Biálgebra de Lie

En matemáticas, una biálgebra de Lie es el caso teórico de Lie de una biálgebra : es un conjunto con una estructura de álgebra de Lie y de coalgebra de Lie que son compatibles.

Se trata de una biálgebra en la que la multiplicación es antisimétrica y satisface una identidad dual de Jacobi , de modo que el espacio vectorial dual es un álgebra de Lie , mientras que la comultiplicación es un 1- cociclo , de modo que la multiplicación y la comultiplicación son compatibles. La condición de cociclo implica que, en la práctica, se estudian solo clases de biálgebras que son cohomólogas a una biálgebra de Lie en un colímite.

También se denominan álgebras de Poisson-Hopf y son las álgebras de Lie de un grupo de Poisson-Lie .

Las biálgebras de Lie ocurren naturalmente en el estudio de las ecuaciones de Yang-Baxter .

Un espacio vectorial es una biálgebra de Lie si es un álgebra de Lie, y también existe la estructura del álgebra de Lie en el espacio vectorial dual que es compatible. Más precisamente, la estructura del álgebra de Lie en está dada por un corchete de Lie y la estructura del álgebra de Lie en está dada por un corchete de Lie . Entonces, la función dual a se llama cocommutador, y la condición de compatibilidad es la siguiente relación de cociclo: ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle [\ ,\ ]:{\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle \delta ^{*}:{\mathfrak {g}}^{*}\otimes {\mathfrak {g}}^{*}\to {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle \delta ^{*}}$${\displaystyle \delta :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \delta ([X,Y])=\left(\operatorname {ad} _{X}\otimes 1+1\otimes \operatorname {ad} _{X}\right)\delta (Y)-\left(\operatorname {ad} _{Y}\otimes 1+1\otimes \operatorname {ad} _{Y}\right)\delta (X)}$

donde es el adjunto. Nótese que esta definición es simétrica y también es una biálgebra de Lie, la biálgebra de Lie dual. ${\displaystyle \operatorname {ad} _{X}Y=[X,Y]}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$

Sea cualquier álgebra de Lie semisimple. Para especificar una estructura de biálgebra de Lie, necesitamos especificar una estructura de álgebra de Lie compatible en el espacio vectorial dual. Elija una subálgebra de Cartan y una selección de raíces positivas. Sea las subálgebras de Borel opuestas correspondientes, de modo que y exista una proyección natural . Luego defina un álgebra de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {t}}\subconjunto {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}_{\pm}\subset {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {t}}={\mathfrak {b}}_{-}\cap {\mathfrak {b}}_{+}}$${\displaystyle \pi :{\mathfrak {b}}_{\pm }\to {\mathfrak {t}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g'}}:=\{(X_{-},X_{+})\in {\mathfrak {b}}_{-}\times {\mathfrak {b}}_{+}\ {\bigl \vert }\ \pi (X_{-})+\pi (X_{+})=0\}}$

que es una subálgebra del producto , y tiene la misma dimensión que . Ahora identifique con dual de mediante el emparejamiento ${\displaystyle {\mathfrak {b}}_{-}\times {\mathfrak {b}}_{+}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g'}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \langle (X_{-},X_{+}),Y\rangle :=K(X_{+}-X_{-},Y)}$

donde y es la forma Killing. Esto define una estructura de biálgebra de Lie en , y es el ejemplo "estándar": subyace al grupo cuántico de Drinfeld-Jimbo. Nótese que es resoluble, mientras que es semisimple. ${\displaystyle Y\in {\mathfrak {g}}}$${\estilo de visualización K}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g'}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

El álgebra de Lie de un grupo de Poisson-Lie G tiene una estructura natural de biálgebra de Lie. En resumen, la estructura del grupo de Lie da el corchete de Lie en como es habitual, y la linealización de la estructura de Poisson en G da el corchete de Lie en (recordando que una estructura lineal de Poisson en un espacio vectorial es lo mismo que un corchete de Lie en el espacio vectorial dual). En más detalle, sea G un grupo de Poisson-Lie, con dos funciones suaves en la variedad del grupo. Sea la diferencial en el elemento identidad. Claramente, . La estructura de Poisson en el grupo induce entonces un corchete en , como ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g^{*}}}}$${\displaystyle f_{1},f_{2}\in C^{\infty }(G)}$${\displaystyle \xi =(df)_{e}}$${\displaystyle \xi \in {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$

${\displaystyle [\xi_{1},\xi_{2}]=(d\{f_{1},f_{2}\})_{e}\,}$

donde es el corchete de Poisson . Dado el bivector de Poisson en la variedad, se define como la traducción derecha del bivector al elemento identidad en G . Entonces se tiene que ${\estilo de visualización \{,\}}$${\estilo de visualización \eta}$${\displaystyle \eta ^{R}}$

${\displaystyle \eta ^{R}:G\to {\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}}$

El coconmutador es entonces la función tangente:

${\displaystyle \delta =T_{e}\eta ^{R}\,}$

de modo que

${\displaystyle [\xi_{1},\xi_{2}]=\delta ^{*}(\xi_{1}\otimes \xi_{2})}$

es el dual del co-conmutador.

• Lie coalgebra
• Manin triple

• H.-D. Doebner, J.-D. Hennig, eds, Grupos cuánticos, Actas del 8º Taller internacional sobre física matemática, Instituto Arnold Sommerfeld, Claausthal, Alemania, 1989 , Springer-Verlag Berlín, ISBN  3-540-53503-9 .
• Vyjayanthi Chari y Andrew Pressley, Una guía para los grupos cuánticos , (1994), Cambridge University Press, Cambridge ISBN 0-521-55884-0 . 
• Beisert, N.; Spill, F. (2009). "La matriz r clásica de AdS/CFT y su estructura de biálgebra de Lie". Communications in Mathematical Physics . 285 (2): 537–565. arXiv : 0708.1762 . Código Bibliográfico :2009CMaPh.285..537B. doi :10.1007/s00220-008-0578-2. S2CID  8946457.