si, por ejemplo, es el peine de Dirac , ambas ecuaciones producen la fórmula de suma de Poisson y si, además, es la delta de Dirac, entonces es constantemente uno y estas ecuaciones producen la identidad del peine de Dirac . ${\displaystyle 1}$${\displaystyle v\equiv \operatorname {\text{Ш}} }$${\displaystyle u\equiv \delta }$${\displaystyle \alpha \equiv 1}$

• Función generadora de momentos de una variable aleatoria

Para una representación visual del uso del teorema de convolución en el procesamiento de señales , consulte:

• Simulación asistida por Java de la Universidad Johns Hopkins : http://www.jhu.edu/signals/convolve/index.html