Circunvolución

En matemáticas (en particular, en análisis funcional ), la convolución es una operación matemática sobre dos funciones.${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$que produce una tercera función${\displaystyle f*g}$La integral se define como el producto de dos funciones después de reflejar una de ellas respecto al eje y y desplazarla. El término convolución se refiere tanto a la función resultante como al proceso de cálculo. La integral se evalúa para todos los valores de desplazamiento, obteniendo así la función de convolución. La elección de la función que se refleja y desplaza antes de la integral no altera el resultado (véase conmutatividad ). Gráficamente, expresa cómo la forma de una función se modifica por la otra.

Algunas características de la convolución son similares a la correlación cruzada : para funciones de valor real, de una variable continua o discreta, la convolución${\displaystyle f*g}$difiere de la correlación cruzada${\displaystyle f\star g}$solo en que${\displaystyle f(x)}$o${\displaystyle g(x)}$se refleja en el eje y en la convolución; por lo tanto, es una correlación cruzada de${\displaystyle g(-x)}$y${\displaystyle f(x)}$, o${\displaystyle f(-x)}$y${\displaystyle g(x)}$. ^{[ A ]}  Para funciones de valor complejo, el operador de correlación cruzada es el adjunto del operador de convolución.

La convolución tiene aplicaciones que incluyen probabilidad , estadística , acústica , espectroscopia , procesamiento de señales y procesamiento de imágenes , visión por computadora y visión humana , geofísica , ingeniería , física y ecuaciones diferenciales . ^{[ 1 ]}

La convolución se puede definir para funciones en el espacio euclidiano y otros grupos (como estructuras algebraicas ). Por ejemplo, las funciones periódicas , como la transformada de Fourier de tiempo discreto , se pueden definir en un círculo y convolucionar mediante una convolución periódica . (Véase la fila 18 en DTFT § Propiedades ). Se puede definir una convolución discreta para funciones en el conjunto de los enteros . 

Las generalizaciones de la convolución tienen aplicaciones en el campo del análisis numérico y el álgebra lineal numérica , así como en el diseño e implementación de filtros de respuesta de impulso finito en el procesamiento de señales.

El cálculo de la inversa de la operación de convolución se conoce como deconvolución .

La convolución de${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$está escrito${\displaystyle f*g}$, que denota el operador con el símbolo${\displaystyle *}$. ^{[ B ]} Se define como la integral del producto de las dos funciones después de que una de ellas se refleja respecto al eje y y se desplaza. Como tal, es un tipo particular de transformación integral :

${\displaystyle (f*g)(t):=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau .}$

Una definición equivalente es (véase conmutatividad ):

${\displaystyle (f*g)(t):=\int _{-\infty }^{\infty }f(t-\tau )g(\tau )\,d\tau .}$

Mientras que el símbolo${\displaystyle t}$Se utiliza arriba, no es necesario que represente el dominio del tiempo. En cada${\displaystyle t}$La fórmula de convolución se puede describir como el área bajo la función.${\displaystyle f(\tau )}$ponderado por la función${\displaystyle g(-\tau )}$desplazado por la cantidad${\displaystyle t}$. Como${\displaystyle t}$cambios, la función de ponderación${\displaystyle g(t-\tau )}$enfatiza diferentes partes de la función de entrada${\displaystyle f(\tau )}$; Si${\displaystyle t}$es un valor positivo, entonces${\displaystyle g(t-\tau )}$es igual a${\displaystyle g(-\tau )}$que se desliza o se desplaza a lo largo del${\displaystyle \tau }$-eje hacia la derecha (hacia${\displaystyle +\infty }$) por la cantidad de${\displaystyle t}$, mientras que si${\displaystyle t}$es un valor negativo, entonces${\displaystyle g(t-\tau )}$es igual a${\displaystyle g(-\tau )}$que se desliza o se desplaza hacia la izquierda (hacia${\displaystyle -\infty }$) por la cantidad de${\displaystyle |t|}$.

Para funciones${\displaystyle f}$,${\displaystyle g}$compatible únicamente con${\displaystyle [0,\infty )}$(es decir, cero para argumentos negativos), los límites de integración se pueden truncar, lo que da como resultado:

${\displaystyle (f*g)(t)=\int _{0}^{t}f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau \quad \ {\text{para }}f,g:[0,\infty )\to \mathbb {R} .}$

Para la formulación multidimensional de la convolución, consulte el dominio de definición (a continuación).

Uno de los primeros usos de la integral de convolución apareció en la derivación del teorema de Taylor realizada por D'Alembert en Recherches sur différents points importants du système du monde, publicada en 1754. ^{[ 6 ]}

Además, una expresión del tipo:

${\displaystyle \int f(u)\cdot g(x-u)\,du}$

Sylvestre François Lacroix lo utiliza en la página 505 de su libro titulado Tratado de diferencias y series , que es el último de los 3 volúmenes de la serie enciclopédica: Traité du calcul différentiel et du calcul intégral , Chez Courcier, París, 1797–1800. ^{[ 7 ]} Poco después, las operaciones de convolución aparecen en las obras de Pierre Simon Laplace , Jean-Baptiste Joseph Fourier , Siméon Denis Poisson y otros. El término en sí no se popularizó hasta las décadas de 1950 o 1960. Antes de eso, a veces se le conocía como Faltung (que significa plegamiento en alemán ), producto de composición , integral de superposición e integral de Carson . ^{[ 8 ]} Sin embargo, aparece ya en 1903, aunque la definición es bastante desconocida en usos más antiguos. ^{[ 9 ] [ 10 ]}

La operación:

${\displaystyle \int _{0}^{t}\varphi (s)\psi (t-s)\,ds,\quad 0\leq t<\infty ,}$

es un caso particular de productos de composición considerados por el matemático italiano Vito Volterra en 1913. ^{[ 11 ]}

Cuando una función${\displaystyle g_{T}}$es periódico, con período${\displaystyle T}$, luego para funciones,${\displaystyle f}$, de tal manera que${\displaystyle f*g_{T}}$Existe, la convolución también es periódica e idéntica a:

${\displaystyle (f*g_{T})(t)\equiv \int _{t_{0}}^{t_{0}+T}\left[\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(\tau +kT)\right]g_{T}(t-\tau )\,d\tau ,}$

dónde${\displaystyle t_{0}}$es una elección arbitraria. La suma se llama suma periódica de la función${\displaystyle f}$.

Cuando${\displaystyle g_{T}}$es una suma periódica de otra función,${\displaystyle g}$, entonces${\displaystyle f*g_{T}}$se conoce como una convolución circular o cíclica de${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$.

Y si la suma periódica anterior se reemplaza por${\displaystyle f_{T}}$, la operación se denomina convolución periódica de${\displaystyle f_{T}}$y${\displaystyle g_{T}}$.

Para funciones de valor complejo${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$definido en el conjunto${\displaystyle \mathbb {Z} }$de enteros, la convolución discreta de${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$está dado por: ^{[ 12 ]}

${\displaystyle (f*g)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }f[m]g[n-m],}$

o equivalentemente (véase conmutatividad ) mediante:

${\displaystyle (f*g)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }f[n-m]g[m].}$

La convolución de dos secuencias finitas se define extendiendo dichas secuencias a funciones con soporte finito en el conjunto de los enteros. Cuando las secuencias son los coeficientes de dos polinomios , los coeficientes del producto ordinario de estos polinomios son la convolución de las secuencias originales. Esto se conoce como el producto de Cauchy de los coeficientes de las secuencias.

Así, cuando g es distinto de cero en un intervalo finito [ − m , + m ] (que representa, por ejemplo, una respuesta impulsional finita ), se puede utilizar una suma finita: ^{[ 13 ]}

${\displaystyle (f*g)[n]=\sum _{m=-M}^{M}f[n-m]g[m].}$

La convolución de dos funciones de valor complejo en R ^d es en sí misma una función de valor complejo en R ^d , definida por:

${\displaystyle (f*g)(x)=\int _{\mathbf {R} ^{d}}f(y)g(x-y)\,dy=\int _{\mathbf {R} ^{d}}f(x-y)g(y)\,dy,}$

y está bien definida solo si f y g decaen suficientemente rápido en el infinito para que exista la integral. Las condiciones para la existencia de la convolución pueden ser complicadas, ya que una explosión en g en el infinito puede compensarse fácilmente con un decaimiento suficientemente rápido en f . Por lo tanto, la cuestión de la existencia puede implicar diferentes condiciones sobre f y g :

Si G es un grupo adecuado dotado de una medida λ, y si f y g son funciones integrables de valor real o complejo en G , entonces podemos definir su convolución mediante

${\displaystyle (f*g)(x)=\int _{G}f(y)g\left(y^{-1}x\right)\,d\lambda (y).}$

No es conmutativo en general. En los casos típicos de interés, G es un grupo topológico de Hausdorff localmente compacto y λ es una medida de Haar (izquierda) . En ese caso, a menos que G sea unimodular , la convolución definida de esta manera no es la misma que${\textstyle \int f\left(xy^{-1}\right)g(y)\,d\lambda (y)}$La preferencia de una sobre la otra se realiza de manera que la convolución con una función fija g conmute con la traslación izquierda en el grupo:

${\displaystyle L_{h}(f*g)=(L_{h}f)*g.}$

Además, esta convención también es necesaria para mantener la coherencia con la definición de convolución de medidas que se presenta a continuación. Sin embargo, al utilizar una medida de Haar derecha en lugar de una izquierda, se prefiere esta última integral a la primera.

En grupos abelianos localmente compactos , se cumple una versión del teorema de convolución : la transformada de Fourier de una convolución es el producto puntual de las transformadas de Fourier. El grupo circular T con la medida de Lebesgue es un ejemplo inmediato. Para un g fijo en L ¹ ( T ), tenemos el siguiente operador conocido que actúa sobre el espacio de Hilbert L ² ( T ):

${\displaystyle T{f}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbf {T} }{f}(y)g(x-y)\,dy.}$

El operador T es compacto . Un cálculo directo muestra que su adjunto T* es una convolución con

${\displaystyle {\bar {g}}(-y).}$

Por la propiedad de conmutatividad citada anteriormente, T es normal : T * T = TT * . Además, T conmuta con los operadores de traslación. Consideremos la familia S de operadores que consta de todas estas convoluciones y los operadores de traslación. Entonces S es una familia conmutativa de operadores normales. Según la teoría espectral , existe una base ortonormal { h _k } que diagonaliza simultáneamente S. Esto caracteriza las convoluciones en el círculo. Específicamente, tenemos

${\displaystyle h_{k}(x)=e^{ikx},\quad k\in \mathbb {Z} ,\;}$

que son precisamente los caracteres de T. Cada convolución es un operador de multiplicación compacto en esta base. Esto puede considerarse una versión del teorema de convolución mencionado anteriormente.

Un ejemplo discreto es un grupo cíclico finito de orden n . Los operadores de convolución se representan aquí mediante matrices circulantes y pueden diagonalizarse mediante la transformada discreta de Fourier .

Un resultado similar se aplica a grupos compactos (no necesariamente abelianos): los coeficientes matriciales de las representaciones unitarias de dimensión finita forman una base ortonormal en L ² según el teorema de Peter-Weyl , y un análogo del teorema de convolución sigue siendo válido, junto con muchos otros aspectos del análisis armónico que dependen de la transformada de Fourier.

Sea G un grupo topológico (escrito multiplicativamente). Si μ y ν son medidas de Radon en G , entonces su convolución μ ∗ ν se define como la medida de avance de la acción del grupo y se puede escribir como ^{[ 33 ].}

${\displaystyle (\mu *\nu )(E)=\iint 1_{E}(xy)\,d\mu (x)\,d\nu (y)}$

para cada subconjunto medible E de G. La convolución es también una medida de Radon, cuya variación total satisface

${\displaystyle \|\mu *\nu \|\leq \left\|\mu \right\|\left\|\nu \right\|.}$

En el caso de que G sea localmente compacto con medida de Haar (izquierda) λ, y μ y ν sean absolutamente continuas con respecto a λ, de modo que cada una tenga una función de densidad , entonces la convolución μ∗ν también es absolutamente continua, y su función de densidad es simplemente la convolución de las dos funciones de densidad separadas. De hecho, si cualquiera de las medidas es absolutamente continua con respecto a la medida de Haar, entonces también lo es su convolución. ^{[ 34 ]}

Si μ y ν son medidas de probabilidad en el grupo topológico ( R ,+), entonces la convolución μ ∗ ν es la distribución de probabilidad de la suma X + Y de dos variables aleatorias independientes X e Y cuyas distribuciones respectivas son μ y ν.

En el análisis convexo , la convolución ínfima de propia (no idénticamente)${\displaystyle +\infty }$) funciones convexas${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{m}}$en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$se define por: ^{[ 35 ]}$${\displaystyle (f_{1}*\cdots *f_{m})(x)=\inf _{x}\{f_{1}(x_{1})+\cdots +f_{m}(x_{m})|x_{1}+\cdots +x_{m}=x\}.}$$ Se puede demostrar que la convolución ínfima de funciones convexas es convexa. Además, satisface una identidad análoga a la de la transformada de Fourier de una convolución tradicional, donde el papel de la transformada de Fourier lo desempeña la transformada de Legendre : $${\displaystyle \varphi ^{*}(x)=\sup _{y}(x\cdot y-\varphi (y)).}$$ Tenemos: $${\displaystyle (f_{1}*\cdots *f_{m})^{*}(x)=f_{1}^{*}(x)+\cdots +f_{m}^{*}(x).}$$

Sea ( X , Δ, ∇, ε , η ) una bialgebra con comultiplicación Δ, multiplicación ∇, unidad η y counidad ε . La convolución es un producto definido en el álgebra de endomorfismos End( X ) de la siguiente manera. Sean φ , ψ ∈ End( X ), es decir, φ , ψ : X → X son funciones que respetan toda la estructura algebraica de X , entonces la convolución φ ∗ ψ se define como la composición

${\displaystyle X\mathrel {\xrightarrow {\Delta } } X\otimes X\mathrel {\xrightarrow {\phi \otimes \psi } } X\otimes X\mathrel {\xrightarrow {\nabla } } X.}$

La convolución aparece notablemente en la definición de álgebras de Hopf ( Kassel 1995 , §III.3) . Una bialgebra es un álgebra de Hopf si y solo si tiene un antípoda: un endomorfismo S tal que

${\displaystyle S*\operatorname {id} _{X}=\operatorname {id} _{X}*S=\eta \circ \varepsilon .}$

La convolución y las operaciones relacionadas se encuentran en numerosas aplicaciones en ciencia, ingeniería y matemáticas.

• Las redes neuronales convolucionales aplican múltiples núcleos de convolución en cascada con aplicaciones en visión artificial e inteligencia artificial . ^{[ 36 ] [ 37 ]} Aunque en realidad se trata de correlaciones cruzadas en lugar de convoluciones. ^{[ 38 ]}
• En el procesamiento de imágenes no basado en redes neuronales
  • En el procesamiento de imágenes digitales, el filtrado convolucional juega un papel importante en muchos algoritmos importantes en la detección de bordes y procesos relacionados (ver Kernel (procesamiento de imágenes) ).
  • En óptica , una fotografía desenfocada es una convolución de la imagen nítida con la función de la lente. El término fotográfico para esto es bokeh .
  • En aplicaciones de procesamiento de imágenes, como por ejemplo, añadir desenfoque.
• En el procesamiento de datos digitales
  • En química analítica , los filtros de suavizado de Savitzky-Golay se utilizan para el análisis de datos espectroscópicos. Pueden mejorar la relación señal-ruido con una distorsión mínima de los espectros.
  • En estadística , una media móvil ponderada es una convolución.
• En acústica , la reverberación es la convolución del sonido original con los ecos de los objetos que rodean la fuente sonora.
  • En el procesamiento de señales digitales, la convolución se utiliza para mapear la respuesta impulsional de una sala real sobre una señal de audio digital.
  • En la música electrónica, la convolución consiste en la imposición de una estructura espectral o rítmica a un sonido. A menudo, esta envolvente o estructura se toma de otro sonido. La convolución de dos señales es el filtrado de una a través de la otra. ^{[ 39 ]}
• En ingeniería eléctrica , la convolución de una función (la señal de entrada ) con una segunda función (la respuesta impulsional) da como resultado la salida de un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI). En cualquier momento dado, la salida es el efecto acumulado de todos los valores anteriores de la función de entrada, donde los valores más recientes suelen tener la mayor influencia (expresada como un factor multiplicativo). La función de respuesta impulsional proporciona dicho factor en función del tiempo transcurrido desde que se produjo cada valor de entrada.
• En física , siempre que existe un sistema lineal con un " principio de superposición ", aparece una operación de convolución. Por ejemplo, en espectroscopia , el ensanchamiento de línea debido al efecto Doppler por sí solo produce una forma de línea espectral gaussiana , mientras que el ensanchamiento por colisión produce una forma de línea lorentziana . Cuando ambos efectos están presentes, la forma de línea es una convolución de una función gaussiana y una lorentziana, una función de Voigt .
  • En la espectroscopia de fluorescencia resuelta en el tiempo , la señal de excitación puede tratarse como una cadena de pulsos delta, y la fluorescencia medida es una suma de decaimientos exponenciales de cada pulso delta.
  • En la dinámica de fluidos computacional , el modelo de turbulencia de simulación de grandes remolinos (LES, por sus siglas en inglés) utiliza la operación de convolución para reducir el rango de escalas de longitud necesarias en el cálculo, reduciendo así el coste computacional.
• En teoría de la probabilidad , la distribución de probabilidad de la suma de dos variables aleatorias independientes es la convolución de sus distribuciones individuales.
  • En la estimación de densidad de kernel , se estima una distribución a partir de puntos de muestra mediante convolución con un kernel, como una gaussiana isotrópica. ^{[ 40 ]}
• En los sistemas de planificación de tratamientos de radioterapia, la mayor parte de los códigos de cálculo modernos aplican un algoritmo de convolución-superposición .
• En fiabilidad estructural, el índice de fiabilidad se puede definir basándose en el teorema de convolución.
  • La definición del índice de confiabilidad para funciones de estado límite con distribuciones no normales se puede establecer en función de la función de distribución conjunta . De hecho, la función de distribución conjunta se puede obtener utilizando la teoría de convolución. ^{[ 41 ]}
• En la hidrodinámica de partículas suavizadas , las simulaciones de la dinámica de fluidos se calculan utilizando partículas, cada una con núcleos circundantes. Para cualquier partícula dada${\displaystyle i}$alguna cantidad física${\displaystyle A_{i}}$se calcula como una convolución de${\displaystyle A_{j}}$con una función de ponderación, donde${\displaystyle j}$denota los vecinos de la partícula${\displaystyle i}$: aquellos que se encuentran dentro de su núcleo. La convolución se aproxima como una suma sobre cada vecino. ^{[ 42 ]}
• En el cálculo fraccional, la convolución es fundamental en diversas definiciones de integral fraccional y derivada fraccional.

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• Conferencias sobre procesamiento de imágenes: Una colección de 18 conferencias en formato PDF de la Universidad de Vanderbilt. La conferencia 7 trata sobre convolución 2D. Por Alan Peters.
• Tutorial interactivo sobre la operación de máscara de kernel de convolución
• Convolución en MathWorld
• Procesador de respuesta de impulsos Freeverb3 : procesador de respuesta de impulsos de latencia cero de código abierto con complementos VST.
• Demostración interactiva en Flash del curso CS 178 de la Universidad de Stanford que muestra cómo funciona la convolución espacial.
• Una videoclase sobre el tema de la convolución impartida por Salman Khan.
• Ejemplo de convolución FFT para reconocimiento de patrones (procesamiento de imágenes)
• Guía intuitiva de la convolución. Una entrada de blog sobre una interpretación intuitiva de la convolución.