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Articulo de referencia

Envoltura convexa

La envoltura convexa del conjunto rojo es el conjunto convexo azul y rojo . En geometría , la envoltura convexa , el cerco convexo o la clausura convexa [ 1 ] de una figura es e...

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La envoltura convexa del conjunto rojo es el conjunto convexo azul y rojo .

En geometría , la envoltura convexa , el cerco convexo o la clausura convexa [ 1 ] de una figura es el conjunto convexo más pequeño que la contiene. La envoltura convexa puede definirse como la intersección de todos los conjuntos convexos que contienen un subconjunto dado de un espacio euclidiano , o, equivalentemente, como el conjunto de todas las combinaciones convexas de puntos en dicho subconjunto. Para un subconjunto acotado del plano, la envoltura convexa puede visualizarse como la figura encerrada por una banda elástica estirada alrededor del subconjunto.

Las envolturas convexas de conjuntos abiertos son abiertas, y las envolturas convexas de conjuntos compactos son compactas. Todo conjunto convexo compacto es la envoltura convexa de sus puntos extremos . El operador de envoltura convexa es un ejemplo de operador de cierre , y todo antimatroide puede representarse aplicando este operador de cierre a conjuntos finitos de puntos. Los problemas algorítmicos de encontrar la envoltura convexa de un conjunto finito de puntos en el plano u otros espacios euclidianos de baja dimensión, y su problema dual de semiplanos que se intersecan , son problemas fundamentales de la geometría computacional . Pueden resolverse en tiempoO(norteregistro⁡norte){\displaystyle O(n\log n)}para conjuntos de puntos bidimensionales o tridimensionales, y en un tiempo que coincide con la complejidad de salida del peor caso dada por el teorema del límite superior en dimensiones superiores.

Además de para conjuntos de puntos finitos, las envolturas convexas también se han estudiado para polígonos simples , movimiento browniano , curvas espaciales y epígrafes de funciones . Las envolturas convexas tienen amplias aplicaciones en matemáticas, estadística, optimización combinatoria, economía, modelado geométrico y etología. Entre las estructuras relacionadas se incluyen la envoltura convexa ortogonal , las capas convexas , la triangulación de Delaunay y el diagrama de Voronoi , y el cráneo convexo .

Definiciones

Envolvente convexa de un conjunto plano acotado: analogía de la banda elástica

Un conjunto de puntos en un espacio euclidiano se define como convexo si contiene los segmentos de línea que conectan cada par de sus puntos. La envoltura convexa de un conjunto dadoincógnita{\displaystyle X}puede definirse como [ 2 ]

  1. El conjunto convexo mínimo (único) que contieneincógnita{\displaystyle X}
  2. La intersección de todos los conjuntos convexos que contienenincógnita{\displaystyle X}
  3. El conjunto de todas las combinaciones convexas de puntos enincógnita{\displaystyle X}
  4. La unión de todos los símplices con vértices enincógnita{\displaystyle X}

Para conjuntos acotados en el plano euclidiano, no todos en una misma línea, el límite de la envoltura convexa es la curva cerrada simple con perímetro mínimo que contieneincógnita{\displaystyle X}Uno puede imaginarse estirando una banda elástica de manera que rodee todo el conjunto.S{\displaystyle S}y luego liberándolo, permitiendo que se contraiga; cuando se tensa, encierra la envoltura convexa deS{\displaystyle S}[ 3 ] Esta formulación no se generaliza inmediatamente a dimensiones superiores: para un conjunto finito de puntos en el espacio tridimensional, un entorno de un árbol generador de los puntos los encierra con un área superficial arbitrariamente pequeña, menor que el área superficial de la envoltura convexa. [ 4 ] Sin embargo, en dimensiones superiores, las variantes del problema de obstáculos de encontrar una superficie de energía mínima sobre una forma dada pueden tener la envoltura convexa como su solución. [ 5 ]

Para objetos tridimensionales, la primera definición establece que la envoltura convexa es el volumen delimitador convexo más pequeño posible de los objetos. La definición que utiliza intersecciones de conjuntos convexos puede extenderse a geometría no euclidiana , y la definición que utiliza combinaciones convexas puede extenderse de espacios euclidianos a espacios vectoriales reales arbitrarios o espacios afines ; las envolturas convexas también pueden generalizarse de forma más abstracta a matroides orientados . [ 6 ]

Equivalencia de definiciones

Envolvente convexa 3D de una nube de 120 puntos

No es obvio que la primera definición tenga sentido: ¿por qué debería existir un único conjunto convexo mínimo que contengaincógnita{\displaystyle X}, por cadaincógnita{\displaystyle X}Sin embargo, la segunda definición, la intersección de todos los conjuntos convexos que contienenincógnita{\displaystyle X}está bien definido. Es un subconjunto de cualquier otro conjunto convexo.Y{\displaystyle Y}que contieneincógnita{\displaystyle X}, porqueY{\displaystyle Y}está incluido entre los conjuntos que se intersecan. Por lo tanto, es exactamente el único conjunto convexo mínimo que contieneincógnita{\displaystyle X}Por lo tanto, las dos primeras definiciones son equivalentes. [ 2 ]

Cada conjunto convexo que contieneincógnita{\displaystyle X}debe (bajo el supuesto de que es convexo) contener todas las combinaciones convexas de puntos enincógnita{\displaystyle X}, por lo que el conjunto de todas las combinaciones convexas está contenido en la intersección de todos los conjuntos convexos que contienenincógnita{\displaystyle X}. Por el contrario, el conjunto de todas las combinaciones convexas es en sí mismo un conjunto convexo que contieneincógnita{\displaystyle X}, por lo que también contiene la intersección de todos los conjuntos convexos que contienenincógnita{\displaystyle X}y por lo tanto la segunda y la tercera definición son equivalentes. [ 7 ]

De hecho, según el teorema de Carathéodory , siincógnita{\displaystyle X}es un subconjunto de und{\displaystyle d}Espacio euclidiano de dimensión , toda combinación convexa de un número finito de puntos desdeincógnita{\displaystyle X}es también una combinación convexa de como máximod+1{\displaystyle d+1}puntos enincógnita{\displaystyle X}. El conjunto de combinaciones convexas de un(d+1){\displaystyle (d+1)}Una tupla de puntos es un simplex ; en el plano es un triángulo y en el espacio tridimensional es un tetraedro. Por lo tanto, toda combinación convexa de puntos deincógnita{\displaystyle X}pertenece a un simplex cuyos vértices pertenecen aincógnita{\displaystyle X}y la tercera y cuarta definiciones son equivalentes. [ 7 ]

Cascos superior e inferior

En dos dimensiones, la envoltura convexa a veces se divide en dos partes: la envoltura superior y la envoltura inferior, que se extienden entre los puntos más a la izquierda y más a la derecha de la envoltura. De forma más general, para envolturas convexas en cualquier dimensión, se puede dividir el límite de la envoltura en puntos orientados hacia arriba (puntos para los cuales un rayo ascendente es disjunto de la envoltura), puntos orientados hacia abajo y puntos extremos. Para envolturas tridimensionales, las partes orientadas hacia arriba y hacia abajo del límite forman discos topológicos. [ 8 ]

Propiedades topológicas

Cascos cerrados y abiertos

La envoltura convexa cerrada de un conjunto es la clausura de la envoltura convexa, y la envoltura convexa abierta es el interior (o en algunas fuentes el interior relativo ) de la envoltura convexa. [ 9 ]

La envoltura convexa cerrada deincógnita{\displaystyle X}es la intersección de todos los semiespacios cerrados que contienenincógnita{\displaystyle X}. Si la envoltura convexa deincógnita{\displaystyle X}ya es un conjunto cerrado en sí mismo (como sucede, por ejemplo, siincógnita{\displaystyle X}es un conjunto finito o, más generalmente, un conjunto compacto ), entonces es igual a la envoltura convexa cerrada. Sin embargo, una intersección de semiplanos cerrados es en sí misma cerrada, por lo que cuando una envoltura convexa no es cerrada no puede representarse de esta manera. [ 10 ]

Si la envoltura convexa abierta de un conjuntoincógnita{\displaystyle X}esd{\displaystyle d}-dimensional, entonces cada punto del casco pertenece a un casco convexo abierto de como máximo2d{\displaystyle 2d}puntos deincógnita{\displaystyle X}Los conjuntos de vértices de un cuadrado, un octaedro regular o un politopo cruzado de dimensiones superiores proporcionan ejemplos donde exactamente2d{\displaystyle 2d}Se necesitan puntos. [ 11 ]

Preservación de las propiedades topológicas

La bruja de Agnesi . Los puntos sobre o por encima de la curva roja proporcionan un ejemplo de un conjunto cerrado cuya envoltura convexa es abierta (el semiplano superior abierto ).

Topológicamente, la envoltura convexa de un conjunto abierto siempre es abierta, y (en espacios euclidianos) la envoltura convexa de un conjunto compacto siempre es compacta. Sin embargo, existen conjuntos cerrados para los cuales la envoltura convexa no es cerrada. [ 12 ] Por ejemplo, el conjunto cerrado

{(incógnita,y)|⁡y≥11+incógnita2}{\displaystyle \left\{(x,y)\mathop {\bigg |} y\geq {\frac {1}{1+x^{2}}}\right\}}

(el conjunto de puntos que se encuentran sobre o encima de la bruja de Agnesi ) tiene el semiplano superior abierto como su envoltura convexa. [ 13 ]

Las envolturas convexas pueden definirse de forma más general en espacios vectoriales topológicos de dimensión infinita , pero es posible que no preserven la compacidad en estos espacios. En cambio, la compacidad de las envolturas convexas de conjuntos compactos, en espacios euclidianos de dimensión finita, se generaliza mediante el teorema de Krein-Smulian , según el cual la envoltura convexa cerrada de un subconjunto débilmente compacto de un espacio de Banach (un subconjunto que es compacto bajo la topología débil ) es débilmente compacta. [ 14 ]

Puntos extremos

Un extremo de un conjunto convexo es un punto del conjunto que no se encuentra en ningún segmento de recta abierto entre otros dos puntos del mismo conjunto. Para que exista una envoltura convexa, cada extremo debe pertenecer al conjunto dado, ya que de lo contrario no puede formarse como una combinación convexa de puntos dados. Según el teorema de Krein-Milman , todo conjunto convexo compacto en un espacio euclidiano (o, más generalmente, en un espacio vectorial topológico localmente convexo ) es la envoltura convexa de sus extremos. [ 15 ] Sin embargo, esto puede no ser cierto para conjuntos convexos que no son compactos; por ejemplo, todo el plano euclidiano y la bola unitaria abierta son convexos, pero ninguno de ellos tiene extremos. La teoría de Choquet extiende esta teoría de combinaciones convexas finitas de extremos a combinaciones infinitas (integrales) en espacios más generales. [ 16 ]

Propiedades geométricas y algebraicas

Operador de cierre

El operador de envoltura convexa tiene las propiedades características de un operador de cierre : [ 17 ]

  • Es extenso , lo que significa que la envoltura convexa de cada conjuntoincógnita{\displaystyle X}es un superconjunto deincógnita{\displaystyle X}.
  • Es no decreciente , lo que significa que, para cada dos conjuntosincógnita{\displaystyle X}yY{\displaystyle Y}conincógnita⊆Y{\displaystyle X\subsetequ Y}, la envoltura convexa deincógnita{\displaystyle X}es un subconjunto de la envoltura convexa deY{\displaystyle Y}.
  • Es idempotente , lo que significa que para cadaincógnita{\displaystyle X}, la envoltura convexa de la envoltura convexa deincógnita{\displaystyle X}es lo mismo que la envoltura convexa deincógnita{\displaystyle X}.

Cuando se aplica a un conjunto finito de puntos, este es el operador de cierre de un antimatroide , el antimatroide de envoltura del conjunto de puntos. Todo antimatroide puede representarse de esta manera mediante envolturas convexas de puntos en un espacio euclidiano de dimensión suficientemente alta. [ 18 ]

suma de Minkowski

Las operaciones de construcción de la envoltura convexa y de cálculo de la suma de Minkowski conmutan entre sí, en el sentido de que la suma de Minkowski de las envolturas convexas de conjuntos da el mismo resultado que la envoltura convexa de la suma de Minkowski de los mismos conjuntos. Esto constituye un paso hacia el teorema de Shapley-Folkman, que acota la distancia de una suma de Minkowski a su envoltura convexa. [ 19 ]

Dualidad proyectiva

La operación dual proyectiva para construir la envoltura convexa de un conjunto de puntos consiste en construir la intersección de una familia de semiplanos cerrados que contienen el origen (o cualquier otro punto designado). [ 20 ]

Casos especiales

Conjuntos de puntos finitos

Envolvente convexa de puntos en el plano

La envoltura convexa de un conjunto finito de puntosS⊂Rd{\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{d}}forma un polígono convexo cuandod=2{\displaystyle d=2}, o más generalmente un politopo convexo enRd{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}Cada punto extremo de la envoltura se llama vértice y (por el teorema de Krein-Milman) todo politopo convexo es la envoltura convexa de sus vértices. Es el único politopo convexo cuyos vértices pertenecen aS{\displaystyle S}y eso engloba todoS{\displaystyle S}. [ 3 ] Para conjuntos de puntos en posición general , la envoltura convexa es un politopo simplicial . [ 21 ]

Según el teorema del límite superior , el número de caras de la envoltura convexa denorte{\displaystyle n}puntos end{\displaystyle d}El espacio euclidiano de -dimensiones esO(norte⌊d/2⌋){\displaystyle O(n^{\lfloor d/2\rfloor })}. [ 22 ] En particular, en dos y tres dimensiones el número de caras es como máximo lineal ennorte{\displaystyle n}. [ 23 ]

Polígonos simples

Envolvente convexa (en azul y amarillo) de un polígono simple (en azul).

La envoltura convexa de un polígono simple encierra dicho polígono y lo divide en regiones, una de las cuales es el propio polígono. Las demás regiones, delimitadas por una cadena poligonal del polígono y una única arista de la envoltura convexa, se denominan cavidades . El cálculo recursivo de la misma descomposición para cada cavidad forma una descripción jerárquica del polígono, denominada árbol de diferencias convexas . [ 24 ] Al reflejar una cavidad a través de la arista de su envoltura convexa, el polígono simple se expande en un polígono con el mismo perímetro y mayor área, y el teorema de Erdős-Nagy establece que este proceso de expansión finalmente termina. [ 25 ]

movimiento browniano

La curva generada por el movimiento browniano en el plano, en cualquier instante fijo, tiene una probabilidad 1 de tener una envoltura convexa cuyo límite forma una curva continuamente diferenciable . Sin embargo, para cualquier ánguloθ{\displaystyle \theta }en el rangoπ/2<θ<π{\displaystyle \pi /2<\theta <\pi }, habrá momentos durante el movimiento browniano en los que la partícula en movimiento toque el límite de la envoltura convexa en un punto de ánguloθ{\displaystyle \theta }. La dimensión de Hausdorff de este conjunto de tiempos excepcionales es (con alta probabilidad)1−π/2θ{\displaystyle 1-\pi /2\theta }. [ 26 ]

Curvas espaciales

Un oloide , la envoltura convexa de dos círculos en el espacio 3D

Para la envoltura convexa de una curva espacial o un conjunto finito de curvas espaciales en posición general en el espacio tridimensional, las partes del límite alejadas de las curvas son superficies desarrollables y regladas . [ 27 ] Algunos ejemplos incluyen el oloide , la envoltura convexa de dos círculos en planos perpendiculares, cada uno pasando por el centro del otro, [ 28 ] el esferoide , la envoltura convexa de dos semicírculos en planos perpendiculares con un centro común, y las D-formas, las formas convexas obtenidas a partir del teorema de unicidad de Alexandrov para una superficie formada al pegar dos conjuntos convexos planos de igual perímetro. [ 29 ]

Funciones

La envoltura convexa o envolvente convexa inferior de una funciónF{\displaystyle f}en un espacio vectorial real es la función cuyo epígrafe es la envolvente convexa inferior del epígrafe deF{\displaystyle f}Es la única función convexa máxima mayorizada porF{\displaystyle f}. [ 30 ] La definición puede extenderse a la envoltura convexa de un conjunto de funciones (obtenida a partir de la envoltura convexa de la unión de sus epígrafes, o equivalentemente a partir de su mínimo puntual ) y, en esta forma, es dual a la operación conjugada convexa . [ 31 ]

Cálculo

En geometría computacional , se conocen varios algoritmos para calcular la envoltura convexa de un conjunto finito de puntos y de otros objetos geométricos. Calcular la envoltura convexa implica construir una representación inequívoca y eficiente de la forma convexa requerida. Las representaciones de salida consideradas para las envolturas convexas de conjuntos de puntos incluyen una lista de desigualdades lineales que describen las facetas de la envoltura, un grafo no dirigido de facetas y sus adyacencias, o la red de caras completa de la envoltura. [ 32 ] En dos dimensiones, puede ser más sencillo enumerar los puntos que son vértices, en su orden cíclico alrededor de la envoltura. [ 3 ]

Para envolventes convexas en dos o tres dimensiones, la complejidad de los algoritmos correspondientes se suele estimar en términos denorte{\displaystyle n}, el número de puntos de entrada yh{\displaystyle h}, el número de puntos en la envoltura convexa, que puede ser significativamente menor quenorte{\displaystyle n}. Para cascos de dimensiones superiores, el número de caras de otras dimensiones también puede entrar en el análisis. El escaneo de Graham puede calcular el casco convexo denorte{\displaystyle n}puntos en el plano en el tiempoO(norteregistro⁡norte){\displaystyle O(n\log n)}Para puntos en dos y tres dimensiones, se conocen algoritmos más complejos sensibles a la salida que calculan la envoltura convexa en tiempoO(norteregistro⁡h){\displaystyle O(n\log h)}. Estos incluyen el algoritmo de Chan y el algoritmo de Kirkpatrick-Seidel . [ 33 ] Para dimensionesd>3{\displaystyle d>3}, el tiempo para calcular la envoltura convexa esO(norte⌊d/2⌋){\displaystyle O(n^{\lfloor d/2\rfloor })}, que coincide con la complejidad de salida del peor caso del problema. [ 34 ] La envoltura convexa de un polígono simple en el plano se puede construir en tiempo lineal . [ 35 ]

Las estructuras de datos de envolvente convexa dinámica se pueden usar para realizar un seguimiento de la envolvente convexa de un conjunto de puntos que experimentan inserciones y eliminaciones de puntos, [ 36 ] y las estructuras de envolvente convexa cinética pueden realizar un seguimiento de la envolvente convexa para puntos que se mueven continuamente. [ 37 ] La ​​construcción de envolventes convexas también sirve como herramienta, un bloque de construcción para varios otros algoritmos de geometría computacional, como el método de calibradores giratorios para calcular el ancho y el diámetro de un conjunto de puntos. [ 38 ]

envoltura convexa ortogonal
Envolvente convexa relativa

Se pueden definir otras formas a partir de un conjunto de puntos de manera similar a la envoltura convexa, como el superconjunto mínimo con alguna propiedad, la intersección de todas las formas que contienen los puntos de una familia de formas dada, o la unión de todas las combinaciones de puntos para un tipo determinado de combinación. Por ejemplo:

  • La envoltura afín es el subespacio afín más pequeño de un espacio euclidiano que contiene un conjunto dado, o la unión de todas las combinaciones afines de puntos en el conjunto. [ 39 ]
  • La envoltura lineal es el subespacio lineal más pequeño de un espacio vectorial que contiene un conjunto dado, o la unión de todas las combinaciones lineales de puntos en el conjunto. [ 39 ]
  • La envoltura cónica o envoltura positiva de un subconjunto de un espacio vectorial es el conjunto de todas las combinaciones positivas de puntos en el subconjunto. [ 39 ]
  • La envoltura visual de un objeto tridimensional, con respecto a un conjunto de puntos de vista, consta de los puntospag{\displaystyle p}de tal manera que cada rayo desde un punto de vista a través depag{\displaystyle p}Interseca el objeto. De forma equivalente, es la intersección de los conos (no convexos) generados por el contorno del objeto con respecto a cada punto de vista. Se utiliza en la reconstrucción 3D como la forma más grande que podría tener los mismos contornos desde los puntos de vista dados. [ 40 ]
  • La envoltura circular o envoltura alfa de un subconjunto del plano es la intersección de todos los discos con un radio dado.1/α{\displaystyle 1/\alpha }que contienen el subconjunto. [ 41 ]
  • La envoltura convexa relativa de un subconjunto de un polígono simple bidimensional es la intersección de todos los superconjuntos relativamente convexos, donde un conjunto dentro del mismo polígono es relativamente convexo si contiene la geodésica entre cualesquiera dos de sus puntos. [ 42 ]
  • La envoltura convexa ortogonal o envoltura convexa rectilínea es la intersección de todos los superconjuntos ortogonalmente convexos y conexos, donde un conjunto es ortogonalmente convexo si contiene todos los segmentos paralelos a los ejes entre pares de sus puntos. [ 43 ]
  • La envoltura convexa ortogonal es un caso especial de una construcción mucho más general, la envoltura hiperconvexa , que puede pensarse como el espacio métrico inyectivo más pequeño que contiene los puntos de un espacio métrico dado . [ 44 ]
  • La envoltura convexa holomorfa es una generalización de conceptos similares a las variedades analíticas complejas , obtenida como una intersección de subconjuntos de funciones holomorfas que contienen un conjunto dado. [ 45 ]

La triangulación de Delaunay de un conjunto de puntos y su dual , el diagrama de Voronoi , están matemáticamente relacionados con las envolturas convexas: la triangulación de Delaunay de un conjunto de puntos enRnorte{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}puede verse como la proyección de una envoltura convexa enRnorte+1.{\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}.}[ 46 ] Lasformas alfade un conjunto finito de puntos dan una familia anidada de objetos geométricos (no convexos) que describen la forma de un conjunto de puntos en diferentes niveles de detalle. Cada forma alfa es la unión de algunas de las características de la triangulación de Delaunay, seleccionadas comparando suradio de circunferenciacon el parámetro alfa. El conjunto de puntos en sí forma un extremo de esta familia de formas, y su envoltura convexa forma el otro extremo. [ 41 ] Lascapas convexasde un conjunto de puntos son una familia anidada de polígonos convexos, el más externo de los cuales es la envoltura convexa, con las capas internas construidas recursivamente a partir de los puntos que no son vértices de la envoltura convexa. [ 47 ]

El cráneo convexo de un polígono es el polígono convexo más grande contenido en su interior. Se puede encontrar en tiempo polinomial , pero el exponente del algoritmo es alto. [ 48 ]

Aplicaciones

La envoltura convexa de los colores primarios en cada espacio de color en un diagrama de cromaticidad CIE 1931 xy define la gama de colores posibles de ese espacio.

Las envolturas convexas tienen amplias aplicaciones en muchos campos. En matemáticas, se utilizan para estudiar polinomios , valores propios de matrices y elementos unitarios , y varios teoremas de geometría discreta las involucran. En estadística robusta, se utilizan como el contorno más externo de la profundidad de Tukey , forman parte de la visualización bagplot de datos bidimensionales y definen conjuntos de riesgo de reglas de decisión aleatorias . Las envolturas convexas de vectores indicadores de soluciones a problemas combinatorios son fundamentales para la optimización combinatoria y la combinatoria poliédrica . En economía, se pueden utilizar para aplicar métodos de convexidad a mercados no convexos. En modelado geométrico, la propiedad de envoltura convexa de las curvas de Bézier ayuda a encontrar sus intersecciones, y las envolturas convexas forman parte de la medición de cascos de barcos. Y en el estudio del comportamiento animal, se utilizan en una definición estándar del área de distribución .

Matemáticas

Los polígonos de Newton de polinomios univariados y los politopos de Newton de polinomios multivariados son envolventes convexas de puntos derivadas de los exponentes de los términos del polinomio, y pueden utilizarse para analizar el comportamiento asintótico del polinomio y las valuaciones de sus raíces. [ 49 ] Las envolventes convexas y los polinomios también se relacionan en el teorema de Gauss-Lucas , según el cual las raíces de la derivada de un polinomio se encuentran dentro de la envolvente convexa de las raíces del polinomio. [ 50 ]

Partición de siete puntos en tres subconjuntos con envolventes convexas que se intersecan, garantizada para cualquier conjunto de siete puntos en el plano por el teorema de Tverberg.

En el análisis espectral , el rango numérico de una matriz normal es la envoltura convexa de sus autovalores . [ 51 ] El teorema de Russo-Dye describe las envolturas convexas de elementos unitarios en un álgebra C* . [ 52 ] En geometría discreta , tanto el teorema de Radon como el teorema de Tverberg se refieren a la existencia de particiones de conjuntos de puntos en subconjuntos con envolturas convexas que se intersecan. [ 53 ]

Las definiciones de conjunto convexo como conjunto que contiene segmentos de línea entre sus puntos, y de envoltura convexa como la intersección de todos los superconjuntos convexos, se aplican tanto a espacios hiperbólicos como a espacios euclidianos. Sin embargo, en el espacio hiperbólico, también es posible considerar las envolturas convexas de conjuntos de puntos ideales , puntos que no pertenecen al espacio hiperbólico en sí, sino que se encuentran en el límite de un modelo de dicho espacio. Los límites de las envolturas convexas de puntos ideales del espacio hiperbólico tridimensional son análogos a las superficies regladas en el espacio euclidiano, y sus propiedades métricas desempeñan un papel importante en la conjetura de geometrización en topología de baja dimensión . [ 54 ] Las envolturas convexas hiperbólicas también se han utilizado como parte del cálculo de triangulaciones canónicas de variedades hiperbólicas y se han aplicado para determinar la equivalencia de nudos . [ 55 ]

Véase también la sección sobre movimiento browniano para la aplicación de envolventes convexas a este tema, y ​​la sección sobre curvas espaciales para su aplicación a la teoría de superficies desarrollables .

Estadística

Un gráfico de bagplot . La región sombreada exterior es la envoltura convexa, y la región sombreada interior es el contorno de profundidad de Tukey del 50 %.

En estadística robusta , la envoltura convexa proporciona uno de los componentes clave de un bagplot , un método para visualizar la dispersión de puntos de muestra bidimensionales. Los contornos de profundidad de Tukey forman una familia anidada de conjuntos convexos, con la envoltura convexa en el extremo más externo, y el bagplot también muestra otro polígono de esta familia anidada, el contorno de profundidad del 50 %. [ 56 ]

En la teoría de la decisión estadística , el conjunto de riesgo de una regla de decisión aleatoria es la envoltura convexa de los puntos de riesgo de sus reglas de decisión deterministas subyacentes. [ 57 ]

Optimización combinatoria

En la optimización combinatoria y la combinatoria poliédrica , los objetos centrales de estudio son las envolturas convexas de los vectores indicadores de las soluciones a un problema combinatorio. Si se pueden encontrar las facetas de estos politopos, describiéndolos como intersecciones de semiplanos, entonces se pueden usar algoritmos basados ​​en programación lineal para encontrar soluciones óptimas. [ 58 ] En la optimización multiobjetivo , también se usa un tipo diferente de envoltura convexa, la envoltura convexa de los vectores de peso de las soluciones. Se puede maximizar cualquier combinación cuasiconvexa de pesos encontrando y verificando cada vértice de la envoltura convexa, a menudo de manera más eficiente que verificando todas las soluciones posibles. [ 59 ]

Ciencias económicas

En el modelo de equilibrio económico general de Arrow-Debreu , se supone que los agentes tienen conjuntos presupuestarios convexos y preferencias convexas . Estas suposiciones de convexidad en economía pueden utilizarse para demostrar la existencia de un equilibrio. Cuando los datos económicos reales no son convexos , pueden hacerse convexos mediante la aplicación de envolventes convexas. El teorema de Shapley-Folkman puede utilizarse para demostrar que, para mercados grandes, esta aproximación es precisa y conduce a un "cuasi-equilibrio" para el mercado no convexo original. [ 60 ]

Modelado geométrico

En el modelado geométrico , una de las propiedades clave de una curva de Bézier es que se encuentra dentro de la envoltura convexa de sus puntos de control. Esta denominada "propiedad de la envoltura convexa" puede utilizarse, por ejemplo, para detectar rápidamente las intersecciones de estas curvas. [ 61 ]

En la geometría del diseño de barcos y buques, la circunferencia de la cadena es una medida del tamaño de una embarcación de vela, definida mediante el casco convexo de una sección transversal del casco de la embarcación. Se diferencia de la circunferencia de la piel , el perímetro de la sección transversal propiamente dicha, excepto en barcos y buques que tienen un casco convexo. [ 62 ]

Etología

La envoltura convexa se conoce comúnmente como el polígono convexo mínimo en etología , el estudio del comportamiento animal, donde es un enfoque clásico, aunque quizás simplista, para estimar el área de distribución de un animal basándose en los puntos donde se ha observado al animal. [ 63 ] Los valores atípicos pueden hacer que el polígono convexo mínimo sea excesivamente grande, lo que ha motivado enfoques menos estrictos que contienen solo un subconjunto de las observaciones, por ejemplo, eligiendo una de las capas convexas que esté cerca de un porcentaje objetivo de las muestras, [ 64 ] o en el método de la envoltura convexa local combinando las envolturas convexas de vecindarios de puntos. [ 65 ]

física cuántica

En física cuántica , el espacio de estados de cualquier sistema cuántico —el conjunto de todas las formas en que el sistema puede prepararse— es una envoltura convexa cuyos puntos extremos son operadores semidefinidos positivos conocidos como estados puros y cuyos puntos interiores se denominan estados mixtos. [ 66 ] El teorema de Schrödinger-HJW demuestra que cualquier estado mixto puede, de hecho, escribirse como una combinación convexa de estados puros de múltiples maneras. [ 67 ]

Termodinámica

Casco convexo de compuestos de magnesio - carbono . [ 68 ] Se espera que el Mg 2 C 3 sea inestable ya que se encuentra por encima del casco inferior.

La envoltura convexa en termodinámica fue identificada por Josiah Willard Gibbs (1873), [ 69 ] aunque el artículo se publicó antes de que la envoltura convexa recibiera ese nombre. En un conjunto de energías de varias estequiometrías de un material, solo aquellas mediciones en la envoltura convexa inferior serán estables. Al eliminar un punto de la envoltura y luego calcular su distancia a la misma, su distancia a la nueva envoltura representa el grado de estabilidad de la fase. [ 70 ]

Historia

La envoltura convexa inferior de puntos en el plano aparece, en forma de polígono de Newton, en una carta de Isaac Newton a Henry Oldenburg en 1676. [ 71 ] El término «envoltura convexa» aparece ya en la obra de Garrett Birkhoff ( 1935 ) , y el término correspondiente en alemán aparece antes, por ejemplo, en la reseña de Hans Rademacher sobre Kőnig ( 1922 ) . Otros términos, como «envoltura convexa», también se usaban en este período. [ 72 ] Para 1938, según Lloyd Dines , el término «envoltura convexa» se había convertido en estándar; Dines añade que le parece desafortunado, porque el significado coloquial de la palabra «envoltura» sugeriría que se refiere a la superficie de una figura, mientras que la envoltura convexa incluye el interior y no solo la superficie. [ 73 ]  

Notas

  1. ↑ La terminología «cierre convexo» se refiere al hecho de que la envoltura convexa define un operador de cierre . Sin embargo, este término también se usa frecuentemente para referirse a la envoltura convexa cerrada , con la que no debe confundirse; véase, por ejemplo, Fan (1959) , pág. 48.
  2. 1 2 Rockafellar (1970) , pág. 12.
  3. 1 2 3 de Berg et al. (2008) , pág. 3.
  4. ↑ Williams y Rossignac (2005) . Véase también Douglas Zare, respuesta a "el perímetro de un conjunto no convexo" , MathOverflow , 16 de mayo de 2014.
  5. ↑ Oberman (2007) .
  6. ↑ Knuth (1992) .
  7. 1 2 Rockafellar (1970) , pág. 12; Lay (1982) , pág. 17.
  8. ↑ de Berg et al. (2008) , pág. 6. La idea de particionar la envoltura en dos cadenas proviene de una variante eficiente del escaneo de Graham por Andrew (1979) .
  9. ↑ Sontag (1982) .
  10. ↑ Rockafellar (1970) , pág. 99.
  11. ↑ Steinitz (1914) ; Agustín (1947) ; Bárány, Katchalski y Pach (1982)
  12. ↑ Grünbaum (2003) , pág. 16; Lay (1982) , pág. 21; Sakuma (1977) .
  13. ↑ Este ejemplo lo da Talman (1977) , Observación 2.6.
  14. ↑ Whitley (1986) .
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