Biálgebra

En matemáticas , una biálgebra sobre un cuerpo K es un espacio vectorial sobre K que es a la vez un álgebra asociativa unitaria y una coalgebra coasociativa counitaria . ^{[1] : 46} Las estructuras algebraica y coalgebraica se hacen compatibles con unos pocos axiomas más. Específicamente, la comultiplicación y la counit son ambas homomorfismos del álgebra unitaria , o equivalentemente, la multiplicación y la unidad del álgebra son ambas morfismos de coalgebra . ^{[1] : 46} (Estas afirmaciones son equivalentes ya que se expresan mediante los mismos diagramas conmutativos ). ^{[1] : 46}

Las biálgebras similares están relacionadas por homomorfismos de biálgebra. Un homomorfismo de biálgebra es una función lineal que es a la vez un álgebra y un homomorfismo de coalgebra. ^{[2] : 45}

Como se refleja en la simetría de los diagramas conmutativos, la definición de biálgebra es autodual , por lo que si se puede definir un dual de B (lo que siempre es posible si B es de dimensión finita), entonces automáticamente es una biálgebra.

( B , ∇, η, Δ, ε) es una biálgebra sobre K si tiene las siguientes propiedades:

• B es un espacio vectorial sobre K ;
• existen K - aplicaciones lineales (multiplicación) ∇: B ⊗ B → B (equivalente a K - aplicación multilineal ∇: B × B → B ) y (unidad) η: K → B , tales que ( B , ∇, η) es un álgebra asociativa unital ;
• hay K mapas -lineales (comultiplicación) Δ: B → B ⊗ B y (counit) ε: B → K , tales que ( B , Δ, ε) es una coalgebra (coasociativa counital) ;
• condiciones de compatibilidad expresadas por los siguientes diagramas conmutativos :

1. Multiplicación ∇ y comultiplicación Δ ^{[3] : 147}

   

   donde τ: B ⊗ B → B ⊗ B es la función lineal definida por τ( x ⊗ y ) = y ⊗ x para todos los x e y en B ,

2. Multiplicación ∇ y conteo ε ^{[4] : 148}

   

3. Comultiplicación Δ y unidad η ^{[4] : 148}

   

4. Unidad η y unidad ε ^{[4] : 148}

   

La función K -lineal Δ: B → B ⊗ B es coasociativa si . ${\displaystyle (\mathrm {id} _{B}\otimes \Delta )\circ \Delta =(\Delta \otimes \mathrm {id} _{B})\circ \Delta }$

La función K -lineal ε: B → K es un conteo si . ${\displaystyle (\mathrm {id} _{B}\otimes \epsilon )\circ \Delta =\mathrm {id} _{B}=(\epsilon \otimes \mathrm {id} _{B})\circ \Delta }$

La coasociatividad y la counit se expresan mediante la conmutatividad de los dos diagramas siguientes (son los duales de los diagramas que expresan la asociatividad y la unidad de un álgebra):

Los cuatro diagramas conmutativos pueden leerse como "comultiplicación y counit son homomorfismos de álgebras" o, equivalentemente, "multiplicación y unidad son homomorfismos de coalgebras".

Estas afirmaciones tienen sentido una vez que explicamos las estructuras naturales del álgebra y la coalgebra en todos los espacios vectoriales involucrados además de B : ( K , ∇ ₀ , η ₀ ) es un álgebra asociativa unital de manera obvia y ( B ⊗ B , ∇ ₂ , η ₂ ) es un álgebra asociativa unital con unidad y multiplicación.

${\displaystyle \eta _{2}:=(\eta \otimes \eta ):K\otimes K\equiv K\to (B\otimes B)}$

${\displaystyle \nabla _{2}:=(\nabla \otimes \nabla )\circ (id\otimes \tau \otimes id):(B\otimes B)\otimes (B\otimes B)\to (B\otimes B)}$,

de modo que o, omitiendo ∇ y escribiendo la multiplicación como yuxtaposición , ; ${\displaystyle \nabla _{2}((x_{1}\otimes x_{2})\otimes (y_{1}\otimes y_{2}))=\nabla (x_{1}\otimes y_{1})\otimes \nabla (x_{2}\otimes y_{2})}$${\displaystyle (x_{1}\otimes x_{2})(y_{1}\otimes y_{2})=x_{1}y_{1}\otimes x_{2}y_{2}}$

De manera similar, ( K , Δ ₀ , ε ₀ ) es una coalgebra de manera obvia y B ⊗ B es una coalgebra con counit y comultiplicación

${\displaystyle \epsilon _{2}:=(\epsilon \otimes \epsilon ):(B\otimes B)\to K\otimes K\equiv K}$

${\displaystyle \Delta _{2}:=(id\otimes \tau \otimes id)\circ (\Delta \otimes \Delta ):(B\otimes B)\to (B\otimes B)\otimes (B\otimes B)}$.

Entonces, los diagramas 1 y 3 dicen que Δ: B → B ⊗ B es un homomorfismo de álgebras unitarias (asociativas) ( B , ∇, η) y ( B ⊗ B , ∇ ₂ , η ₂ )

${\displaystyle \Delta \circ \nabla =\nabla _{2}\circ (\Delta \otimes \Delta ):(B\otimes B)\to (B\otimes B)}$, o simplemente Δ( xy ) = Δ( x ) Δ( y ),

${\displaystyle \Delta \circ \eta =\eta _{2}:K\to (B\otimes B)}$, o simplemente Δ(1 _B ) = 1 _{B ⊗ B} ;

Los diagramas 2 y 4 dicen que ε: B → K es un homomorfismo de álgebras unitarias (asociativas) ( B , ∇, η) y ( K , ∇ ₀ , η ₀ ):

${\displaystyle \epsilon \circ \nabla =\nabla _{0}\circ (\epsilon \otimes \epsilon ):(B\otimes B)\to K}$, o simplemente ε( xy ) = ε( x ) ε( y )

${\displaystyle \epsilon \circ \eta =\eta _{0}:K\to K}$, o simplemente ε(1 _B ) = 1 _K .

De manera equivalente, los diagramas 1 y 2 dicen que ∇: B ⊗ B → B es un homomorfismo de coalgebras (coasociativas conunitales) ( B ⊗ B , Δ ₂ , ε ₂ ) y ( B , Δ, ε):

${\displaystyle \nabla \otimes \nabla \circ \Delta _{2}=\Delta \circ \nabla :(B\otimes B)\to (B\otimes B),}$

${\displaystyle \nabla _{0}\circ \epsilon _{2}=\epsilon \circ \nabla :(B\otimes B)\to K}$;

Los diagramas 3 y 4 dicen que η: K → B es un homomorfismo de coalgebras (coasociativas conunitales) ( K , Δ ₀ , ε ₀ ) y ( B , Δ, ε ):

${\displaystyle \eta _{2}\circ \Delta _{0}=\Delta \circ \eta :K\to (B\otimes B),}$

${\displaystyle \eta _{0}\circ \epsilon _{0}=\epsilon \circ \eta :K\to K}$,

dónde

${\displaystyle \epsilon _{0}=id_{K}=\eta _{0}}$.

Un ejemplo de una biálgebra es el conjunto de funciones de un grupo finito G (o más generalmente, cualquier monoide finito ) a , que podemos representar como un espacio vectorial que consiste en combinaciones lineales de vectores base estándar, por ejemplo _g para cada g  ∈  G , que puede representar una distribución de probabilidad sobre G en el caso de vectores cuyos coeficientes son todos no negativos y suman 1. Un ejemplo de operadores de comultiplicación adecuados y counits que producen una coálgebra counital son ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{G}}$

${\displaystyle \Delta (\mathbf {e} _{g})=\mathbf {e} _{g}\otimes \mathbf {e} _{g}\,,}$

que representa hacer una copia de una variable aleatoria (que extendemos a todos por linealidad), y ${\displaystyle \mathbb {R} ^{G}}$

${\displaystyle \varepsilon (\mathbf {e} _{g})=1\,,}$

(nuevamente extendida linealmente a todos los ) que representa "rastrear" una variable aleatoria, es decir,  olvidar el valor de una variable aleatoria (representada por un único factor tensorial) para obtener una distribución marginal en las variables restantes (los factores tensoriales restantes). Dada la interpretación de (Δ,ε) en términos de distribuciones de probabilidad como las anteriores, las condiciones de consistencia de biálgebra equivalen a restricciones en (∇,η) como sigue: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{G}}$

1. η es un operador que prepara una distribución de probabilidad normalizada que es independiente de todas las demás variables aleatorias;
2. El producto ∇ asigna una distribución de probabilidad de dos variables a una distribución de probabilidad de una variable;
3. Copiar una variable aleatoria en la distribución dada por η es equivalente a tener dos variables aleatorias independientes en la distribución η;
4. Tomar el producto de dos variables aleatorias y preparar una copia de la variable aleatoria resultante tiene la misma distribución que preparar copias de cada variable aleatoria independientemente una de otra y multiplicarlas juntas en pares.

Un par (∇,η) que satisface estas restricciones es el operador de convolución

${\displaystyle \nabla {\bigl (}\mathbf {e} _{g}\otimes \mathbf {e} _{h}{\bigr )}=\mathbf {e} _{gh}\,,}$

nuevamente extendido a todo por linealidad; esto produce una distribución de probabilidad normalizada a partir de una distribución en dos variables aleatorias, y tiene como unidad la distribución delta donde i  ∈  G denota el elemento identidad del grupo G . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{G}\otimes \mathbb {R} ^{G}}$${\displaystyle \eta =\mathbf {e} _{i}\;,}$

Otros ejemplos de biálgebras incluyen el álgebra tensorial , que puede convertirse en una biálgebra agregando la comultiplicación y el conteo apropiados; estos se explican en detalle en ese artículo.

Las biálgebras pueden extenderse a menudo a las álgebras de Hopf , si se puede encontrar un antípoda apropiado; por lo tanto, todas las álgebras de Hopf son ejemplos de biálgebras. ^{[5] : 151} Estructuras similares con diferente compatibilidad entre el producto y la comultiplicación, o diferentes tipos de multiplicación y comultiplicación, incluyen las biálgebras de Lie y las álgebras de Frobenius . Se dan ejemplos adicionales en el artículo sobre coalgebras .

• Cuasi-biálgebra

• Dăscălescu, Sorin; Năstăsescu, Constantin; Raianu, Șerban (2001), "4. Bialgebras y álgebras de Hopf", Álgebras de Hopf: una introducción, Matemáticas puras y aplicadas, vol. 235, Marcel Dekker, ISBN 0-8247-0481-9.
• Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, V. (2010). "Bialgebras y álgebras de Hopf. Motivación, definiciones y ejemplos". Álgebras, anillos y módulos Álgebras de Lie y álgebras de Hopf. American Mathematical Society. págs.  131– 173. ISBN 978-0-8218-5262-0.Descargar texto completo en PDF
• Kassel, Christian (2012). "El lenguaje de las álgebras de Hopf". Grupos cuánticos. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-0783-2.
• Underwood, Robert G. (28 de agosto de 2011). Introducción a las álgebras de Hopf. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-72766-0. Libro en línea