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La geometría discreta y la geometría combinatoria son ramas de la geometría que estudian las propiedades combinatorias y los métodos constructivos de objetos geométricos discretos . La mayoría de las cuestiones en geometría discreta involucran conjuntos finitos o discretos de objetos geométricos básicos, como puntos , líneas , planos , círculos , esferas , polígonos , etc. La disciplina se centra en las propiedades combinatorias de estos objetos, como la forma en que se intersecan entre sí o cómo pueden organizarse para cubrir un objeto de mayor tamaño.
La geometría discreta tiene una gran superposición con la geometría convexa y la geometría computacional , y está estrechamente relacionada con temas como la geometría finita , la optimización combinatoria , la geometría digital , la geometría diferencial discreta , la teoría geométrica de grafos , la geometría tórica y la topología combinatoria .
Historia
Los poliedros y las teselaciones fueron estudiados durante muchos años por personas como Kepler y Cauchy ; la geometría discreta moderna tiene sus orígenes a finales del siglo XIX. Los primeros temas estudiados fueron: la densidad de empaquetamientos de círculos por Thue , las configuraciones proyectivas por Reye y Steinitz , la geometría de los números por Minkowski y las coloraciones de mapas por Tait, Heawood y Hadwiger .
László Fejes Tóth , HSM Coxeter y Paul Erdős sentaron las bases de la geometría discreta . [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]
Temas
Poliedros y politopos
Un politopo es un objeto geométrico con caras planas que existe en cualquier número de dimensiones. Un polígono es un politopo en dos dimensiones, un poliedro en tres dimensiones, y así sucesivamente en dimensiones superiores (como un 4-politopo en cuatro dimensiones). Algunas teorías generalizan aún más la idea para incluir objetos como politopos no acotados ( apeirotopos y teselaciones ) y politopos abstractos .
A continuación se presentan algunos de los aspectos de los politopos estudiados en geometría discreta:
Empaques, revestimientos y azulejos
Los empaques, recubrimientos y teselaciones son formas de disponer objetos uniformes (normalmente círculos, esferas o teselas) de manera regular sobre una superficie o variedad .
El empaquetamiento de esferas consiste en la disposición de esferas que no se superponen dentro de un espacio contenedor. Generalmente, las esferas consideradas son todas del mismo tamaño, y el espacio suele ser el espacio euclidiano tridimensional . Sin embargo, los problemas de empaquetamiento de esferas pueden generalizarse para considerar esferas desiguales, el espacio euclidiano n- dimensional (donde el problema se convierte en el empaquetamiento de círculos en dos dimensiones, o el empaquetamiento de hiperesferas en dimensiones superiores) o espacios no euclidianos como el espacio hiperbólico .
Una teselación de una superficie plana consiste en cubrir un plano con una o más figuras geométricas, llamadas teselas, sin superposiciones ni huecos. En matemáticas , las teselaciones pueden generalizarse a dimensiones superiores.
Los temas específicos en esta área incluyen:
Rigidez estructural y flexibilidad
La rigidez estructural es una teoría combinatoria para predecir la flexibilidad de conjuntos formados por cuerpos rígidos conectados por enlaces o bisagras flexibles .
Los temas que se tratan en esta área incluyen:
Estructuras de incidencia
Las estructuras de incidencia generalizan planos (como los planos afines , proyectivos y de Möbius ), como se puede observar en sus definiciones axiomáticas. Las estructuras de incidencia también generalizan los análogos de dimensiones superiores, y las estructuras finitas a veces se denominan geometrías finitas .
Formalmente, una estructura de incidencia es una tripleta
donde P es un conjunto de "puntos", L es un conjunto de "líneas" yes la relación de incidencia . Los elementos dese llaman banderas. Si
Decimos que el punto p "se encuentra sobre" la línea.
Los temas que se tratan en esta área incluyen:
Matroides orientados
Un matroide orientado es una estructura matemática que abstrae las propiedades de los grafos dirigidos y de las disposiciones de vectores en un espacio vectorial sobre un cuerpo ordenado (particularmente para espacios vectoriales parcialmente ordenados ). [ 4 ] En comparación, un matroide ordinario (es decir, no orientado) abstrae las propiedades de dependencia que son comunes tanto a los grafos , que no son necesariamente dirigidos , como a las disposiciones de vectores sobre cuerpos , que no son necesariamente ordenados . [ 5 ] [ 6 ]
teoría geométrica de grafos
Un grafo geométrico es un grafo en el que los vértices o las aristas están asociados con objetos geométricos . Algunos ejemplos son los grafos euclidianos, el esqueleto unitario de un poliedro o politopo , los grafos de disco unitario y los grafos de visibilidad .
Los temas que se tratan en esta área incluyen:
complejos simpliciales
Un complejo simplicial es un espacio topológico de un tipo determinado, construido mediante la unión de puntos , segmentos de línea , triángulos y sus contrapartes n -dimensionales (véase la ilustración). Los complejos simpliciales no deben confundirse con la noción más abstracta de conjunto simplicial que aparece en la teoría moderna de homotopía simplicial. La contraparte puramente combinatoria de un complejo simplicial es un complejo simplicial abstracto . Véase también complejos geométricos aleatorios .
Combinatoria topológica
La disciplina de la topología combinatoria utilizó conceptos combinatorios en topología y, a principios del siglo XX, esto se convirtió en el campo de la topología algebraica .
En 1978, la situación se invirtió: se utilizaron métodos de la topología algebraica para resolver un problema de combinatoria , cuando László Lovász demostró la conjetura de Kneser , dando inicio así al nuevo estudio de la combinatoria topológica . La demostración de Lovász empleó el teorema de Borsuk-Ulam , que conserva un papel fundamental en este nuevo campo. Este teorema cuenta con numerosas versiones y análogos equivalentes y se ha utilizado en el estudio de problemas de división equitativa .
Los temas que se tratan en esta área incluyen:
Retículos y grupos discretos
Un grupo discreto es un grupo G dotado de la topología discreta . Con esta topología, G se convierte en un grupo topológico . Un subgrupo discreto de un grupo topológico G es un subgrupo H cuya topología relativa es la discreta. Por ejemplo, los enteros , Z , forman un subgrupo discreto de los reales , R (con la topología métrica estándar ), pero los números racionales , Q , no.
Un retículo en un grupo topológico localmente compacto es un subgrupo discreto con la propiedad de que el espacio cociente tiene medida invariante finita . En el caso especial de subgrupos de R n , esto equivale a la noción geométrica usual de un retículo , y tanto la estructura algebraica de los retículos como la geometría de la totalidad de todos los retículos se comprenden relativamente bien. Los profundos resultados de Borel , Harish-Chandra , Mostow , Tamagawa , MS Raghunathan , Margulis y Zimmer obtenidos desde la década de 1950 hasta la de 1970 proporcionaron ejemplos y generalizaron gran parte de la teoría al contexto de grupos de Lie nilpotentes y grupos algebraicos semisimples sobre un cuerpo local . En la década de 1990, Bass y Lubotzky iniciaron el estudio de retículos de árbol , que sigue siendo un área de investigación activa.
Los temas que se tratan en esta área incluyen:
Geometría digital
La geometría digital se ocupa de conjuntos discretos (generalmente conjuntos de puntos discretos ) que se consideran modelos o imágenes digitalizadas de objetos del espacio euclidiano 2D o 3D .
En pocas palabras, digitalizar consiste en reemplazar un objeto por un conjunto discreto de sus puntos. Las imágenes que vemos en la pantalla del televisor, en la pantalla de un ordenador o en los periódicos son, de hecho, imágenes digitales .
Sus principales áreas de aplicación son los gráficos por computadora y el análisis de imágenes . [ 7 ]
Geometría diferencial discreta
La geometría diferencial discreta estudia las contrapartes discretas de conceptos de la geometría diferencial . En lugar de curvas y superficies suaves, se utilizan polígonos , mallas y complejos simpliciales . Se emplea en el estudio de los gráficos por computadora y la combinatoria topológica .
Los temas que se tratan en esta área incluyen:
Véase también
Notas
- ↑ Pach, János; et al. (2008), Geometría intuitiva, in Memoriam László Fejes Tóth , Instituto de Matemáticas Alfréd Rényi
- ^ Katona, GOH (2005), "Laszlo Fejes Toth - Obituario", Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica , 42 (2): 113
- ^ Bárány, Imre (2010), "Geometría discreta y convexa", en Horváth, János (ed.), Un panorama de las matemáticas húngaras en el siglo XX, I , Nueva York: Springer, págs. 431–441 , ISBN 9783540307211
- ↑ Rockafellar 1969. Björner et alia, Capítulos 1-3. Bokowski, Capítulo 1. Ziegler, Capítulo 7.
- ↑ Björner y otros, Capítulos 1-3. Bokowski, Capítulos 1-4.
- ↑ Dado que los matroides y los matroides orientados son abstracciones de otras abstracciones matemáticas, casi todos los libros relevantes están escritos para matemáticos y no para el público general. Para aprender sobre matroides orientados, una buena preparación consiste en estudiar el libro de texto sobre optimización lineal de Nering y Tucker, que incorpora ideas sobre matroides orientados, y luego consultar las clases de Ziegler sobre politopos.
- ↑ Véase Li Chen, Geometría digital y discreta: Teoría y algoritmos, Springer, 2014.
Referencias
- Bezdek, András (2003). Geometría discreta: en honor al 60 cumpleaños de W. Kuperberg . Nueva York, Nueva York: Marcel Dekker. ISBN 0-8247-0968-3.
- Bezdek, Károly (2010). Temas clásicos de geometría discreta . Nueva York, Nueva York: Springer. ISBN 978-1-4419-0599-4.
- Bezdek, Károly (2013). Lecciones sobre arreglos de esferas: el lado geométrico discreto . Nueva York, NY: Springer. ISBN 978-1-4614-8117-1.
- Bezdek, Károly ; Deza, Antoine; Sí, Yinyu (2013). Geometría discreta y optimización . Nueva York, Nueva York: Springer. ISBN 978-3-319-00200-2.
- Brass, Peter; Moser, William; Pach, János (2005). Problemas de investigación en geometría discreta . Berlín: Springer. ISBN 0-387-23815-8.
- Pach, János ; Agarwal, Pankaj K. (1995). Geometría combinatoria . Nueva York: Wiley-Interscience. ISBN 0-471-58890-3.
- Goodman, Jacob E. y O'Rourke, Joseph (2004). Manual de geometría discreta y computacional, segunda edición . Boca Raton: Chapman & Hall/CRC. ISBN 1-58488-301-4.
{{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace ) - Gruber, Peter M. (2007). Geometría convexa y discreta . Berlín: Springer. ISBN 978-3-540-71132-2.
- Matoušek, Jiří (2002). Conferencias sobre geometría discreta . Berlín: Springer. ISBN 0-387-95374-4.
- Vladimir Boltyanski , Horst Martini , Petru S. Soltan (1997). Excursiones en geometría combinatoria . Springer. ISBN 3-540-61341-2.
{{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- Geometría discreta
