Teorema de convolución de Titchmarsh

El teorema de convolución de Titchmarsh describe las propiedades del soporte de la convolución de dos funciones. Fue demostrado por Edward Charles Titchmarsh en 1926. ^{[ 1 ]}

Si${\textstyle \varphi (t)\,}$y${\textstyle \psi (t)}$son funciones integrables, tales que

${\displaystyle \varphi *\psi =\int _{0}^{x}\varphi (t)\psi (xt)\,dt=0}$

casi en todas partes del intervalo${\displaystyle 0<x<\kappa \,}$, entonces existen${\displaystyle \lambda \geq 0}$y${\displaystyle \mu \geq 0}$satisfactorio${\displaystyle \lambda +\mu \geq \kappa }$de tal manera que${\displaystyle \varphi (t)=0\,}$casi en todas partes${\displaystyle 0<t<\lambda }$y${\displaystyle \psi (t)=0\,}$casi en todas partes${\displaystyle 0<t<\mu .}$

Como corolario, si la integral anterior es 0 para todo${\textstyle x>0,}$entonces o${\textstyle \varphi \,}$o${\textstyle \psi }$es casi en todas partes 0 en el intervalo${\textstyle [0,+\infty ).}$Por lo tanto, la convolución de dos funciones en${\textstyle [0,+\infty )}$no puede ser idénticamente cero a menos que al menos una de las dos funciones sea idénticamente cero.

Como otro corolario, si${\displaystyle \varphi *\psi (x)=0}$a pesar de${\displaystyle x\in [0,\kappa ]}$y una de las funciones${\displaystyle \varphi }$o${\displaystyle \psi }$es casi en todas partes no nulo en este intervalo, entonces la otra función debe ser nula casi en todas partes en${\displaystyle [0,\kappa ]}$.

El teorema puede reformularse de la siguiente forma:

Dejar${\displaystyle \varphi ,\psi \in L^{1}(\mathbb {R} )}$. Entonces${\displaystyle \inf \operatorname {supp} \varphi \ast \psi =\inf \operatorname {supp} \varphi +\inf \operatorname {supp} \psi }$si el lado izquierdo es finito. De manera similar,${\displaystyle \sup \operatorname {supp} \varphi \ast \psi =\sup \operatorname {supp} \varphi +\sup \operatorname {supp} \psi }$si el lado derecho es finito.

Arriba,${\displaystyle \operatorname {supp} }$denota el soporte de una función f (es decir, la clausura del complemento de f ⁻¹ (0)) y${\displaystyle \inf }$y${\displaystyle \sup }$denotan el ínfimo y el supremo . Este teorema esencialmente establece que la conocida inclusión${\displaystyle \operatorname {supp} \varphi \ast \psi \subset \operatorname {supp} \varphi +\operatorname {supp} \psi }$es nítido en el límite.

La generalización de dimensiones superiores en términos de la envoltura convexa de los soportes fue demostrada por Jacques-Louis Lions en 1951: ^{[ 2 ]}

Si${\displaystyle \varphi ,\psi \in {\mathcal {E}}'(\mathbb {R} ^{n})}$, entonces${\displaystyle \operatorname {ch} \operatorname {supp} \varphi \ast \psi =\operatorname {ch} \operatorname {supp} \varphi +\operatorname {ch} \operatorname {supp} \psi }$

Arriba,${\displaystyle \operatorname {ch} }$denota la envoltura convexa del conjunto y${\displaystyle {\mathcal {E}}'(\mathbb {R} ^{n})}$denota el espacio de distribuciones con soporte compacto .

La demostración original de Titchmarsh utiliza técnicas de variables complejas y se basa en el principio de Phragmén-Lindelöf , la desigualdad de Jensen , el teorema de Carleman y el teorema de Valiron . Desde entonces, el teorema se ha demostrado varias veces más, generalmente utilizando métodos de variables reales ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} o de variables complejas ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]} . Gian-Carlo Rota ha afirmado que ninguna demostración aborda aún la estructura combinatoria subyacente del teorema, la cual considera necesaria para su comprensión completa. ^{[ 9 ]}