Transformación de Legendre

Dejar${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$sea ​​un intervalo y${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$una función convexa ; entonces la transformada de Legendre de${\displaystyle f}$es la función${\displaystyle f^{*}:I^{*}\to \mathbb {R} }$definido por $${\displaystyle f^{*}(x^{*})=\sup _{x\in I}(x^{*}xf(x)),\ \ \ \ I^{*}=\left\{x^{*}\in \mathbb {R}$$ :\sup _{x\in I}(x^{*}xf(x))<\infty \right\}} donde${\textstyle \sup }$denota el supremo sobre${\displaystyle I}$, p.ej,${\textstyle x}$en${\textstyle I}$se elige de tal manera que${\textstyle x^{*}xf(x)}$se maximiza en cada${\textstyle x^{*}}$, o${\textstyle x^{*}}$es tal que${\displaystyle x^{*}xf(x)}$tiene un valor limitado en todo momento${\textstyle I}$(por ejemplo, cuando${\displaystyle f(x)}$es una función lineal).

La función${\displaystyle f^{*}}$se denomina función conjugada convexa de${\displaystyle f}$. Por razones históricas (arraigadas en la mecánica analítica), la variable conjugada se suele denotar${\displaystyle p}$, en lugar de${\displaystyle x^{*}}$. Si la función convexa${\displaystyle f}$está definido en toda la línea y es diferenciable en todas partes , entonces $${\displaystyle f^{*}(p)=\sup _{x\in I}(px-f(x))=\left(px-f(x)\right)|_{x=(f')^{-1}(p)}}$$ puede interpretarse como el negativo de la${\displaystyle y}$-intersección de la línea tangente a la gráfica de${\displaystyle f}$que tiene pendiente${\displaystyle p}$.

La generalización a funciones convexas${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$en un conjunto convexo${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{n}}$es sencillo:${\displaystyle f^{*}:X^{*}\to \mathbb {R} }$tiene dominio $${\displaystyle X^{*}=\left\{x^{*}\in \mathbb {R} ^{n}:\sup _{x\in X}(\langle x^{*},x\rangle -f(x))<\infty \right\}}$$ y se define por $${\displaystyle f^{*}(x^{*})=\sup _{x\in X}(\langle x^{*},x\rangle -f(x)),\quad x^{*}\in X^{*}~,}$$ dónde${\displaystyle \langle x^{*},x\rangle }$denota el producto escalar de${\displaystyle x^{*}}$y${\displaystyle x}$.

La transformación de Legendre es una aplicación de la relación de dualidad entre puntos y líneas. La relación funcional especificada por${\displaystyle f}$puede representarse igualmente bien como un conjunto de${\displaystyle (x,y)}$puntos, o como un conjunto de líneas tangentes especificadas por sus valores de pendiente e intersección.

Para una función convexa diferenciable${\displaystyle f}$en la recta real con la primera derivada${\displaystyle f'}$y su inversa${\displaystyle (f')^{-1}}$, la transformación de Legendre de${\displaystyle f}$,${\displaystyle f^{*}}$, se puede especificar, salvo una constante aditiva, mediante la condición de que las primeras derivadas de las funciones sean funciones inversas entre sí, es decir,${\displaystyle f'=((f^{*})')^{-1}}$y${\displaystyle (f^{*})'=(f')^{-1}}$.

Para ver esto, primero observe que si${\displaystyle f}$como una función convexa en la recta real es diferenciable y${\displaystyle {\overline {x}}}$es un punto crítico de la función de${\displaystyle x\mapsto p\cdot x-f(x)}$, entonces el supremo se alcanza en${\textstyle {\overline {x}}}$(por convexidad, véase la primera figura de esta página de Wikipedia). Por lo tanto, la transformada de Legendre de${\displaystyle f}$es${\displaystyle f^{*}(p)=p\cdot {\overline {x}}-f({\overline {x}})}$.

Entonces, supongamos que la primera derivada${\displaystyle f'}$es invertible y sea la inversa${\displaystyle g=(f')^{-1}}$. Luego, para cada uno${\textstyle p}$, el punto${\displaystyle g(p)}$es el punto crítico único${\textstyle {\overline {x}}}$de la función${\displaystyle x\mapsto px-f(x)}$(es decir,${\displaystyle {\overline {x}}=g(p)}$) porque${\displaystyle f'(g(p))=p}$y la primera derivada de la función con respecto a${\displaystyle x}$en${\displaystyle g(p)}$es${\displaystyle p-f'(g(p))=0}$Por lo tanto tenemos${\displaystyle f^{*}(p)=p\cdot g(p)-f(g(p))}$para cada${\textstyle p}$. Al diferenciar con respecto a${\textstyle p}$, encontramos $${\displaystyle (f^{*})'(p)=g(p)+p\cdot g'(p)-f'(g(p))\cdot g'(p).}$$ Desde${\displaystyle f'(g(p))=p}$esto se simplifica a${\displaystyle (f^{*})'(p)=g(p)=(f')^{-1}(p)}$. En otras palabras,${\displaystyle (f^{*})'}$y${\displaystyle f'}$son inversas entre sí .

En general, si${\displaystyle h'=(f')^{-1}}$como el inverso de${\displaystyle f',}$entonces${\displaystyle h'=(f^{*})'}$por lo que la integración da${\displaystyle f^{*}=h+c}$, dónde${\displaystyle c}$es una constante.

En términos prácticos, dado${\displaystyle f(x),}$el gráfico paramétrico de${\displaystyle xf'(x)-f(x)}$versus${\displaystyle f'(x)}$equivale al gráfico de${\displaystyle f^{*}(p)}$versus${\displaystyle p.}$

En algunos casos (por ejemplo, potenciales termodinámicos, más abajo), se utiliza un requisito no estándar, que equivale a una definición alternativa de f * con un signo menos , $${\displaystyle f(x)-f^{*}(p)=xp.}$$

En mecánica analítica y termodinámica , la transformación de Legendre se define generalmente de la siguiente manera: supongamos que${\displaystyle f}$es una función de${\displaystyle x}$; entonces tenemos

$${\displaystyle df={\frac {df}{dx}}dx.}$$

Realizar la transformación de Legendre en esta función significa que tomamos${\displaystyle p={\frac {df}{dx}}}$como variable independiente, de modo que la expresión anterior se puede escribir como

$${\displaystyle df=p\,dx,}$$

y según la regla del producto${\displaystyle d(uv)=u\,dv+v\,du,}$Entonces tenemos

$${\displaystyle d\left(xp-f\right)=x\,dp+p\,dx-df=x\,dp,}$$

y tomando${\displaystyle f^{*}=xp-f,}$tenemos${\displaystyle df^{*}=x\,dp,}$lo que significa

$${\displaystyle {\frac {df^{*}}{dp}}=x.}$$

Cuando${\displaystyle f}$es una función de${\displaystyle n}$variables${\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}}$, entonces podemos realizar la transformación de Legendre en cada una o varias variables: tenemos

$${\displaystyle df=p_{1}\,dx_{1}+p_{2}\,dx_{2}+\cdots +p_{n}\,dx_{n},}$$

dónde${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}.}$Entonces, si queremos realizar la transformación de Legendre en, por ejemplo${\displaystyle x_{1}}$, luego tomamos${\displaystyle p_{1}}$junto con${\displaystyle x_{2},\cdots ,x_{n}}$como variables independientes, y con la regla de Leibniz tenemos

$${\displaystyle d(x_{1}p_{1}-f)=x_{1}\,dp_{1}-p_{2}\,dx_{2}-\cdots -p_{n}\,dx_{n}.}$$

Entonces, para la función${\displaystyle \varphi (p_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})=x_{1}p_{1}-f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}),}$tenemos

$${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial p_{1}}}=x_{1},\quad {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{2}}}=-p_{2},\quad \cdots ,\quad {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n}}}=-p_{n}.}$$

También podemos realizar esta transformación para variables.${\displaystyle x_{2},\cdots ,x_{n}}$. Si lo hacemos a todas las variables, entonces tenemos

$${\displaystyle d\varphi =x_{1}\,dp_{1}+x_{2}\,dp_{2}+\cdots +x_{n}\,dp_{n}}$$dónde${\displaystyle \varphi =x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}+\cdots +x_{n}p_{n}-f.}$

En mecánica analítica, se realiza esta transformación en variables.${\displaystyle {\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},\cdots ,{\dot {q}}_{n}}$del Lagrangiano${\displaystyle L(q_{1},\cdots ,q_{n},{\dot {q}}_{1},\cdots ,{\dot {q}}_{n})}$para obtener el hamiltoniano :

$${\displaystyle H(q_{1},\cdots ,q_{n},p_{1},\cdots ,p_{n})=\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}_{i}-L(q_{1},\cdots ,q_{n},{\dot {q}}_{1}\cdots ,{\dot {q}}_{n}).}$$

En termodinámica, esta transformación se aplica a las variables según el tipo de sistema termodinámico deseado; por ejemplo, partiendo de la representación de la energía como función cardinal de estado, la energía interna${\displaystyle U(S,V)}$, tenemos

$${\displaystyle dU=T\,dS-p\,dV,}$$

para que podamos realizar la transformación de Legendre en uno o en ambos.${\displaystyle S,V}$para ceder

$${\displaystyle {\begin{aligned}dH&=d(U+pV)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\ \ \ \ T\,dS+V\,dp\\dF&=d(U-TS)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =-S\,dT-p\,dV\\dG&=d(U-TS+pV)=-S\,dT+V\,dp,\end{aligned}}}$$

y cada una de estas tres expresiones tiene un significado físico.

Esta definición de la transformación de Legendre es la introducida originalmente por Legendre en su trabajo de 1787, ^{[ 1 ]} y todavía la aplican los físicos hoy en día. De hecho, esta definición es matemáticamente rigurosa si tratamos todas las variables y funciones definidas anteriormente (por ejemplo,${\displaystyle f,x_{1},\cdots ,x_{n},p_{1},\cdots ,p_{n},}$) como funciones diferenciables definidas en un conjunto abierto de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$o en una variedad diferenciable , y${\displaystyle df,dx_{i},dp_{i}}$sus diferenciales (que se tratan como vectores cotangentes en el contexto de variedades diferenciables). Esta definición es equivalente a la definición de los matemáticos modernos siempre que${\displaystyle f}$es diferenciable y convexa para las variables${\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}.}$

Consideremos la función exponencial.${\displaystyle f(x)=e^{x},}$que tiene el dominio${\displaystyle I=\mathbb {R} }$. Según la definición, la transformación de Legendre es $${\displaystyle f^{*}(x^{*})=\sup _{x\in \mathbb {R} }(x^{*}x-e^{x}),\quad x^{*}\in I^{*}}$$ dónde${\displaystyle I^{*}}$aún está por determinarse. Para evaluar el supremo , calcule la derivada de${\displaystyle x^{*}x-e^{x}}$con respecto a${\displaystyle x}$y establecerlo igual a cero: $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(x^{*}x-e^{x})=x^{*}-e^{x}=0.}$$ La segunda derivada${\displaystyle -e^{x}}$es negativo en todas partes, por lo que el valor máximo se alcanza en${\displaystyle x=\ln(x^{*})}$. Por lo tanto, la transformación de Legendre es $${\displaystyle f^{*}(x^{*})=x^{*}\ln(x^{*})-e^{\ln(x^{*})}=x^{*}(\ln(x^{*})-1)}$$ y tiene dominio${\displaystyle I^{*}=(0,\infty ).}$Esto demuestra que los dominios de una función y su transformada de Legendre pueden ser diferentes.

Para encontrar la transformación Legendre de la transformación Legendre de${\displaystyle f}$, $${\displaystyle f^{**}(x)=\sup _{x^{*}\in \mathbb {R} }(xx^{*}-x^{*}(\ln(x^{*})-1)),\quad x\in I,}$$ donde una variable${\displaystyle x}$se utiliza intencionalmente como argumento de la función${\displaystyle f^{**}}$para mostrar la propiedad de involución de la transformada de Legendre como${\displaystyle f^{**}=f}$Calculamos .$${\displaystyle {\begin{aligned}0&={\frac {d}{dx^{*}}}{\big (}xx^{*}-x^{*}(\ln(x^{*})-1){\big )}=x-\ln(x^{*})\end{aligned}}}$$ por lo tanto el máximo ocurre en${\displaystyle x^{*}=e^{x}}$porque la segunda derivada${\displaystyle {\frac {d^{2}}{{dx^{*}}^{2}}}f^{**}(x)=-{\frac {1}{x^{*}}}<0}$sobre el dominio de${\displaystyle f^{**}}$como${\displaystyle I^{*}=(0,\infty ).}$Como resultado,${\displaystyle f^{**}}$se encuentra como $${\displaystyle {\begin{aligned}f^{**}(x)&=xe^{x}-e^{x}(\ln(e^{x})-1)=e^{x},\end{aligned}}}$$ confirmando así que${\displaystyle f=f^{**},}$Como era de esperar.

Sea f ( x ) = cx ² definida en R , donde c > 0 es una constante fija.

Para x * fijo, la función de x , x * x − f ( x ) = x * x − cx ² tiene la primera derivada x * − 2 cx y la segunda derivada −2 c ; hay un punto estacionario en x = x */2 c , que siempre es un máximo.

Por lo tanto, I * = R y $${\displaystyle f^{*}(x^{*})={\frac {{x^{*}}^{2}}{4c}}~.}$$

Las primeras derivadas de f , 2 cx , y de f * , x */(2 c ) , son funciones inversas entre sí. Claramente, además, $${\displaystyle f^{**}(x)={\frac {1}{4(1/4c)}}x^{2}=cx^{2}~,}$$ es decir, f ** = f .

Sea f ( x ) = x ² para x ∈ ( I = [2, 3]) .

Para x * fijo, x * x − f ( x ) es continua en I compacto , por lo tanto siempre toma un máximo finito en él; de ello se deduce que el dominio de la transformada de Legendre de${\displaystyle f}$es I * = R .

El punto estacionario en x = x */2 (encontrado al establecer que la primera derivada de x * x − f ( x ) con respecto a${\displaystyle x}$igual a cero) está en el dominio [2, 3] si y solo si 4 ≤ x * ≤ 6 . De lo contrario, el máximo se toma en x = 2 o x = 3 porque la segunda derivada de x * x − f ( x ) con respecto a${\displaystyle x}$es negativo como${\displaystyle -2}$; para una parte del dominio${\displaystyle x^{*}<4}$el máximo que x * x − f ( x ) puede tomar con respecto a${\displaystyle x\in [2,3]}$se obtiene en${\displaystyle x=2}$mientras que para${\displaystyle x^{*}>6}$se convierte en el máximo en${\displaystyle x=3}$Por lo tanto, se deduce que $${\displaystyle f^{*}(x^{*})={\begin{cases}2x^{*}-4,&x^{*}<4\\{\frac {{x^{*}}^{2}}{4}},&4\leq x^{*}\leq 6,\\3x^{*}-9,&x^{*}>6.\end{cases}}}$$

La función f ( x ) = cx es convexa para todo x (la convexidad estricta no es necesaria para que la transformación de Legendre esté bien definida). Claramente, x * x − f ( x ) = ( x * − c ) x nunca está acotada superiormente como función de x , a menos que x * − c = 0. Por lo tanto, f * está definida en I * = { c } y f *( c ) = 0. ( La definición de la transformación de Legendre requiere la existencia del supremo , lo que a su vez requiere cotas superiores).

Se puede comprobar la involutividad: por supuesto, x * x − f *( x *) siempre está acotada como función de x *∈{ c } , por lo tanto I ** = R . Entonces, para todo x se tiene $${\displaystyle \sup _{x^{*}\in \{c\}}(xx^{*}-f^{*}(x^{*}))=xc,}$$ y por lo tanto f **( x ) = cx = f ( x ) .

Como ejemplo de una función continua convexa que no es diferenciable en todas partes, consideremos${\displaystyle f(x)=|x|}$Esto da$${\displaystyle f^{*}(x^{*})=\sup _{x}(xx^{*}-|x|)=\max \left(\sup _{x\geq 0}x(x^{*}-1),\,\sup _{x\leq 0}x(x^{*}+1)\right),}$$y por lo tanto${\displaystyle f^{*}(x^{*})=0}$en su dominio${\displaystyle I^{*}=[-1,1]}$.

Dejar $${\displaystyle f(x)=\langle x,Ax\rangle +c}$$ estar definida en X = R ⁿ , donde A es una matriz real definida positiva.

Entonces f es convexa y $${\displaystyle \langle p,x\rangle -f(x)=\langle p,x\rangle -\langle x,Ax\rangle -c,}$$ tiene gradiente p − 2 Ax y hessiano −2 A , que es negativo; por lo tanto, el punto estacionario x = A ⁻¹ p /2 es un máximo.

Tenemos X * = R ⁿ , y $${\displaystyle f^{*}(p)={\frac {1}{4}}\langle p,A^{-1}p\rangle -c.}$$

En mecánica clásica, se utiliza una transformación de Legendre para derivar la formulación hamiltoniana a partir de la formulación lagrangiana , y viceversa. Un lagrangiano típico tiene la forma

$${\displaystyle L(v,q)={\tfrac {1}{2}}\langle v,Mv\rangle -V(q),}$$ dónde${\displaystyle (v,q)}$son coordenadas en R ⁿ × R ⁿ , M es una matriz real definida positiva y $${\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{j}x_{j}y_{j}.}$$

Para cada q fijo,${\displaystyle L(v,q)}$es una función convexa de${\displaystyle v}$, mientras${\displaystyle V(q)}$desempeña el papel de una constante.

De ahí la transformación de Legendre de${\displaystyle L(v,q)}$como función de${\displaystyle v}$es la función hamiltoniana, $${\displaystyle H(p,q)={\tfrac {1}{2}}\langle p,M^{-1}p\rangle +V(q).}$$

En un contexto más general,${\displaystyle (v,q)}$son coordenadas locales en el fibrado tangente${\displaystyle T{\mathcal {M}}}$de un colector${\displaystyle {\mathcal {M}}}$. Para cada q ,${\displaystyle L(v,q)}$es una función convexa del espacio tangente V _q . La transformada de Legendre da el hamiltoniano${\displaystyle H(p,q)}$en función de las coordenadas ( p , q ) del haz cotangente${\displaystyle T^{*}{\mathcal {M}}}$; el producto interno utilizado para definir la transformada de Legendre se hereda de la estructura simpléctica canónica pertinente . En este contexto abstracto, la transformación de Legendre corresponde a la forma única tautológica .

La estrategia que subyace al uso de las transformaciones de Legendre en termodinámica consiste en transformar una función que depende de una variable en una nueva función (conjugada) que depende de otra variable, la conjugada de la original. Esta nueva variable es la derivada parcial de la función original con respecto a dicha variable. La nueva función es la diferencia entre la función original y el producto de las variables antigua y nueva. Generalmente, esta transformación resulta útil porque traslada la dependencia de, por ejemplo, la energía de una variable extensiva a su variable intensiva conjugada, la cual suele ser más fácil de controlar en un experimento físico.

Por ejemplo, la energía interna U es una función explícita de las variables extensivas entropía S , volumen V y composición química N _i (por ejemplo,${\displaystyle i=1,2,3,\ldots }$) $${\displaystyle U=U\left(S,V,\{N_{i}\}\right),}$$ que tiene un diferencial total $${\displaystyle dU=T\,dS-P\,dV+\sum \mu _{i}\,dN_{i}}$$

dónde${\displaystyle T=\left.{\frac {\partial U}{\partial S}}\right\vert _{V,N_{i{\text{ for all }}i{\text{ values}}}},P=\left.-{\frac {\partial U}{\partial V}}\right\vert _{S,N_{i\ {\text{for all }}i{\text{ values}}}},\mu _{i}=\left.{\frac {\partial U}{\partial N_{i}}}\right\vert _{S,V,N_{j{\text{ for all }}j\neq i}}}$.

(Los subíndices no son necesarios por definición de derivadas parciales, pero se dejan aquí para aclarar las variables). Estipulando algún estado de referencia común, utilizando la transformada de Legendre (no estándar) de la energía interna U con respecto al volumen V , la entalpía H se puede obtener de la siguiente manera.

Para obtener la transformación de Legendre (estándar)${\textstyle U^{*}}$de la energía interna U con respecto al volumen V , la función${\textstyle u\left(p,S,V,\{{{N}_{i}}\}\right)=pV-U}$primero se define, luego se maximizará o limitará por V. Para ello, se cumple la condición.${\textstyle {\frac {\partial u}{\partial V}}=p-{\frac {\partial U}{\partial V}}=0\to p={\frac {\partial U}{\partial V}}}$necesita ser satisfecho, por lo tanto${\textstyle U^{*}={\frac {\partial U}{\partial V}}V-U}$se obtiene. Este enfoque se justifica porque U es una función lineal con respecto a V (por lo tanto, una función convexa en V ) por la definición de variables extensivas . La transformada de Legendre no estándar aquí se obtiene negando la versión estándar, por lo que${\textstyle -U^{*}=H=U-{\frac {\partial U}{\partial V}}V=U+PV}$.

H es definitivamente una función de estado , ya que se obtiene al agregar PV ( P y V como variables de estado ) a una función de estado.${\textstyle U=U\left(S,V,\{N_{i}\}\right)}$, por lo que su diferencial es un diferencial exacto . Debido a${\textstyle dH=T\,dS+V\,dP+\sum \mu _{i}\,dN_{i}}$y el hecho de que debe ser un diferencial exacto,${\displaystyle H=H(S,P,\{N_{i}\})}$.

La entalpía resulta adecuada para describir procesos en los que la presión se controla desde el entorno.

Asimismo, es posible cambiar la dependencia de la energía de la variable extensiva de entropía, S , a la variable intensiva (a menudo más conveniente) T , lo que da como resultado las energías libres de Helmholtz y Gibbs . La energía libre de Helmholtz A y la energía libre de Gibbs G se obtienen mediante transformaciones de Legendre de la energía interna y la entalpía, respectivamente. $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=U-TS~,\\G&=H-TS=U+PV-TS~.\end{aligned}}}$$

La energía libre de Helmholtz suele ser el potencial termodinámico más útil cuando la temperatura y el volumen se controlan desde el entorno, mientras que la energía libre de Gibbs suele ser la más útil cuando la temperatura y la presión se controlan desde el entorno.

Como otro ejemplo de física , consideremos un condensador de placas conductoras paralelas , en el que las placas pueden moverse una respecto a la otra. Dicho condensador permitiría la transferencia de la energía eléctrica almacenada en él a trabajo mecánico externo, realizado por la fuerza que actúa sobre las placas. Podemos pensar en la carga eléctrica como análoga a la "carga" de un gas en un cilindro , con la fuerza mecánica resultante ejercida sobre un pistón .

Calcula la fuerza sobre las placas en función de x , la distancia que las separa. Para hallar la fuerza, calcula la energía potencial y, a continuación, aplica la definición de fuerza como el gradiente de la función de energía potencial.

La energía potencial electrostática almacenada en un capacitor de capacitancia C ( x ) y una carga eléctrica positiva + Q o carga negativa - Q en cada placa conductora es (utilizando la definición de capacitancia como${\textstyle C={\frac {Q}{V}}}$),

$${\displaystyle U(Q,\mathbf {x} )={\frac {1}{2}}QV(Q,\mathbf {x} )={\frac {1}{2}}{\frac {Q^{2}}{C(\mathbf {x} )}},~}$$

donde la dependencia del área de las placas, la constante dieléctrica del material aislante entre las placas y la separación x se abstraen como la capacitancia C ( x ) . (Para un condensador de placas paralelas, esta es proporcional al área de las placas e inversamente proporcional a la separación).

La fuerza F entre las placas debido al campo eléctrico creado por la separación de carga es entonces $${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )=-{\frac {dU}{d\mathbf {x} }}~.}$$

Si el condensador no está conectado a ningún circuito eléctrico, entonces las cargas eléctricas en las placas permanecen constantes y el voltaje varía cuando las placas se mueven una con respecto a la otra, y la fuerza es el gradiente negativo de la energía potencial electrostática como$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )={\frac {1}{2}}{\frac {dC(\mathbf {x} )}{d\mathbf {x} }}{\frac {Q^{2}}{{C(\mathbf {x} )}^{2}}}={\frac {1}{2}}{\frac {dC(\mathbf {x} )}{d\mathbf {x} }}V(\mathbf {x} )^{2}}$$

dónde${\textstyle V(Q,\mathbf {x} )=V(\mathbf {x} )}$ya que la carga es fija en esta configuración.

Sin embargo, supongamos que el voltaje entre las placas V se mantiene constante a medida que la placa se mueve mediante la conexión a una batería , que es un depósito de cargas eléctricas a una diferencia de potencial constante. Entonces, la cantidad de cargas${\textstyle Q}$es una variable en lugar del voltaje;${\textstyle Q}$y${\textstyle V}$son los conjugados de Legendre entre sí. Para hallar la fuerza, primero se calcula la transformada de Legendre no estándar.${\textstyle U^{*}}$con respecto a${\textstyle Q}$(también con el uso${\textstyle C={\frac {Q}{V}}}$),

$${\displaystyle U^{*}=U-\left.{\frac {\partial U}{\partial Q}}\right|_{\mathbf {x} }\cdot Q=U-{\frac {1}{2C(\mathbf {x} )}}\left.{\frac {\partial Q^{2}}{\partial Q}}\right|_{\mathbf {x} }\cdot Q=U-QV={\frac {1}{2}}QV-QV=-{\frac {1}{2}}QV=-{\frac {1}{2}}V^{2}C(\mathbf {x} ).}$$

Esta transformación es posible porque${\textstyle U}$ahora es una función lineal de${\textstyle Q}$por lo que es convexa en ella. La fuerza ahora se convierte en el gradiente negativo de esta transformada de Legendre, lo que resulta en la misma fuerza obtenida de la función original.${\textstyle U}$, $${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )=-{\frac {dU^{*}}{d\mathbf {x} }}={\frac {1}{2}}{\frac {dC(\mathbf {x} )}{d\mathbf {x} }}V^{2}.}$$

Las dos energías conjugadas${\textstyle U}$y${\textstyle U^{*}}$Por casualidad, se encuentran en direcciones opuestas (sus signos son opuestos) únicamente debido a la linealidad de la capacitancia , con la salvedad de que ahora Q ya no es una constante. Reflejan las dos vías diferentes de almacenamiento de energía en el condensador, lo que da como resultado, por ejemplo, la misma fuerza de atracción entre las placas del mismo.

En la teoría de grandes desviaciones , la función de tasa se define como la transformación de Legendre del logaritmo de la función generadora de momentos de una variable aleatoria. Una aplicación importante de la función de tasa se encuentra en el cálculo de probabilidades de cola de sumas de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas , en particular en el teorema de Cramér .

Si${\displaystyle X_{n}}$son variables aleatorias i.i.d., sea${\displaystyle S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n}}$sea ​​el paseo aleatorio asociado y${\displaystyle M(\xi )}$la función generadora de momentos de${\displaystyle X_{1}}$. Para${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} }$,${\displaystyle E[e^{\xi S_{n}}]=M(\xi )^{n}}$Por lo tanto, por la desigualdad de Markov , se tiene que${\displaystyle \xi \geq 0}$y${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$$${\displaystyle P(S_{n}/n>a)\leq e^{-n\xi a}M(\xi )^{n}=\exp[-n(\xi a-\Lambda (\xi ))]}$$ dónde${\displaystyle \Lambda (\xi )=\log M(\xi )}$. Dado que el lado izquierdo es independiente de${\displaystyle \xi }$, podemos tomar el ínfimo del lado derecho, lo que lleva a considerar el supremo de${\displaystyle \xi a-\Lambda (\xi )}$, es decir, la transformación de Legendre de${\displaystyle \Lambda }$, evaluado en${\displaystyle x=a}$.

La transformación de Legendre surge naturalmente en la microeconomía en el proceso de encontrar la oferta S ( P ) de algún producto dado un precio fijo P en el mercado conociendo la función de costos C ( Q ) , es decir, el costo para el productor de hacer/extraer/etc. Q unidades del producto dado.

Una teoría simple explica la forma de la curva de oferta basándose únicamente en la función de costos. Supongamos que el precio de mercado de una unidad de nuestro producto es P. Para una empresa que vende este bien, la mejor estrategia es ajustar la producción Q para maximizar sus ganancias. Podemos maximizar las ganancias. $${\displaystyle {\text{profit}}={\text{revenue}}-{\text{costs}}=PQ-C(Q)}$$ diferenciando con respecto a Q y resolviendo $${\displaystyle P-C'(Q_{\text{opt}})=0.}$$

Q _opt representa la cantidad óptima Q de bienes que el productor está dispuesto a suministrar, que de hecho es la oferta misma: $${\displaystyle S(P)=Q_{\text{opt}}(P)=(C')^{-1}(P).}$$

Si consideramos el beneficio máximo como una función del precio,${\displaystyle {\text{profit}}_{\text{max}}(P)}$Vemos que se trata de la transformada de Legendre de la función de coste.${\displaystyle C(Q)}$.